专题03 垂直平分线与角平分线（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦垂直平分线与角平分线核心知识点，系统梳理性质定理、判定定理、尺规作图步骤，构建从基础应用到综合推理的学习支架，涵盖长度角度计算、证明及实际问题解决。 资料通过“典例+变式”分层设计题型，融入多定理综合推理与实际应用案例，培养学生推理能力和应用意识，尺规作图环节发展几何直观，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题03 垂直平分线与角平分线 1.理解和掌握垂直平分线与角平分线性质和判定定理，能应用性质和判定解决一些简单的实际问题； 2.能运用线段的角平分线与垂直平分线的性质和判定定理解决有关的证明或计算；垂直平分线+角平分线的综合推理； 3.能够利用尺规作出三角形的角平分线和垂直平分线；已知垂直平分线或角平分线，辅助线的添加； 4.垂直平分线中的距离是“点到点”，角平分线中的距离是“点到线”，切记不要混淆。 1.线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端的 距离相等 ． 2.线段的垂直平分线的逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线 上。 3、线段垂直平分线的尺规作图（步骤）：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）。 注意：线段的垂直平分线性质是证明两线段相等的常用方法之一；同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。 4、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的 距离相等 。 如图1，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。 图1 图2 图3 5、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在 角的平分线 上。 如图2，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB。 拓展：三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等，这点是三角形内切圆的圆心（内心）。 6、角的平分线的尺规作图（步骤）：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；（3）画射线OC，即射线OC即为所求（如图3所示）。 题型01 线段垂直平分线的性质定理的运用（长度、角度） 【典例】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分，， ，故选：D． 【变式1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，∴，， ∴的周长为，故选：C． 【变式2】（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【详解】解：由作图可知：垂直平分，∴， ∴的周长为:；故答案为：14． 【变式3】（24-25·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，，，， ，，故选：C． 题型02 线段垂直平分线的判定定理及运用 【典例】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，，∴， ∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴点A和点D在的垂直平分线上，∴垂直平分． 【变式1】（24-25·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∴在和中，，∴，∴； （2）证明：∵，∴，∴， ∴点O在线段的垂直平分线上． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期中）定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O．    (1)求五边形每一个内角的度数；(2)求证：；(3)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)均为(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：由题意得：； （2）证明：，， 同理得：，， ，，；    （3）证明：连接，，，，，∴，， ，，垂直平分． 【变式3】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由；(2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析.(2) 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下：如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线，∴，， ∴，∴点在的垂直平分线上； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形，∴，， ∵，，∴， ∵，∴， ∴． 题型03 角平分线性质定理的运用（长度、面积、角度） 【典例】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过O作于点E，∵平分，，∴， ∴的面积，故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，，，∴， ∵，，∴，∴．故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，，∴， ∵Q为上一动点，∴的最小值为的长，即的最小值为2．故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分，∴， ∵，∴， ∴，∴；故选D． 题型04 角平分线的判定定理的运用 【典例】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    【详解】证明：∵，分别为的两个外角平分线，，，， ∴，，， 又∵，，点在的平分线上． 【变式1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，点E、F分别在上，是的垂直平分线，，，交于点G． (1)求证：平分；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线，∴， ∵，，∴平分； （2）解：∵，∴， ∵是的垂直平分线，∴，∴，∴， ∴，，∴，∴． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且.(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，，且，求的面积. 【答案】(1)(2)见解析(3)的面积为15 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，，∴，∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，，， 由（1）可知，，即平分， ，，，，又点在的内部，平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点，由（2）已得：， 设，∵，∴， ∴，即，∴， 又∵，∴，，∵，∴的面积为． 【变式3】（24-25八年级上·广东·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点． (1)求的度数；(2)连接，求证：平分． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：与都是等边三角形， ，，，， 在和中，，，， ； （2）证明：连接，作，于点，，如图所示： ，，，，，平分． 题型05 角平分线的第二定理（拓展） 【典例】（25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日                                  星期日                             晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，是的角平分线，，，，之间的关系为：．    