专题 1.3 全等三角形的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦全等三角形的判定核心知识点，系统梳理SAS、ASA/AAS、SSS、HL四种判定方法，构建从定义到应用的逻辑脉络，基础题型与综合培优形成递进式学习支架，覆盖证明、求值及实际问题。 资料特色在于情境化与分层设计，如“小孔成像”“测量池塘距离”等实例培养几何直观与应用意识，综合题型中添加条件判断全等提升推理能力，同步检测分层练习助力课中教学与课后查漏补缺。

专题 1.3 全等三角形的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】全等三角形的判定（1）——“边角边” 1 【题型 1】利用“边角边”证明 2 【题型 2】全等性质与“边角边”综合求值证明 3 【知识点二】全等三角形的判定（2）——“角边角”或“角角边” 4 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明 4 【题型 4】全等性质与“角边角”或“角角边”综合求值证明 5 【知识点三】全等三角形的判定（3）——“边边边”或“SSS” 6 【题型 5】利用“边边边”证明 6 【题型 6】全等性质与“边边边”综合求值证明 7 【知识点四】全等三角形的判定（3）——“斜边、直角边”或“HL” 9 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明 9 【题型 8】全等性质与“斜边、直角边”综合求值证明 10 二.综合培优题型精析 11 【题型 9】添加条件判断两个三角形全等 11 【题型 10】灵活选用方法证明三角形全等 12 【题型 11】尺规作图与全等三角形综合 13 【题型 12】全等三角形综合问题 15 三.同步检测 16 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 18 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 20 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】全等三角形的判定（1）——“边角边” 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边或“SAS”）. 图示 表示方法及对应元素 在和中，如果 【题型 1】利用“边角边”证明 【例题1】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． （1）试说明：≌； （2）判断线段与线段的关系，说明理由． 【题型 2】全等性质与“边角边”综合求值证明 【例题1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，，垂足分别为，，，．判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，要测量池塘两端点，间的距离，在平地上取一点，连接，，并延长到，两点，使，；连接，测量的长即可得知，间的距离．这种方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 【变式3】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，，，． （1）请说明：． （2）与相等吗？请说明理由． 【知识点二】全等三角形的判定（2）——“角边角”或“角角边” 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角或“ASA”）. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）. 图示 角边角或ASA 角角边或AAS 在和中，如果 在和中，如果 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明 【例题3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点A，C，F，D在同一条直线上，，，，且．求证：； 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，已知，添加下列条件后，仍不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在和中，，，当添加条件_____时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 【变式3】（2026·浙江杭州·二模）如图，点A在线段上，已知，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【题型 4】全等性质与“角边角”或“角角边”综合求值证明 【例题4】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）你认为与相等吗？并说明理由； （2）若，，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板，当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为________． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． （1）求证：； （2）若，，，请求出的度数． 【知识点三】全等三角形的判定（3）——“边边边”或“SSS” 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 图示 边边边或SSS 在和中，如果 【题型 5】利用“边边边”证明 【例题5】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，． （1）证明． （2）若，，求． 【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·阶段检测）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【变式3】（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接和，直接写出和之间的数量关系． 【题型 6】全等性质与“边边边”综合求值证明 【例题6】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知． （1）用尺规利用作，使得，且和在直线的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的余角的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，，点是的中点，若，则______. 【变式3】（2024七年级下·重庆綦江·竞赛）如图，五边形中，，，，连接． （1）同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法，请你在图中作出绕着点A按逆时针旋转“的度数”后的像； （2）试判断是否平分，并说明理由． 【知识点四】全等三角形的判定（3）——“斜边、直角边”或“HL” 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）. 图示 斜边、直角边或HL 在和中，，如果 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明 【例题7】（2026·湖南长沙·二模）如图，，，垂足分别为B，D，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，于点，且，点在上，连接、，若要用“”直接证明，则需添加的条件是________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，于点，点为上一点，连接，，． （1）求证：． （2）若，，则的长为_______． 【题型 8】全等性质与“斜边、直角边”综合求值证明 【例题8】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，点在 上，满足 ，过点作 交于点．的周长为 ， 的周长为 ，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，为一条射线，，若．则的长为___________． 【变式3】（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 二.综合培优题型精析 【题型 9】添加条件判断两个三角形全等 【例题9】（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． （1）你选择的补充条件是__________（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【变式3】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知：点E、C、D、B在一直线上，，，如果 ，那么．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论成立，并证明结论． 【题型 10】灵活选用方法证明三角形全等 【例题10】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知点在同一直线上，，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·江西·专题练习）如图所示，，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且． （1）点P到x轴的距离是_________． （2）若点，则点B的坐标为_________． 【变式3】（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的面积． 【题型 11】尺规作图与全等三角形综合 【例题11】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． （1）请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 （2）作图后，该图中有 对全等三角形． 【变式1】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【变式3】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点D是射线上一点且 （1）过点E作的平行线； （2）若，求的度数． 【题型 12】全等三角形综合问题 【例题12】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，，相交于点，连接，，平分，交延长线于． （1）给出下列三个事项：①，②，③， 请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论； 你选的条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）在（1）中的条件下，若，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，于点A，于点B，且，点Q从点B向点D运动，每分钟走，点P从点B向点A运动．若P，Q两点同时出发，点P每分钟走_________时，能使与全等． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测），点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． （1）求证：是的中点． （2）若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）为了测量一池塘两端的距离，如图在平地取一个可直接到达的点，连接，并分别延长到点，延长到点，使，测出的长即为的距离，是运用了“全等三角形的对应边相等”这一性质，其运用判定全等的方法是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图所示的四个三角形中，能够全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在中，，．若，，则（） A．6 B．7 C．8 D． 4．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，，，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）的边上有三点、、，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形周长是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 8．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 9．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，点，，在同一直线上，，要使，添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江·模拟预测）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，要使，则需添加的条件是_____（填一个即可）． 12．（2026·湖南株洲·一模）如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 15．（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接．若，的面积为10，则的长为______． 17．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，将沿方向平移得到，连接，若恰好经过的中点，则的长度为_____________． 18．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的_____． ①；②；③；④． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，点是的中点，连接并延长，连接并延长，与的延长线交于点，且．试说明：． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）骏骏利用所学知识测量了河两岸A、B两点间的距离（如图）．测量过程如下： ①骏骏在点B所在河岸同侧的平地上选取一点C，连接并延长至点D，使得； ②过点D作交的延长线于点E． 已知图中所有点均在同一平面内．骏骏认为的长就是河两岸A、B两点间的距离，你觉得骏骏的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出你的测量方法． 22．（本小题满分10分）（2026·江苏盐城·二模）已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． （1）你选的条件是： ；（填写序号） （2）证明：． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，完成下列尺规作图： （1）作边上的高；（2）作，使，且点E在边上． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，连接交于点，． 求证： （1）； （2）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 全等三角形的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】全等三角形的判定（1）——“边角边” 1 【题型 1】利用“边角边”证明 2 【题型 2】全等性质与“边角边”综合求值证明 4 【知识点二】全等三角形的判定（2）——“角边角”或“角角边” 7 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明 7 【题型 4】全等性质与“角边角”或“角角边”综合求值证明 11 【知识点三】全等三角形的判定（3）——“边边边”或“SSS” 14 【题型 5】利用“边边边”证明 15 【题型 6】全等性质与“边边边”综合求值证明 17 【知识点四】全等三角形的判定（3）——“斜边、直角边”或“HL” 21 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明 22 【题型 8】全等性质与“斜边、直角边”综合求值证明 25 二.综合培优题型精析 28 【题型 9】添加条件判断两个三角形全等 28 【题型 10】灵活选用方法证明三角形全等 31 【题型 11】尺规作图与全等三角形综合 35 【题型 12】全等三角形综合问题 40 三.同步检测 45 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 45 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 53 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 58 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】全等三角形的判定（1）——“边角边” 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边或“SAS”）. 图示 表示方法及对应元素 在和中，如果 【题型 1】利用“边角边”证明 【例题1】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 解：略 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．根据“”证明即可． 解：∵在和中， ∴， ∴证明的依据是． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【答案】2 【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值． 解：∵，，，， ∴，， ∴只有、时，与全等， ∵，， ∴，此时， 在与中， ， ∴， ∴当时，形成的与全等． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． （1）试说明：≌； （2）判断线段与线段的关系，说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），；理由见分析 【分析】（1）先证明，，再进一步证明即可； （2）由，可得，，进一步求解即可. 解：（1）证明：∵， ， ， ， 在和中， ． ； （2）解：，；理由如下： 由（1）知：， ，， ∴． 【题型 2】全等性质与“边角边”综合求值证明 【例题1】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，，垂足分别为，，，．判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 【分析】由垂线的定义可得，证明，则可证明，得到，进而可证明． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，要测量池塘两端点，间的距离，在平地上取一点，连接，，并延长到，两点，使，；连接，测量的长即可得知，间的距离．这种方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据证明，得出，即可得出答案． 解：在与中， ， ∴， ∴， 即测量的长即可得知，间的距离． 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 【答案】12 【分析】先利用“”SAS定理证明，于是得到，然后求的周长即可． 解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则的周长为． 【变式3】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，，，． （1）请说明：． （2）与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】（1）根据等式的性质即可证明； （2）证明即可． 解：（1）证明：∵ ∴ ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ∴． 【知识点二】全等三角形的判定（2）——“角边角”或“角角边” 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角或“ASA”）. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）. 图示 角边角或ASA 角角边或AAS 在和中，如果 在和中，如果 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明 【例题3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点A，C，F，D在同一条直线上，，，，且．求证：； 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 【分析】根据平行线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，然后利用角角边进行证明全等三角形． 解：证明：略． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，已知，添加下列条件后，仍不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图形可知有一对公共角，再加上，结合全等三角形的判定方法，逐项判定即可． 解：A、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； B、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； C、∵，， ∴，则， 在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出和全等，错误，故本选项符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在和中，，，当添加条件_____时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 【答案】或或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定．要证明两个三角形全等，需要根据全等三角形的判定条件（如、等）添加一个合适的条件．题目已给出一边和一个角，可以考虑用、、判定． 解：添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 故答案为：或或． 【变式3】（2026·浙江杭州·二模）如图，点A在线段上，已知，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴； （2）7 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 【题型 4】全等性质与“角边角”或“角角边”综合求值证明 【例题4】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）你认为与相等吗？并说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1），理由如下： 因为点为中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以； （2） 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以， 所以． 因为是的中点，， 所以， ． 又因为， 所以， 所以． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板，当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意构建全等三角形模型，利用全等三角形对应边相等得出小明上升的高度等于小颖下降的高度是解题的关键． 解：设水平位置为，小明所在位置为，小颖所在位置为， 是跷跷板的中点， ， 在和中， ， ， ， 小颖从水平位置下降，即， ， 小明离地面的高度=支点至地面的距离． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，得到，即可解答． 解：是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． （1）求证：； （2）若，，，请求出的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可． 解：（1）略 （2）解： ，， ． 【知识点三】全等三角形的判定（3）——“边边边”或“SSS” 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 图示 边边边或SSS 在和中，如果 【题型 5】利用“边边边”证明 【例题5】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，． （1）证明． （2）若，，求． 【答案】（1）证明见详解；（2）2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·阶段检测）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 解：，, ， ，， ． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接和，直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）先证明，得到后，得到对应补角相等后即可证平行； （2）证明即可． 解：（1）证明：，， ， ， ， ， ， 平行于． （2）解：． ， ， ． 【题型 6】全等性质与“边边边”综合求值证明 【例题6】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知． （1）用尺规利用作，使得，且和在直线的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定，关键是熟练应用知识点解题； （1）以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （2）由可得，，，结合即可论证得出结论. 解：（1）解：如图， （2）证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的余角的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定． 连接，根据题意得出，，证即可求解． 解：如图，连接，    根据作图过程可知：，， 在和中， ， ， ， ， 则的余角为． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，，点是的中点，若，则______. 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据SSS证明，再根据全等的性质即可求解． 解：是的中点， , 在和中， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2024七年级下·重庆綦江·竞赛）如图，五边形中，，，，连接． （1）同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法，请你在图中作出绕着点A按逆时针旋转“的度数”后的像； （2）试判断是否平分，并说明理由． 【答案】（1）详见分析；（2）AD平分，详见分析 【分析】（1）延长至，使，再利用即可证明，从而可得结论； （2）先证明，再，从而可得，即可得出结论． 解：（1）解：如图，延长至，使， 则， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是绕着点A按逆时针旋转“的度数”后的像， 即即为所求作； （2）解：平分，理由如下， ∵， ∴， 又，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分． 【知识点四】全等三角形的判定（3）——“斜边、直角边”或“HL” 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）. 图示 斜边、直角边或HL 在和中，，如果 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明 【例题7】（2026·湖南长沙·二模）如图，，，垂足分别为B，D，且． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）12 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先推导出，，再根据，得到，则要用“”证明，应添加的一个条件是． 解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 若， ∴， ∴要用“”证明，应添加的一个条件是． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，于点，且，点在上，连接、，若要用“”直接证明，则需添加的条件是________． 【答案】 解：∵于点，且，点在上， ∴若要用“”直接证明，则需添加的条件是． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，于点，点为上一点，连接，，． （1）求证：． （2）若，，则的长为_______． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用定理证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件，可直接利用定理证明，通过全等三角形的对应边相等即可得到结论； （2）如图，连接，先通过线段的和差关系求出，然后可通过定理证明，根据全等三角形的对应边相等得到，最后根据线段和差关系求出的长． 解：（1）证明：在和中， ， ． （2）解：． 【提示】如图，连接． ，， ． 在和中， ， ， ． 【题型 8】全等性质与“斜边、直角边”综合求值证明 【例题8】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，点在 上，满足 ，过点作 交于点．的周长为 ， 的周长为 ，求的长． 【答案】 【分析】连接，根据三角形全等证明 ，再根据三角形周长计算即可． 解：连接，如图， ∵在，， ， ， ∴ ， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∵的周长为 ， 的周长为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，为一条射线，，若．则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用直角三角形的特殊判定方法“”求解更加简便．根据垂直的定义可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可解决问题． 解：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）证明即可； （2）证，利用全等三角形的性质证明，结合即可求解． 解：（1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 二.综合培优题型精析 【题型 9】添加条件判断两个三角形全等 【例题9】（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． （1）你选择的补充条件是__________（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】（1）①（或②）；（2）选①，证明如下： 在和中， ， ∴． 选②，证明如下： 在和中， ， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理进行求解即可； （2）若选择①，则根据“”判定三角形全等；若选择②，则根据“”判定三角形全等． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，结合已知条件推出及公共边，逐项判断即可． 解：， ， 在和中，已知，， A，添加，符合，能判定，不符合题意； B，添加，符合，能判定，不符合题意； C，添加，符合，能判定，不符合题意； D，添加，无法判定，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【答案】或（写一个即可） 【分析】先证明，结合，再进一步求解即可． 解：∵， ∴，即， 添加：，而， 在和中， ， ∴， 添加：，而， 在和中， ， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知：点E、C、D、B在一直线上，，，如果 ，那么．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论成立，并证明结论． 【答案】② 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】由可得，选择①时，可得，两个三角形对应角边为，无法证明两个三角形全等，不能证明结论；选择②，可由证明两个三角形全等，得到，可证明结论；选择③时，两个三角形对应角边为，无法证明两个三角形全等，不能证明结论． 解：略 【题型 10】灵活选用方法证明三角形全等 【例题10】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 【答案】见分析 【分析】由可证，再分别计算、、、、的值，再由证，可得． 解：证明：由题意，得． ， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识． 熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知点在同一直线上，，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，关键是结合已知条件，逐一分析每个选项是否满足全等判定条件． 解：∵， ∴，即． 已知，结合各选项分析： 选项A：，此时有，，，满足判定，可推出； 选项B：，此时有，，，为，不满足全等判定条件，不能推出； 选项C：，此时为直角三角形，有，，满足判定，可推出； 选项D：，此时有，，，满足判定，可推出； 故选：B． 【变式2】（2025九年级·江西·专题练习）如图所示，，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且． （1）点P到x轴的距离是_________． （2）若点，则点B的坐标为_________． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键． （1）点到轴的距离为纵坐标的绝对值； （2）过点作 轴于，作轴于，根据点的坐标可得，然后利用“HL”证明，根据全等三角形性质求出，再写出点的坐标即可． 解：（1）， 点到轴的距离为． 故答案为：2． （2）过点作轴于点，作轴于点，如图． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 解：（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【题型 11】尺规作图与全等三角形综合 【例题11】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． （1）请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 （2）作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 解：（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 【变式1】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【答案】C 【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案． 解：由题意可知， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 连接OP， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 故选项D正确，不符合题意； 若，， 则， 而根据题意不能证明， 故不能证明， 故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 解：如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 【变式3】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点D是射线上一点且 （1）过点E作的平行线； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）或 【分析】本题考查作平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作一个角等于已知角，在一上，作即可； （2）分情况讨论，当点F在上方时，利用平行线的性质求出，再利用求解即可；当点F在下方时，利用邻补角的性质即可求解． 解：（1）解：以点O为圆心任意为半径画弧，交、于M、N，半径不变，以点E为圆心画弧，交于点P，再以点P为圆心长为半径画弧形，与前弧相交于F，过作直线即可． 如图所示，直线就是所要求作的直线， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图， 当点F在上方时， ， ， ． ， ； 当点F在下方时，． 【题型 12】全等三角形综合问题 【例题12】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，，相交于点，连接，，平分，交延长线于． （1）给出下列三个事项：①，②，③， 请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论； 你选的条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）在（1）中的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）①②，③，证明见分析；（答案不唯一）；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）分别选择①②，③、①③，②、②③，①，利用、、证明，即可得答案； （2）由（1）可知三个条件都成立，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，再利用平行线的性质即可得答案． 解：（1）解：当选①②为条件，③为结论时， 证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 当选①③为条件，②为结论时， 同理可证明， ∴； 当选②③为条件，①为结论时， 在和中，， ∴ ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，无论怎么选择，三个条件都成立， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件利用证明，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 解： 解：A．在和中， ， ， 故选项A不符合题意； B．， ， 即， 在和中， ， ， 故选项B不符合题意； C．， ， ， 即， 故选项C不符合题意； D． ∴ ∴选项D符合题意． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，于点A，于点B，且，点Q从点B向点D运动，每分钟走，点P从点B向点A运动．若P，Q两点同时出发，点P每分钟走_________时，能使与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，分两种情况：①若，，则；②若，，则，即可得出结果． 解：设点P每分钟走， ∵， ∴， ①若，，此时， ∴， ∴； ②若，则，此时， ∴ ∴； 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测），点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． （1）求证：是的中点． （2）若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）成立，理由见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂线的性质得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，从而得到结论； （2）根据，结合，得到，同（1）可证是的中点． 解：（1）证明：， 即 在和中， 在和中， ，即是的中点； （2）解：成立，理由如下： ， ，即 ， 在和中， 在和中， ，即是的中点． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）为了测量一池塘两端的距离，如图在平地取一个可直接到达的点，连接，并分别延长到点，延长到点，使，测出的长即为的距离，是运用了“全等三角形的对应边相等”这一性质，其运用判定全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法“”即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴其运用判定全等的方法是， 故选：． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图所示的四个三角形中，能够全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定（），解题的关键是识别三角形的两边及其夹角是否对应相等． 根据判定定理，判断各三角形的两边及夹角是否对应相等，进而确定全等的三角形． 解：A、①的两边为、，夹角；②的两边为、，夹角，由可知①②全等，此选项符合题意； B、C、D选项均不满足判定两三角形全等的条件； 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在中，，．若，，则（） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意可证，进而可证明，可得，，则题目可解． 解：∵，， 且， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，，，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有、、、和． 直接根据已知条件作答即可． 解：∵在和中， ， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余，求出，再证明，根据全等三角形的对应角相等得出结论． 解：如图，在中，， 则， 在和中， ， ， ． 6．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）的边上有三点、、，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，，，进而得到四边形周长，计算即可． 解：，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴四边形周长 ． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 8．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论． 解：∵， ∴，的面积， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 9．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，点，，在同一直线上，，要使，添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的性质由推出，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 解：∵点在同一直线上， ∴，， ∵， ∴， 在和中， 已知（公共边），， A、添加，这是已知条件的推论，无法证明； B、添加， 在和中， ∴，故该选项符合题意； C、添加，这是公共边，无法证明； D、添加，无法证明． 10．（2024·浙江·模拟预测）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系．延长至，使，连接，则，证明，得到，再根据三角形三边关系进行计算即可得到答案． 解：如图设边上的中线为， ∵， ∴， 由题意得，， ∴，， ∴， 如图，延长至，使，连接，则，   是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ． ∴． 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，要使，则需添加的条件是_____（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，核心是结合已知条件选择合适的判定方法．已知，且是与的公共边（即），目前已有一组角和一组边对应相等，根据全等三角形的、、判定定理，补充对应条件即可． 解：以添加为例， 在和中， ，，， ． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2026·湖南株洲·一模）如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 【答案】20 【分析】根据题意利用“边角边”证明与全等，再根据全等三角形对应边相等即可求解； 解：在和中， ， ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质与同角的余角相等等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答此题的关键． 先根据直角三角形的性质、同角的余角相等得，再证明即可得解． 解：，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：10． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 【答案】 解：∵于点， ∴， ∵， ∴当时，根据“”可判定. 15．（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接．若，的面积为10，则的长为______． 【答案】4 【分析】过点P作于点E，根据三角形的面积公式求出的长，证明，可得，据此求解即可． 解：如图所示，过点P作于点E， ∵，， ∴； ∵的面积为10， ∴， ∵， ∴； ∵点P在的角平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，将沿方向平移得到，连接，若恰好经过的中点，则的长度为_____________． 【答案】 【分析】先根据平移的性质得到，，证明，可得到，进而推出，即可得解． 解：沿方向平移得到， ，， ，， 点为的中点， ， ，，， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的_____． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、． 解：①、由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②、由，推出，由判定，故②符合题意； ③、，，，由判定，故③符合题意； ④、增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：． 【答案】见分析 解：证明：∵ ∴ ∵为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，点是的中点，连接并延长，连接并延长，与的延长线交于点，且．试说明：． 【答案】证明：∵点是的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】根据中点的定义得到，根据平行线的性质得到，证明，得到，证明，可知． 解：略． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）骏骏利用所学知识测量了河两岸A、B两点间的距离（如图）．测量过程如下： ①骏骏在点B所在河岸同侧的平地上选取一点C，连接并延长至点D，使得； ②过点D作交的延长线于点E． 已知图中所有点均在同一平面内．骏骏认为的长就是河两岸A、B两点间的距离，你觉得骏骏的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出你的测量方法． 【答案】骏骏的说法正确；理由如下： ， ，， ， ， ， 骏骏的说法正确． 【分析】根据全等三角形的判定与性质求解即可． 解：略 22．（本小题满分10分）（2026·江苏盐城·二模）已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． （1）你选的条件是： ；（填写序号） （2）证明：． 【答案】（1）①③或②③；（2）选①③ 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 选②③ 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，再选两个条件，根据证明，根据全等三角形的对应角相等得，根据同位角相等两直线平行，即可得出结论． 解：（1）略 （2）略 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，完成下列尺规作图： （1）作边上的高； （2）作，使，且点E在边上． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【分析】（1）以点为圆心，以大于点到的距离为半径画弧，交于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于一点，作射线，交于，即为所求； （2）以点为圆心，长为半径画弧交于点，此时，，，利用即可得出，即为所求． 解：（1）略 （2）略 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，连接交于点，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 又， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的等量关系转换以及线段中点的定义． （1）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，根据，，，即可证明； （2）由（1）知，则有，，进而推得，再通过寻找相等的边和角，利用判定定理证明，利用全等三角形的性质得到对应边和角相等，从而得到，即证． 解：（1）略 （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $