第14章 全等三角形（手拉手全等、婆罗摩笈多模型） 2026-2027学年人教版数学八年级上学期

本初中数学讲义聚焦三角形全等模型（二），核心知识点为手拉手模型及婆罗摩笈多模型。手拉手模型含双等边、双等腰直角等类型，基于SAS全等准则构建，婆罗摩笈多模型作为其拓展，通过中点与垂直关系深化，形成递进式学习支架。 资料特色在于模型分类清晰，题型演练层次分明，结合图形示例培养几何直观与推理能力。如手拉手模型通过公共顶点旋转证全等，婆罗摩笈多模型结合中点证垂直，助力教师授课，学生可通过例题与变式巩固，提升模型意识与应用能力。

目录 第4讲：三角形全等模型（二） 1 【知识梳理】 1 知识点1：手拉手模型 1 知识点2：婆罗摩笈多模型（手拉手拓展） 2 【题型演练】 3 【题型一：手拉手模型】 3 【题型二：婆罗摩笈多模型】 20 1 学科网（北京）股份有限公司 第4讲：三角形全等模型（二） 【知识梳理】 知识点1：手拉手模型 ‌手拉手模型‌：公共顶点旋转使两三角形完全重合，基于SAS全等准则，用于证明线段或角的等量关系。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。(双等边型） 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 条件：如图2，△ABC和△DCE为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。（双等腰直角型） 条件：如图3，BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。（双等腰型） 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。（双正方形型 ） 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 知识点2：婆罗摩笈多模型（手拉手拓展） 模型1.知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。 结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 模型2.知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 【题型演练】 【题型一：手拉手模型】 【例题1】已知：如图和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (1)在图①中，①求证：；②_____． (2)当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①的度数会发生变化吗？请说明理由？ ②求证：点C落在的角平分线上． 【答案】(1) ①证明：△和△为等边三角形， ，，， ， 在△和△中， ， △△， ； ② (2) ①不变，理由：的度数不会发生变化， △和△为等边三角形， ，，， ， △△， ， ， ， ②证明：连接，过点作，于点，， △△， ，， ， 平分． 点落在的角平分线上． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查旋转的定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，证明△△是解题的关键； （1）①根据等边三角形性质得出，，，求出，根据推出两三角形全等即可；②根据△△，得到，根据三角形的内角和定理，即可解答； （2）①根据等边三角形性质得出，，，求出，根据推出两三角形全等即可解题；②连接，过点作，于点，，根据△△，得到，，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可． 【详解】（1）①略 ②解：△△， ， ， ， 故答案为：； （2）①略 ②略 【练习1-1】如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的选项有________（填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确； 设交于点，因为，所以，可判断②正确； 作于点，于点，由得，则，即可证明平分，可判断④正确； 假设，则，所以，由，，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； 设交于点， ∴， 故②正确； 作于点I，于点J，如下图： ∵， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分， 故④正确； 假设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，与已知条件相矛盾， ∴， 故③错误， ∴①②④这3个结论正确， 故答案为：①②④． 【练习1-2】如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③错误；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ， ∴，故③错误； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确． 故选：B． 【练习1-3】如图，在和中，，，，，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④平分；其中正确的为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线和垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据题意得到，易证，从而得到，再根据全等三角形的性质可得，可推出，平分；，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，②正确； ∴平分；④正确； ∴，即，③正确， 故选：D． 【练习1-4】如图，三角形中，为锐角，以、为边作等边、，连接、交于点． (1)求证； (2)连接，求证： ①平分； ②． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明即可得到结论； （2）①过点作于点，作于点，证明，根据角平分线的判定即可得到结论；②证明，再证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵以、为边作等边、， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）①过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 【变式拓展1】如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分； (3) 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）略 （3）解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 【变式拓展2】如图，点是等边三角形内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断是否是直角三角形，并说明理由； (3)直接写出当是等腰三角形时，的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2) 是直角三角形，理由如下， 由（）得是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (3)当或或时，是等腰三角形． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边对等角、等边三角形的判定和性质 【分析】（）由，则，，根据等边三角形性质可得，所以，则，从而可得，然后通过等边三角形的判定即可求证； （）由（）得是等边三角形，则，由全等三角形性质可得，则，然后通过直角三角形的判定即可求解； （）先求出，，，然后分为当时，当时，当时三种情况求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时 ，， ∴， 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形定义，三角形内角和定理，直角三角形判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式拓展3】综合与实践 【模型发现】（1）两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． 如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，易证_________； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，且，，，在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为_________； 【深入探究】（3）如图3，，，则，，的数量关系为_________，的度数为_________，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点，使，连接）； （4）【拓展延伸】在中，，，，以为边作等边三角形，过点作于点，则的长为_________． 【答案】（1）； （2），； （3），，理由： 如图，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， （4）5或14 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据题意可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得； （2）根据题意可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得和，利用等腰直角三角形的性质得出，进而证得； （3）如图，延长至，使，连接，证明是等边三角形，得出，，证明，得出，，结合，即可证明． （4）分两种情况讨论，一是顶点与顶点在直线同侧，在上截取，连接，因为，所以是等边三角形，则，所以，由是等边三角形，得，可证明，得，求得，因为，所以，则，求得；二是顶点与顶点在直线异侧，在上截取，连接，可证明，得，推导出，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）解：，， 理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ， ． （3）略 （4）解：如图1，顶点与顶点在直线同侧，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， 于， ， ， ， ． 如图2，顶点与顶点在直线异侧，在上截取，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 于， ， ， ， ， 综上所述，的长为5或14， 故答案为：5或14． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【题型二：婆罗摩笈多模型】 【例题2】【探究】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B．    C．    D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B； （2）； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）略 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 【练习2-1】阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明方法如下： 证明：如图2，延长至，使， 是边上的中线， 在和中， ， 在中，， ． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： (1)如图3，，，则的取值范围是___________； (2)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：与的数量关系为． 理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 任务二：延长至点，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案； 任务三：延长至点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接，如图所示： ， 是中线， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，由三角形三边关系可得， ，， 即， ， ∴， 故答案为：； （2）略 【变式拓展1】如图，和是等腰直角三角形，，连接，．若，，当时，四边形面积的值为____________． 【答案】14 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 延长至，使得，连接，可得，过点作交延长线于点，先通过等腰直角三角形的性质证明，再通过所对的直角边等于斜边的一半求出的值，最后由四边形面积为即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接，可得，过点作交延长线于点， ，，， ． 和是等腰直角三角形， ，，． ， ， ． 在和中， ， ， ， 四边形面积为 ． 故答案为14． 【练习2-2】【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【答案】（1）； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图所示： 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）15 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点H，使得，先证，再证，可得； （3）由（2）得，，可得，，进而可得，再证，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图， 由（2）得，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【练习2-3】某校八年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．可证得：___________________； (2)组员李明想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1)，． (2) （1）中的结论成立，证明如下： 如图②： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴． (3) 证明：如图③：过点E作交的延长线于点N， ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M是的中点． 【知识点】三角形内角和定理的证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、同角的余角相等等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图①：先说明，再说明，再运用可证明； （2）根据平角的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，即，再运用可证明； ； （3）如图③：过点E作交的延长线于点N，，由等腰直角三角形可得，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明得到，再由，得到，即可证明得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图①： ∵直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． （2）略 （3）略 【练习2-4】【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______； A． B． C． D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______________； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为_____． 【答案】（1）B（2）；（3）．（4）6 【知识点】确定第三边的取值范围、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）延长到点E；使，连接，证明，根据的是，解答即可． （2）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可． （3）延长到点G；使，连接，先证明，再证明即可得证． （4）仿照（3）前面的证明，后再，确定，根据三角形全等的性质得到，再根据，得到，继而可以证明，即，解答即可． 本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，垂直的证明，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：延长到点E；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． （2）解：∵， ∴． ∵, ∴， ∵，， ∴ 故． 故答案为：． （3）解：理由如下： 延长到点G使，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴． （4）解：延长到点M使，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵, ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． $ 目录 第4讲：三角形全等模型（二） 1 【知识梳理】 1 知识点1：手拉手模型 1 知识点2：婆罗摩笈多模型（手拉手拓展） 2 【题型演练】 3 【题型一：手拉手模型】 3 【题型二：婆罗摩笈多模型】 8 1 学科网（北京）股份有限公司 第4讲：三角形全等模型（二） 【知识梳理】 知识点1：手拉手模型 ‌手拉手模型‌：公共顶点旋转使两三角形完全重合，基于SAS全等准则，用于证明线段或角的等量关系。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。(双等边型） 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 条件：如图2，△ABC和△DCE为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。（双等腰直角型） 条件：如图3，BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。（双等腰型） 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。（双正方形型 ） 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 知识点2：婆罗摩笈多模型（手拉手拓展） 模型1.知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。 结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 模型2.知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 【题型演练】 【题型一：手拉手模型】 【例题1】已知：如图和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (1)在图①中，①求证：；②_____． (2)当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①的度数会发生变化吗？请说明理由？ ②求证：点C落在的角平分线上． 【练习1-1】如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的选项有________（填序号）． 【练习1-2】如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【练习1-3】如图，在和中，，，，，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④平分；其中正确的为（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【练习1-4】如图，三角形中，为锐角，以、为边作等边、，连接、交于点． (1)求证； (2)连接，求证： ①平分； ②． 【变式拓展1】如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 【变式拓展2】如图，点是等边三角形内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断是否是直角三角形，并说明理由； (3)直接写出当是等腰三角形时，的度数． 【变式拓展3】综合与实践 【模型发现】（1）两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． 如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，易证_________； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，且，，，在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为_________； 【深入探究】（3）如图3，，，则，，的数量关系为_________，的度数为_________，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点，使，连接）； （4） 【拓展延伸】在中，，，，以为边作等边三角形，过点作于点，则的长为_________． 【题型二：婆罗摩笈多模型】 【例题2】【探究】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B．    C．    D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【练习2-1】阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明方法如下： 证明：如图2，延长至，使， 是边上的中线， 在和中， ， 在中，， ． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： (1)如图3，，，则的取值范围是___________； (2)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式拓展1】如图，和是等腰直角三角形，，连接，．若，，当时，四边形面积的值为____________． 【练习2-2】【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【练习2-3】某校八年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．可证得：___________________； (2)组员李明想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【练习2-4】【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______； A． B． C． D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______________； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为_____． $