思路：“关联”角平分线的性质，过点D分别作垂足为E，作垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，因为是的角平分线，且，，所以（依据）． 因为，，所以． 因为，所以  …… 解后反思：关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务：(1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ；(2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在中，点E为的中点，平分，，与交于点O，于点P，于点Q，已知的面积为6，则的面积为 ．   【答案】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)补充如下：所以，， 所以，所以 （3）解：∵在中， 平分，，∴， ∵点E为的中点，∴，∴， ∴，∴已知的面积为6， ∴，∴，∵点E为的中点，∴． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，，，垂足分别为，，， 的三条角平分线交于点O，，，，， ．故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点，∴___________， ∴___________， 又∵___________，∴． (1)请你补全小海同学的证明过程；(2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，，(2)成立，证明见解析 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点，∴， ∴，又∵，∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点．求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，，∴，∴， 又∵，∴＝． 【变式3】（24-25八年级上·广东珠海·期末）某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． (1)【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． (2)【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分；②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 【答案】(1)①，；②见解析(2)①证明见解析；②图见解析，1 【详解】（1）解：①根据“发现”，完成填空：， ②选择：在中，是它的角平分线，点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为h，则； 选择：点D在上，点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为，则； （2）解：①证明：，，由（1）得，， 是的中点，，，又是的角平分线，垂直平分； ②如图，即为所求；延长交的延长线于点G，设，， 由①得，， 是的角平分线，，，， 在和中，，， ，，， 由①得，，，， ，，． 题型06 多定理叠加运用（垂直平分线+角平分线） 【典例】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上，∴．（依据： ） ∵，∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵，∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【答案】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ；；；到角两边距离相等的点在角的角平分线上． 【详解】证明：连接，∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∵，∴． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵，∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上） 即平分． 【变式1】（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，连接， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， ∵是的一个外角，∴，∴， 即，∴， ∵是的垂直平分线，∴，∴，∴， 又∵，，∵， 在和中,，，∴， ∴，∴，故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接 ∵是的平分线 ，∴，∵，，∴， 在和中 ，，∴，∴，， ∵是的垂直平分线，∴， 在和中 ，，∴，∴， ∵，，∴，∴，故选：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．(1)求证：．(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接和，∵是的垂直平分线，∴， ∵平分，，，∴，， 在和中，， ∴，∴； （2）证明：∵平分，，，∴，， 在和中， ，∴，∴， ∵，∴，即． 题型07 线段垂直平分线与角平分线的实际应用 【典例】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：A选项：根据 角平分线上的点到角两边的距离相等，可知：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故A选项不符合题意； B选项：三角形三条中线的交点到三角形三边的距离不一定相等，故B选项不符合题意； C选项：三角形三条高的交点的位置与三角形的形状有关，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故C选项不符合题意；D选项：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，为使游戏公平，凳子应放在三角形的三条边的垂直平分线的交点 上，故D选项符合题意．故选：D． 【变式1】（24-25·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（    ）． A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】A 【详解】解：如图所示，分别作，，的垂直平分线，则三条垂直平分线的交点P即为可供选择的地址，有1处．故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【详解】解：如图所示，根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等，∴可供选择的地址有4个，故选：D ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上．故选A． 题型08 线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 【典例】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，某足球训练基地内有两条训练通道，，主训练场、备用训练场分别位于，两处．现计划在基地内设置一个球员休息区，请你帮忙确定休息区的位置． 要求：①休息区到通道和的距离相等；②休息区到主训练场点和备用训练场点的距离相等；③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】P点位置如图所示： 【详解】解：由休息区到通道和的距离相等，∴休息区在的平分线上； 由休息区到主训练场点和备用训练场点的距离相等，∴休息区在的垂直平分线上； ∴作的平分线和的垂直平分线，它们的交点即为所求． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 【答案】根据得到点在线段的垂直平分线上，由点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，得到点也在的平分线上，则交点即为点，再根据尺规作线段的垂直平分线和的平分线的步骤作图即可．如图，点即为所求； 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）用圆规与直尺作图 (1)如图，A、B、C是新建的三个居民小区，政府要在与三个居民小区距离相等的地方修建了一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M． (2)如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示：M点即为所求． （2）解：如图所示：P点即为所求． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，两条笔直的小路与相交于点，点、处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在内部修建一处观景台，使得观景台到的距离与观景台到的距离相等．且，请你找出观景台的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，作的平分线，与的垂直平分线交于点，点即为所求．∵观景台到的距离与观景台到的距离相等，∴点在的角平分线上， ∵，∴点在线段的垂直平分线上， ∴的角平分线于线段的垂直平分线上的交点即为点． 题型09 角平分线的性质与判定综合运用 【典例】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：和的平分线相交于点，，， ，①错误； ，，，分别是与的平分线， ，，，， 如图，在上取一点，使，是的角平分线，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，，故②正确；作于，于， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上，，， ，故③正确．故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵平分，，，∴， 在和中，，∴，故①正确；∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故②正确； ∵，∴，设交于， ∵，∴，故③正确； ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴，即， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∵和不一定相等， ∴和不一定相等，∴和不一定相等，故④错误； 综上，正确结论的序号有①②③，故选：． 【变式2】（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：设，， 平分交于点，平分交于点，， ，，，； 在中，，故①说法正确，符合题意； 是的角平分线，不是三角形的中线，与不一定相等，故与不一定相等， 故②说法错误，不符合题意；若，则， ∵平分，∴，∴，， ，故③说法正确，符合题意；如图1所示，在边上取，连接， 平分，，，，， ∵，，， 又平分，∴，， ，，，故④说法正确，符合题意； 过作于，于，∵，∴， ∵，，， 故⑤说法正确，符合题意；综上，说法正确的有①③④⑤，共4个．故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，，角平分线、交于点，于点，．下列结论：①点在的平分线上；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：过点O作于点G，于点N，如图所示： ∵是的角平分线，，，∴， 同理得：，∴，∴点在的平分线上，故①正确； 在中，，，分别是的角平分线， ，， ，则，结论②正确； 如图，在上取一点，使得，连接，连接， 在和中，，， ，， 由对顶角相等得：，， 在和中，，，，， ，， 在和中，，，， 在和中，，，， ∴，故③错误；由以上证明可知：， ∴，故④正确；综上，正确的结论是①②④，故答案为：①②④． 【变式4】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，角平分线、交于点O，于点F．下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论有 ． 【答案】①③ 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线，，∴， ∵，，∴，结论①正确； ∵，，∴，∴， ∵是的角平分线，∴，∴， ∵，∴，结论②错误； 如图，过点作于点，作于点， ∵是的角平分线，是的角平分线，， ∴，，， ∵，∴， ∴，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，结论③正确； 如图，在取一点，使得，连接， ∵是的角平分线，是的角平分线，∴，， 在和中，，∴，∴，， 由上已证：，∴，∴，即， 在和中，，∴，∴， 设，∵，∴，∴， ∴， 又∵，∴，∴， ∴， ∴，结论④错误；综上，正确结论有①③，故答案为：①③． 题型10 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用 【典例】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：，，，， ，，所以①正确； 是的角平分线，， ，而， ，所以②正确； 垂直平分，，， ，，，所以③正确； ，，所以④正确． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C）， ∴直线垂直平分，故①正确； ②由①得，直线垂直平分，∴，， ∴，，∴ ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∴，∴， ∴，∴，∴ 又∵，∴ 即， 又∵(已证)，∴，故②正确； ③∵，∴，∴ 又∵，∴与不一定相等， ∴与不一定相等，∴与不一定相等，故③错误； ④∵是的中点，∴，∵，∴，∴，， 又，∴，∴， ∴，故④正确；综上所述，一定正确的有①②④，故选：C． 【变式2】（24-24八年级上·山西临汾·阶段练习）情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：∵DM是边AB的垂直平分线， ∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C， 则 解得∠BAC＝105°． 情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系． (1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______． (2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）． (3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)；理由见解析 【详解】（1）解：是的垂直平分线，， ，(SAS)，，故答案为：； （2）由(1)知，，同理可得，， ，， ，故答案为：； （3）∠MAN+2∠BAC=180°； 理由：是的垂直平分线，， ，，同理可得，， ，， ，， ，，． 【变式3】（24-25·吉林长春·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O． (1)如图1，当时，直接写出的度数_________； (2)如图1，当，且． ①若，则________°；②当_________°时，； (3)如图2，连接，，．若的周长为，的周长为．则线段________；线段__________．(4)如图3，若，则__________°． 【答案】(1)(2)①60；②135(3)9；6(4)36 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分，∴，， ∴，， ∴；故答案为：． （2）解：①∵，∴， ∵垂直平分，垂直平分，∴，， ∴，，∴， ∴；故答案为：60； ②∵，∴，根据解析①可知，， ∵，∴， ∴，即当时，；故答案为：135． （3）解：根据解析（2）可知，，， ∵的周长为，∴，∴，即， ∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴， ∵的周长为，∴，∴， 解得：．故答案为：9；6． （4）解：∵，∴， ∵垂直平分，垂直平分，∴，， ∴，，∴， ∴， ∵，∴．故答案为：36。 【巩固训练】 1．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A、∵，，∴垂直平分， ∴，∴四边形是筝形； B、∵，，，∴，∴，∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴，∴，，∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形；选：D. 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分，， ，故选：D． 3.（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，点P是内的一点，若，则（　　）    A．点P在的平分线上 B．点P在的平分线上 C．点P在边的垂直平分线上 D．点P在边的垂直平分线上 【答案】C 【详解】解：∵，∴P在线段的垂直平分线上．故选C． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据基本作图，得平分，故，故C选项正确，不符合题意； 根据基本作图，得，故，故A选项正确，不符合题意； 根据题意，得，故D选项正确，不符合题意； 无法证明，故无法证明，故B选项错误，符合题意；故选：B． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作，垂足为，，垂足为， 是两把完全相同的长方形直尺，，，， ，，，， 点在这把直尺上的刻度读数分别是，，故选：A． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过作于，平分，于点．， 又，，的面积为：故选：D． 7．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处．故答案为：三条角平分线的交点处． 8．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵为线段的垂直平分线，∴， ∵，，的周长为，∴ ∴，故答案为：． 9.（24-25·浙江八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__． 【答案】11． 【详解】解∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，GA＝GC， ∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11． 10．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，的三边的长分别是30，40，50，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为30、40、50， ．答案：． 11．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：，，， 为的角平分线，，， 在和中，， ，平分． 12．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．(1)求证：垂直平分．(2)若，，，求的长．    【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵AD是的角平分线，，∴ 在与中，∴（HL）∴， ∵，∴AD垂直平分EF； （2）解：∵，∴ ∵，，∴ 【强化训练】 1．（2025·天津南开·三模）如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）： ①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ③连接，与相交于点．则下列结论一定正确的是（    ） A．垂直平分 B． C．平分 D． 【答案】B 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则有，即选项B正确，其它选项错误． 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④； ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：设，， 平分交于点，平分交于点，， ，，，； 在中，，故①说法正确，符合题意； 是的角平分线，不是三角形的中线， 与不一定相等，故与不一定相等，故②说法错误，不符合题意； 若，则，∵平分，∴， ∴，，，故③说法正确，符合题意； 如图1所示，在边上取，连接， 平分，，，，， ∵，，， 又平分，∴，， ，，，故④说法正确，符合题意； 过作于，于，∵，∴， ∵，，， 故⑤说法正确，符合题意；综上，说法正确的有①③④⑤，共4个．故选：C． 3.（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵，∴，，∵， 又∵点在的内部，∴点在的平分线上，则结论①正确；如图，连接， 在和中，，∴， ∴，∴点在的平分线上，结论②正确； 如图，延长至点，使得，连接，则， 在和中，，∴，∴，， ∵点在的平分线上，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，则结论③错误； 由上已证：，∴， ∴的周长为 ，则结论④正确；综上，结论正确的是①②④，故选：B． 4.（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【详解】解：连接，∵平分，，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵是的垂直平分线，∴， 在和中，，∴，∴， 又∵，，∴， 整理得：，∴，故答案为：2． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，角平分线、相交于，，，，则 （用含、的式子表示） 【答案】 【详解】解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图； 平分，， ，，，，， 平分，， ，，，， ，，， ，，又， ，，，则， ∴．故答案为：． 6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)2 【详解】（1）证明：如图，连接、，∵，D为中点，∴， ∵，，且平分，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：，证明如下： 在和中，，∴， ∴，由（1）知，∴．即； （3）解：由（2）知，∵，，∴， ∴，∴，故答案为：2． 7．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题提出】如图，在中，是它的角平分线．对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究：分别过点作于，于，运用角平分线的性质可证 得．完成这一证明后，提出一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】（）如图，若时，______（填“”“”或“”）； 【深入探究】（）如图，当时，（）中的结论还成立吗，写出你的猜想并给予证明； 【结论应用】（）如图，是上的点，连接，若，，，求证：是等腰三角形；（）如图，是的角平分线，且与相交于，若，，直接写出的值是______． 【答案】（）；（）成立，证明见解析；（）证明见解析；（）． 【详解】（）如图，∵，平分， ∴平分，即，∴，故答案为：； （）成立．证明：设边上的高为，则，又∵，∴； （）∵，，∴，∴，∴，∴， ∵平分，∴，又∵， ∴，∴，∴，∴是等腰三角形； （）在上取，∵，∴ ∵平分，∴，， ∴， ∴，∴，∴， ∵平分，∴，又∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴是的角平分线，∴，又∵是的角平分线，∴，∴， ∴，∴，∴，故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．(1)的度数是 ；(2)求证：平分；(3)若，且，求的面积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：，， ，，． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，       平分，，， 由（1）可知，，即平分，，， 又点在的内部，平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：，设， ，，，即， 又，，， ，的面积为． 9．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，是的角平分线，以D为顶点作，与射线、线段分别交于点E，F，且点A与点F关于直线对称． 【特例感知】(1)如图1，若为等边三角形，点E在线段上，则 ； ；= ； 【深入探究】(2)如图2，若点E在线段上，连接，求证：垂直平分； 【拓展延伸】(3)作垂足为点H，若，探究线段与之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示，由轴对称的性质可得， ∵，∴； ∵是等边三角形，是的角平分线， ∴，即，，，∴； ∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴； (2)证明：如图所示，过点D作于点G，于点H，∴； ∵是的角平分线，∴， 又∵，∴，∴； 由轴对称的性质可得， ∵，∴； ∵，，， ∴，∴，∴， 又∵，∴垂直平分； （3）解：如图所示，当点E在上时，过点D作于点T， 同理可证明，∴， 同理可证明， ∴，由轴对称的性质可得，∴，∴； ∵，∴， ∵，∴，∴； 如图所示，当点E在的延长线上时， 同理可得 ∵，∴； 综上所述，或． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，是的平分线，为射线上一个动点，以为圆心，截取交于点，为射线上一定点，将沿折叠得到，在直线上取一点使得，连接． (1)点在如图位置时；①证明：；②图中可表示的的补角是 ； (2)请直接写出在运动过程中、、的等量关系 ． 【答案】(1)①证明：是的平分线，， ，，， ，，， 在和中，，； ②在中，，， 是的平分线，，，是的补角； （2）解：由（1）知，，，由折叠性质得，， 当点在点、之间时，如图所示：； 当点在点外侧时，如图所示：， 当点在点的左侧时，如图所示：∴； 综上所述，点在运动过程中、、的等量关系为或． 11．（25-26八年级下·浙江·期中）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积；(3)若P是直线上的一个动点，求最小值． 【答案】(1)垂直平分线，平分线；(2)2；(3)6． 【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，，所以， 所以． （3）解：如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线，所以，，所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 3 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 垂直平分线与角平分线 1.理解和掌握垂直平分线与角平分线性质和判定定理，能应用性质和判定解决一些简单的实际问题； 2.能运用线段的角平分线与垂直平分线的性质和判定定理解决有关的证明或计算；垂直平分线+角平分线的综合推理； 3.能够利用尺规作出三角形的角平分线和垂直平分线；已知垂直平分线或角平分线，辅助线的添加； 4.垂直平分线中的距离是“点到点”，角平分线中的距离是“点到线”，切记不要混淆。 1.线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端的 距离相等 ． 2.线段的垂直平分线的逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线 上。 3、线段垂直平分线的尺规作图（步骤）：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）。 注意：线段的垂直平分线性质是证明两线段相等的常用方法之一；同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。 4、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的 距离相等 。 如图1，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。 图1 图2 图3 5、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在 角的平分线 上。 如图2，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB。 拓展：三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等，这点是三角形内切圆的圆心（内心）。 6、角的平分线的尺规作图（步骤）：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；（3）画射线OC，即射线OC即为所求（如图3所示）。 题型01 线段垂直平分线的性质定理的运用（长度、角度） 【典例】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【变式1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【变式3】（24-25·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型02 线段垂直平分线的判定定理及运用 【典例】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【变式1】（24-25·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期中）定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O． (1)求五边形每一个内角的度数；(2)求证：；(3)连接，求证：垂直平分． 【变式3】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由；(2)若，求的度数． 题型03 角平分线性质定理的运用（长度、面积、角度） 【典例】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型04 角平分线的判定定理的运用 【典例】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    【变式1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，点E、F分别在上，是的垂直平分线，，，交于点G． (1)求证：平分；(2)若，求证：． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且.(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，，且，求的面积. 【变式3】（24-25八年级上·广东·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点． (1)求的度数；(2)连接，求证：平分． 题型05 角平分线的第二定理（拓展） 【典例】（25-26七年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日                                  星期日                             晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，是的角平分线，，，，之间的关系为：．    思路：“关联”角平分线的性质，过点D分别作垂足为E，作垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，因为是的角平分线，且，，所以（依据）． 因为，，所以． 因为，所以  …… 解后反思：关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务：(1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ；(2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在中，点E为的中点，平分，，与交于点O，于点P，于点Q，已知的面积为6，则的面积为 ．   【变式1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点，∴___________， ∴___________， 又∵___________，∴． (1)请你补全小海同学的证明过程；(2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【变式3】（24-25八年级上·广东珠海·期末）某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． (1)【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． (2)【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分；②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 题型06 多定理叠加运用（垂直平分线+角平分线） 【典例】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上，∴．（依据： ） ∵，∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵，∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【变式1】（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．(1)求证：．(2)求证：． 题型07 线段垂直平分线与角平分线的实际应用 【典例】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【变式1】（24-25·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（    ）． A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 题型08 线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 【典例】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，某足球训练基地内有两条训练通道，，主训练场、备用训练场分别位于，两处．现计划在基地内设置一个球员休息区，请你帮忙确定休息区的位置． 要求：①休息区到通道和的距离相等；②休息区到主训练场点和备用训练场点的距离相等；③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）用圆规与直尺作图 (1)如图，A、B、C是新建的三个居民小区，政府要在与三个居民小区距离相等的地方修建了一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M． (2)如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，两条笔直的小路与相交于点，点、处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在内部修建一处观景台，使得观景台到的距离与观景台到的距离相等．且，请你找出观景台的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型09 角平分线的性质与判定综合运用 【典例】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，，角平分线、交于点，于点，．下列结论：①点在的平分线上；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号） 【变式4】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，角平分线、交于点O，于点F．下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论有 ． 题型10 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用 【典例】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【变式2】（24-24八年级上·山西临汾·阶段练习）情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：∵DM是边AB的垂直平分线， ∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C， 则 解得∠BAC＝105°． 情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系． (1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______． (2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）． (3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】（24-25·吉林长春·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O． (1)如图1，当时，直接写出的度数_________； (2)如图1，当，且． ①若，则________°；②当_________°时，； (3)如图2，连接，，．若的周长为，的周长为．则线段________；线段__________．(4)如图3，若，则__________°． 【巩固训练】 1．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 3.（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，点P是内的一点，若，则（　　）    A．点P在的平分线上 B．点P在的平分线上 C．点P在边的垂直平分线上 D．点P在边的垂直平分线上 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 8．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 9.（24-25·浙江八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__． 10．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，的三边的长分别是30，40，50，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于 ． 11．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 12．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．(1)求证：垂直平分．(2)若，，，求的长．    【强化训练】 1．（2025·天津南开·三模）如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）： ①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ③连接，与相交于点．则下列结论一定正确的是（    ） A．垂直平分 B． C．平分 D． 2．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④； ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4.（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，角平分线、相交于，，，，则 （用含、的式子表示） 6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 7．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题提出】如图，在中，是它的角平分线．对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究：分别过点作于，于，运用角平分线的性质可证 得．完成这一证明后，提出一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】（）如图，若时，______（填“”“”或“”）； 【深入探究】（）如图，当时，（）中的结论还成立吗，写出你的猜想并给予证明； 【结论应用】（）如图，是上的点，连接，若，，，求证：是等腰三角形；（）如图，是的角平分线，且与相交于，若，，直接写出的值是______． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．(1)的度数是 ；(2)求证：平分；(3)若，且，求的面积． 9．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，是的角平分线，以D为顶点作，与射线、线段分别交于点E，F，且点A与点F关于直线对称． 【特例感知】(1)如图1，若为等边三角形，点E在线段上，则 ； ；= ； 【深入探究】(2)如图2，若点E在线段上，连接，求证：垂直平分； 【拓展延伸】(3)作垂足为点H，若，探究线段与之间的数量关系． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，是的平分线，为射线上一个动点，以为圆心，截取交于点，为射线上一定点，将沿折叠得到，在直线上取一点使得，连接． (1)点在如图位置时；①证明：；②图中可表示的的补角是 ； (2)请直接写出在运动过程中、、的等量关系 ． 11．（25-26八年级下·浙江·期中）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积；(3)若P是直线上的一个动点，求最小值． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $