专题 14.6 全等三角形几何模型（手拉手）讲义 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学全等三角形手拉手模型，先通过定义明确模型内涵，梳理等边三角形、等腰三角形、正方形三大模型的条件、图形及结论，再分夯实基础与综合培优六类题型应用，最后同步检测巩固，构建从模型到应用的完整学习支架。 该资料以三大模型六类题型分层设计，例题选自各地期末期中真题，通过图形观察培养几何直观，证明过程发展推理能力，问题解决强化应用意识。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生通过变式练习查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

专题 14.6 全等三角形几何模型（手拉手）讲义【三大模型六类题型】 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】等边三角形手拉手基本模型 2 【题型2】等腰三角形手拉手模型 8 【题型3】正方形手拉手模型 12 三.题型精析（综合培优） 15 【题型4】等边三角形手拉手基本模型 15 【题型5】等腰三角形手拉手模型 19 【题型6】正方形手拉手模型 25 四.同步检测 31 （一）选择题（共4题，每小题3分，合计12分） 31 （二）填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 35 （三）解答题（共8题，每小题9分，合计72分） 41 一.模型梳理 （一）定义： 两个有公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度后，能与另一个三角形重合，连接对应顶点形成的线段，所构成的几何模型称为手拉手模型。 （二）常见的模型及证法 ①基本图形 条件 基本图形 结论及证明思路 如图，AB=AD，AC=AE（四线共点，两两相等）且（夹角相等） 结论： ②等边三角形手拉手模型 条件 基本图形 结论及证明思路 如图，和都是等边三角形， 连接AD交CE于点N，连接BE交AC于点M. （1） （2） （3） （4）是等边三角形 ③正方形手拉手模型 条件 基本图形 结论及证明思路 如图，四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，连接DG、BE交于点H. 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】等边三角形手拉手基本模型 【例题1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，分别以的边，为边向形外作等边三角形和等边三角形，连，．求证：． 【答案】证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，掌握“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键． 由等边三角形的性质可得，进而得到，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 解：略 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ） A．①，②，③ B．①，②，④ C．①，③，④ D．②，③，④ 【答案】C 【分析】由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BHD≌△BGE，△ABG≌△CHB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 解：①根据题意可知，AB=BC，BE=BD，∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，∴三角形ABE≌三角形CBD，∴AE=CD； ③∵三角形ABE≌三角形CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∠AGB=∠CGF， ∴∠AFC=∠ABC=60°； ④∵∠ABC=∠EBD=60°， ∴∠CBE=60°， ∵AB=BC，∠EAB=∠BCD， ∴三角形AGB≌三角形CHB， ∴GB=BH， ∴三角形BGH为等边三角形； ②设AB⊥FB，则FB⊥AD，易证△ABF≌△DBF，可得AB=BD，显然与已知条件矛盾，故②错误； 故答案为C. 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】（初中数学683【2019年】【初二上】）如图所示，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连结，，则下列结论①；②；③；④，其中正确的有_________. 【答案】①②③④ 【分析】利用等边三角形的性质即可证出，利用全等三角形的性质即可判断④，然后再证△ACG≌△BCF即可判断②和③. 解：∵和均是等边三角形 ∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60° ∵点B，C，E在同一条直线上 ∴∠ACD=180°－∠BCA－∠DCE=60° ∴∠BCD=∠ACE=120° 在△ACE和△BCD中 ∴（①正确） ∴∠CAE=∠CBD ∵∠AFO=∠BFC ∴（④正确） 在△ACG和△BCF中 ∴△ACG≌△BCF ∴AG=BF（②正确），CG=CF ∵∠FCG=60° ∴△FCG是等边三角形 ∴∠CFG=60°=∠ACB ∴（③正确） 故答案为①②③④. 【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握判定三角形的各个判定定理和利用全等的性质推导边或角相等是解决此题的关键. 【变式3】（24-25八年级上·吉林松原·期中）感知：如图①，和都是等边三角形，连接、，依据_____________ ；进而得到线段，依据________； 探究：如图②，，，、相交于点M，连接． （1）线段与之间是否仍存在（1）中的结论？若存在，请证明，请直接写出与之间的数量关系； （2）_______（用含的式子表示）． 【答案】感知：；全等三角形的对应边相等； 探究： （1）存在，， 证明如下：，， ， 在和中， ， （）， （全等三角形的对应边相等）； （2）． 【分析】感知：根据等边三角形的性质得到，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到； 探究：（1）证明，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可； 解：感知： 解：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， （）， （全等三角形的对应边相等）， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； 探究：（1） 略 （2）， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】（2026·江苏徐州·一模）与为等边三角形．，，连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形外角定理． （1）根据等边三角形的性质证明，根据全等三角形对应边相等得到答案． （2）根据，得到对应角相等，根据已知条件得到，根据三角形外角定理得到，继而得到． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型2】等腰三角形手拉手模型 【例题2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，等腰三角形和等腰三角形中，，，，连接、． （1）求证：； （2）延长、交于点．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）40° 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明即可； （2）由（1）得出，再根据三角形内角和证明即可． 解：（1）证明：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ （2）∵， ∴， 又∵， ∴。 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，先根据“边角边”证明，可得，再根据三角形外角的性质得，进而得出，最后根据平角定义得出答案． 解：∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴， 即, ∴， ∴， 即. 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点，连接．下列结论：①；②⊥；③平分；④．其中正确结论的是__________． 【答案】①②④ 【分析】证明△DAC≌△EAB，再利用全等三角形的性质即可判断①；②由全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB，再由∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD =90°，证得∠EOD=90°，即可判断②；过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AO平分∠BOD即可判断④；根据现有条件无法证明OA平分∠CAE即可判断③． 解：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠DAE+ ∠EAC=∠BAC+ ∠EAC=∠EAB， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠AEB，故①正确： ∵∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD=90°， ∴∠AED+∠EDO+∠AEB=90°， ∴∠OED+∠ODE=90°， ∴∠EOD=90°， ∴BE⊥CD，故②正确： 如图，过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N， ∵△DAC≌△EAB， ∴， ∴AM=AN， ∴OA平分∠BOD， ∵BE⊥CD， ∴∠BOD=90°， ∴∠AOD=∠AOB=45°，故④正确； 根据现有条件无法证明OA平分∠CAE，故③错误， ∴正确结论为①②④． 故答案为：①②④ 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与定义，以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解答本题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即； ∵ ∴； ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证推出，进而即可得证． 解：略 【题型3】正方形手拉手模型 【例题3】（24-25九年级上·云南文山·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，若，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，证明是解题的关键．根据证明即可． 解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．2 B． C．1 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，设与交于点，与交于点，证明，则面积面积，由此可得四边形面积面积，据此解答即可． 解：设与交于点，与交于点， 四边形，是正方形， ，．，， ，， ． ． ， ． ， 正方形的面积为， ，即两个正方形重叠部分的面积是 故选：C． 【变式2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都是1，若正方形绕点O转动，则这两个正方形重叠部分的面积为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，从而，可得，即可求解． 解：在正方形和正方形中， ， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 故两个正方形重合部分的面积为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）已知四边形和四边形都是正方形，且，连接、．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设交于点，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据正方形的性质，利用证明，即可； （2）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质，得到，利用外角的性质，得到，即可． 掌握正方形的性质，证明，是解题的关键． 解：（1）略 （2）略 三.题型精析（综合培优） 【题型4】等边三角形手拉手基本模型 【例题4】（24-25七年级上·山东东营·期中）线段BD上有一点C，分别以BC、CD为边作等边三角形ABC和等边三角形ECD，连接BE交AC于M，连接AD交CE于N，连接MN，求证： （1）∠1＝∠2； （2）CM＝CN； （3）△CMN为等边三角形 【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60° ∵△ECD是等边三角形， ∴EC=CD，∠ECD=60°， ∴∠ACB=∠ECD， ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD +∠ACE，                    即：∠BCE=∠DCA ， 在△ACD和△BCE中, AC=BC，∠DCA=∠BCE，EC=CD， ∴△ACD≌△BCE， ∴∠1=∠2； （2）∵∠ACB=∠ECD=60°， ∴∠ACE=180°-∠ACB-∠ECD=180°-60°-60°=60°， ∴∠ACB=∠ACE . 在△ACN和△BCM中， ∠1=∠2，AC=BC,∠BCM=∠ACN， ∴△ACN≌△BCM（ASA）， ∴CM＝CN； （3）∵CM＝CN， ∴△MCN是等腰三角形， 又∵∠ACE=60°， ∴△CMN是等边三角形， 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠ECD＝60°，AC=BC．CE=CD，推出∠BCE=∠DCA，证得△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）由∠ACB=∠ECD=60°，根据平角的等于可求得∠ACE=60°，即可得∠ACB=∠ACE ，利用ASA判定△ACN≌△BCM，根据全等三角形的性质可得CM＝CN； （3）由CM＝CN得△MCN是等腰三角形，又因∠ACE=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形，即可判定△MCN是等边三角形． 解：略 【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平角的性质，解题关键是掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平角的性质． 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点M、P，交于点Q，连接．下列结论①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中结论正确（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，先根据等边三角形的性质证明，可说明①②，并根据全等三角形的性质得，再根据，即可证明③，然后根据“角边角”证明，可得，说明④即可；最后根据说明⑤． 解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 可知①②正确； ∵， ∴． ∵， ∴． 可知③正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三角形． 可知④正确； ∵， ∴． 可知⑤不正确． 正确的有①②③④，共4个． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接．给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定． 利用等边三角形的性质得到对应边和角的相等，得证，再根据全等三角形的性质和平行线的判定定理来判断其他结论是否正确． 解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∵根据已知条件不能得出， ∴不能得出，故结论④错误． 综上，正确结论的序号有①②③． 【题型5】等腰三角形手拉手模型 【例题5】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知和都是等腰三角形，交于点F，连接． （1）说明与的关系并证明； （2）求的度数． 【答案】（1），，证明如下： 设交于O， ， ∴ ， 在与中， ， ， ，， ， ， ； ∴， ； （2）， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理： （1）先证明，再证明，得到，，再导角证明，即可得到； （2）作于，于，由全等三角形的性质得到，则由角平分线的判定定理可得平分，据此可得答案． （1）解：略； （2）解：如图，作于，于， ， ， ∵，， 平分， ． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，已知和都是等腰三角形，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确结论的个数有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，①证明，再利用全等三角形的性质即可判断；②由可得，再由、证得即可判定；③分别过作、，根据全等三角形面积相等和，证得，即平分，即可判定． 解： ，即 在和中 ，，， ， ， 故①正确； ， ， 、， ， ， 故②正确；    分别过作、垂足分别为、， ， ， ， ， 平分， 故③正确； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：；；平分；．其中正确结论是______（填序号）    【答案】 【分析】作于，于，设交于，证明，即可判断；由全等三角形的性质与三角形内角和定理即可判断；根据等面积法可判断；假设平分成立，则，利用角度关系即可判断． 解：如图，作于，于，设交于，    由题意得：，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴，故正确， 若平分成立，则， ∵， ∴， ∴， 由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故错误， 即正确的有个，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【变式3】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个结论：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组进行了如下操作： （1）如图，两个等腰三角形和中，，，，连接．此时和的数量关系是什么？并说明理由； （2）如图，两个等腰三角形和中，，．连接，两线交于点P，则 ． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）先证明，再利用证明，即可证明； （2）同理可证明，得到；由三角形内角和定理可得，则可导角证明，则由三角形外角的性质可得．- 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型6】正方形手拉手模型 【例题6】（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． （1）求证： （2）如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意得，又因为，，可得，根据可证明全等； （2）由（1）得，从而有，再根据．据此解答． 解：（1）证明：在正方形和中，，，， ，， ． 在和中， ， ． （2）解：， ∴ ， 【变式1】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，正方形和正方形的边长都是2，把正方形的一个顶点O与正方形的对角线交点重合，与边交于点，与边交于点，则四边形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，由题意得又因为可得，根据可证明，得出，从而有，据此解答． 解：在正方形和中，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在锐角中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和正方形（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接与的延长线交于点M，过点G作，垂足为点N．下列结论：①；②；③；④；⑤是的中线．其中正确的结论有______个． 【答案】5 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，判断①正确；设与交于点O，与交于点R，由，，推出，从而判断②正确；根据判断③正确；证明，判断④正确；过点E作的垂线，交的延长线于点P，同理可证，得到，证明，即可判断⑤正确，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 解：∵四边形，都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 设与交于点O，与交于点R， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，是边上的高， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∴，故④正确； 过点E作的垂线，交的延长线于点P， 同理可证， ∴， 又∵， ∴， ∴，即是的中线，故⑤正确． 故答案为5 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期末）综合与实践 【教材情境】 数学活动课上，老师提出这样一个问题：在八年级上册我们遇到了这样一个问题，如图，和都是等边三角形．求证．我们可以证明，得到． 【观察思考】 在八年级下册，我们学习了平行四边形这一章后，有如下问题：如图①，在正方形中，以为边在正方形外作矩形，连接，且． （1）我们能从以上【教材情境】得到启发，证明矩形是正方形，请写出证明过程． 【实践探究】 （2）希望小队提出：若P是边上一个动点（P与C，D不重合），在图①中，连接，当点P在什么位置时，，请写出证明过程． 【拓展迁移】 （3）冲锋小队再次提出：若将图①中的正方形绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到图②的情形（与交于点G，与交于点O），此时，请猜想图②中线段与线段的关系？请写出你的猜想结果，并证明你所得到的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∴． 又∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形． （2）当点P是的中点时，． 证明：连接． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵点P是的中点， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． （3），． 证明：∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定条件是解题关键． （1）由正方形的性质可知．再根据，即可由“”证明，即得出，从而即得出矩形是正方形； （2）当点P是的中点时，．由正方形的性质可知，再由点P是的中点，即，可利用“”证明，结合（1）可得，从而得出； （3）由正方形的性质可知，即得出，从而可利用“”证明，得出，再根据，可证明，即． 解：（1）略 （2）略 （3）略 四.同步检测 （一）选择题（共4题，每小题3分，合计12分） 1．（【新东方】初中数学698【2019年】【初二上】）如图，和都是等边三角形，，，则的周长为（    ） A．19 B．20 C．27 D．30 【答案】A 【分析】由△ABC和△BED都是等边三角形，得到DE=BD=BE=9，AB=BC=AC=10，∠EBD=∠ABC=60°，从而得到∠EBA=∠DBC，根据全等三角形判定方法可证△ABE≌△CBD，从而AE=CD，根据△ADE的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE，可求△ADE的周长． 解：∵△ABC和△BED都是等边三角形， ∴∠EBD=∠ABC=60°， DE=BD=BE=9， AB=BC=AC=10， ∴∠EBA=∠EBD-∠ABD， ∠DBC=∠ABC-∠ABD， ∴∠EBA=∠DBC， 在△ABE和△CBD中， ∵BE=BD，AB=BC，∠EBA=∠DBC， ∴△ABE≌△CBD， ∴AE=CD， ∵△ADE的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE=10+9=19， ∴△ADE的周长=19． 故选：A． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质解决问题是本题的关键． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 3．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过题目条件得到和全等，通过外角定理进而可以求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，找出全等三角形是解题关键． 解：， ， 在和中， ， ， , ， ， ， ． 故选：C． 4．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 先证明，进而得到角的关系，再由的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案． 解：∵等腰直角 ∴，， ∴， ∴， ∵等腰直角 ∴，， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：C． （2） 填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，点B、C、E在同一条直线上，ABC与CDE都是等边三角形，则下列结论：①AE=BD；②CG=CF；③GF∥BE；④三角形CGF是等边三角形；其中正确的有_________． 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质得到BC=AC，CD=CE，然后根据SAS判定，根据全等三角形的对应边相等可得结论，在根据条件证明，即可证明CG=CF，同理可得其他结论； 解：∵ABC与CDE都是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE，， ∴， ∴， ∴， ∴AE=BD，故①正确； 在△GCD和△FCE中， ， ∴， ∴CG=CF，故②正确； 同理可得， ∴CF=CG， ∴△CFG是等边三角形，故④正确； ∴， ∴GF∥BE，故③正确； 故答案是①②③④． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键． 6．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形△ACM和△BCN，连接AN，BM，若∠MBN＝38°，则∠ANB＝_____． 【答案】82° 【分析】根据等边三角形的边相等，角相等，易证△ACN和△MCB全等，则∠ANC和∠MBA相等，∠MBA＝60°﹣∠MBN＝60°﹣38°＝22°，然后可求出∠ANB． 解：∵△ACM和△BCN是等边三角形， ∴AC＝MC，CB＝CN，∠ACM+∠MCN＝∠BCN+∠MCN， 即∠ACN＝∠MCB． 在△ACN和△MCB中， ∴△ACN≌△MCB（SAS）． ∴∠ANC＝∠MBA． ∵∠MBA＝60°﹣∠MBN＝60°﹣38°＝22°， ∴∠ANC＝22°． ∴∠ANB＝22°+60°＝82°． 故答案为82°． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，本题是典型的“手拉手”模型，应熟练掌握其中全等三角形的证明. 7．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．①；②；③．上述结论正确的是__________． 【答案】①②/②① 【分析】①根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得； ②设、相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，根据垂直的定义可得； ③过作，的垂线段交于点，，证明是角平分线可得答案． 解：①在正方形和中，，，， ， 即， 在和中， ， ，故①正确； ②， ， ， ， ，故②正确； ③过A作，的垂线段交于点、， ， ，， ， ， ， 是的角平分线， ， ，故③错误； 综上分析可知，①②正确． 故答案为：①②． 【点拨】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解题的关键是作辅助线，的垂线段是难点，运用全等三角形的性质也是关键． 8．（2025·广东·一模）已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有__________． 【答案】①②④ 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是熟练掌握几何图形的性质． ①根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到；故①正确； ②设与交于F，根据全等三角形的性质得到，得到，根据平角的定义得到，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到，，根据线段的中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，推出不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可得到平分，故④正确． 解：①∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②设与交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴ 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H， ∵， ∴， ∴平分，故④正确， 故答案为：①②④． （3） 解答题（共8题，每小题9分，合计72分） 9．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在中，，四边形、都是正方形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据正方形的性质得到，，且，再由同角的余角相等推出，利用证明，最后根据全等三角形对应边相等即可得出． 解：证明：∵四边形、都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，四边形、都是正方形，连接、．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵四边形、都是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，设与相交于点，与相交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴． 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理的应用，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设与相交于点，与相交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可得证． 解：（1）略 （2）略 11．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点F，连接． （1）线段和相等吗？与垂直吗？ （2）有以下两个结论：①平分；②平分；其中正确结论的序号是____________．（只填序号，不说明理由） 【答案】（1）且；（2）① 【分析】（1）证明，再利用全等的性质可判断；由，可得，再由，,可得，即可得到； （2）分别过点作,,根据全等三角形面积相等和，可得平分，无法证明平分． （1）解：且， 因为， 所以， 即， 在和中， ，，， 所以， 所以； 因为， 所以， 又因为，, 所以， 所以，即， ， 故且； （2）分别过点作,,垂足分别为， 因为， 所以， 所以， 又因为, 所以, 所以平分，无法证明平分， 故答案为：①． 12．（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接．求证： （1）； （2）平分． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过C作，， ∵， ∴ ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的判定： （1）证明即可得到答案； （2）过C作，，证明，得到，结合角平分线的判定直接证明即可得到答案； 解：（1）略 （2）略 13．（24-25八年级上·安徽·阶段检测）（1）如图1，和都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．    【答案】（1）且（2）且 【分析】（1）利用“边角边”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合易得，即可证明； （2）利用“边角边”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合易得，即可证明． 解：（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段与存在的数量关系及位置关系为且； （2）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，      综上所述，线段与存在的数量关系及位置关系为且． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 14．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）数学越学越聪明，不信你试试：如图，是等腰三角形、是等腰三角形， ，，，直线与交于． （1）探究1：与有什么关系？、有什么数量关系？ （2）探究2：与有什么关系？写出证明过程． 【答案】（1），；（2）， 证明：如图①，记，的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴． 图②，图③， 同理可得：． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）先证明，再根据证明全等，即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得出，根据三角形内角和定理和对顶角相等即可得出答案． （1）解：，，理由如下： 如图①：∵， ∴． 即． 在和中， ， ∴． ∴． 图②，图③， 同理可得：． ∴． （2）略 15．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． （1）如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不成立． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； （3）如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），，理由如下：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3） 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． （1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：略； （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.6 全等三角形几何模型（手拉手）讲义【三大模型六类题型】 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】等边三角形手拉手基本模型 2 【题型2】等腰三角形手拉手模型 4 【题型3】正方形手拉手模型 5 三.题型精析（综合培优） 6 【题型4】等边三角形手拉手基本模型 6 【题型5】等腰三角形手拉手模型 7 【题型6】正方形手拉手模型 9 四.同步检测 11 （一）选择题（共4题，每小题3分，合计12分） 11 （二）填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 12 （三）解答题（共8题，每小题9分，合计72分） 13 一.模型梳理 （一）定义： 两个有公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度后，能与另一个三角形重合，连接对应顶点形成的线段，所构成的几何模型称为手拉手模型。 （二）常见的模型及证法 ①基本图形 条件 基本图形 结论及证明思路 如图，AB=AD，AC=AE（四线共点，两两相等）且（夹角相等） 结论： ②等边三角形手拉手模型 条件 基本图形 结论及证明思路 如图，和都是等边三角形， 连接AD交CE于点N，连接BE交AC于点M. （1） （2） （3） （4）是等边三角形 ③正方形手拉手模型 条件 基本图形 结论及证明思路 如图，四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，连接DG、BE交于点H. 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】等边三角形手拉手基本模型 【例题1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，分别以的边，为边向形外作等边三角形和等边三角形，连，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，B，D在一条直线上．给出4个结论：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等边三角形．其中正确的是（ ） A．①，②，③ B．①，②，④ C．①，③，④ D．②，③，④ 【变式2】（初中数学683【2019年】【初二上】）如图所示，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连结，，则下列结论①；②；③；④，其中正确的有_________. 【变式3】（24-25八年级上·吉林松原·期中）感知：如图①，和都是等边三角形，连接、，依据_____________ ；进而得到线段，依据________； 探究：如图②，，，、相交于点M，连接． （1）线段与之间是否仍存在（1）中的结论？若存在，请证明，请直接写出与之间的数量关系； （2）_______（用含的式子表示）． 【变式3】（2026·江苏徐州·一模）与为等边三角形．，，连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【题型2】等腰三角形手拉手模型 【例题2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，等腰三角形和等腰三角形中，，，，连接、． （1）求证：； （2）延长、交于点．求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点，连接．下列结论：①；②⊥；③平分；④．其中正确结论的是__________． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【题型3】正方形手拉手模型 【例题3】（24-25九年级上·云南文山·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，若，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．2 B． C．1 D．无法确定 【变式2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都是1，若正方形绕点O转动，则这两个正方形重叠部分的面积为__________． 【变式3】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）已知四边形和四边形都是正方形，且，连接、．求证： （1）； （2）． 三.题型精析（综合培优） 【题型4】等边三角形手拉手基本模型 【例题4】（24-25七年级上·山东东营·期中）线段BD上有一点C，分别以BC、CD为边作等边三角形ABC和等边三角形ECD，连接BE交AC于M，连接AD交CE于N，连接MN，求证： （1）∠1＝∠2； （2）CM＝CN； （3）△CMN为等边三角形 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点M、P，交于点Q，连接．下列结论①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中结论正确（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接．给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【题型5】等腰三角形手拉手模型 【例题5】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知和都是等腰三角形，交于点F，连接． （1）说明与的关系并证明； （2）求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，已知和都是等腰三角形，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分．其中正确结论的个数有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：；；平分；．其中正确结论是______（填序号）    【变式3】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个结论：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组进行了如下操作： （1）如图，两个等腰三角形和中，，，，连接．此时和的数量关系是什么？并说明理由； （2）如图，两个等腰三角形和中，，．连接，两线交于点P，则 ． 【题型6】正方形手拉手模型 【例题6】（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，正方形的对角线和相交于点O，O是正方形的一个顶点，交于点M，交于点N． （1）求证： （2）如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 【变式1】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，正方形和正方形的边长都是2，把正方形的一个顶点O与正方形的对角线交点重合，与边交于点，与边交于点，则四边形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在锐角中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和正方形（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接与的延长线交于点M，过点G作，垂足为点N．下列结论：①；②；③；④；⑤是的中线．其中正确的结论有______个． 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期末）综合与实践 【教材情境】 数学活动课上，老师提出这样一个问题：在八年级上册我们遇到了这样一个问题，如图，和都是等边三角形．求证．我们可以证明，得到． 【观察思考】 在八年级下册，我们学习了平行四边形这一章后，有如下问题：如图①，在正方形中，以为边在正方形外作矩形，连接，且． （1）我们能从以上【教材情境】得到启发，证明矩形是正方形，请写出证明过程． 【实践探究】 （2）希望小队提出：若P是边上一个动点（P与C，D不重合），在图①中，连接，当点P在什么位置时，，请写出证明过程． 【拓展迁移】 （3）冲锋小队再次提出：若将图①中的正方形绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到图②的情形（与交于点G，与交于点O），此时，请猜想图②中线段与线段的关系？请写出你的猜想结果，并证明你所得到的结论． 四.同步检测 （一）选择题（共4题，每小题3分，合计12分） 1．（【新东方】初中数学698【2019年】【初二上】）如图，和都是等边三角形，，，则的周长为（    ） A．19 B．20 C．27 D．30 2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共4题，每小题4分，合计16分） 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，点B、C、E在同一条直线上，ABC与CDE都是等边三角形，则下列结论：①AE=BD；②CG=CF；③GF∥BE；④三角形CGF是等边三角形；其中正确的有_________． 6．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形△ACM和△BCN，连接AN，BM，若∠MBN＝38°，则∠ANB＝_____． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．①；②；③．上述结论正确的是__________． 8．（2025·广东·一模）已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有__________． （3） 解答题（共8题，每小题9分，合计72分） 9．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在中，，四边形、都是正方形．求证：． 10．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，四边形、都是正方形，连接、．求证： （1）；（2）． 11．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点F，连接． （1）线段和相等吗？与垂直吗？ （2）有以下两个结论：①平分；②平分；其中正确结论的序号是____________．（只填序号，不说明理由） 12．（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接．求证： （1）； （2）平分． 13．（24-25八年级上·安徽·阶段检测）（1）如图1，和都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．    14．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）数学越学越聪明，不信你试试：如图，是等腰三角形、是等腰三角形， ，，，直线与交于． （1）探究1：与有什么关系？、有什么数量关系？ （2）探究2：与有什么关系？写出证明过程． 15．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． （1）如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 16．（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； （3）如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $