第04讲 角平分线与全等三角形几何模型（核心知识+5易错辨析+8典例精讲+课后作业）2026-2027学年八年级数学上册秋期复习 + 期考讲义专项（人教版）

本讲义聚焦角平分线与全等三角形几何模型，系统梳理角平分线性质定理（点在平分线上→距离相等）、判定定理（距离相等→点在平分线上）及推论（三角形内心），并构建垂线段、截长补短、平行等腰、双角平分线四大模型，形成从基础定理到应用模型的学习支架。 资料通过5个易错辨析（如强调垂线段条件）、8类典例精讲（含性质应用、实际问题等题型）培养学生推理意识与模型意识，课中助力教师系统教学，课后作业帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升几何问题解决能力。

宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 第04讲角平分线与全等三角形几何模型 (核心知识+5易错辨析+8典例精讲+课后作业) 目标导航 角平分线定义：平分一个角的射线 角平分线 性质定理：线上点到两边垂距相等(HL全等) 判定定理：内部垂距相等→在平分线上 铺助线：向两边作垂线 双垂直模型（基础） 全等：Rt4HL全等 用途：证线段相等、证角平分线 辅助线：延长垂线交另一边 角分线+垂线延长模型 全等：ASA全等 结论：等腰、中点 角平分线于 全等三角形 辅助线：截取等长线段 几何模型 截长补短模型 全等：SAS全等 用途：线段和差证明 共顶点、等线段 识别条件 图形：等边△、等腰Rt△、正方形共顶点 旋转模型 辅助线做法 以公共点为中心，旋转三角形，使等边重合 全等依据 SAS(共顶角+两组等边) 大角=2倍小角（半角） 识别条件（八上高频） 经典：90°含45°（正方形）、120°含60 半角模型【角度模型】 前提：大角两边相等 辅助线做法（唯一方法） 旋转凑角：将半角旁小三角形旋转，使等边重合 2核心知识 【知识点01】角平分线基础定理 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 1.性质定理（点在平分线上→距离相等） 文字语言：角平分线上的点到角两边的垂直距离相等。 几何语言：若OC平分∠AOB,PD⊥OAPE⊥OB,则PD=PE。 作用：直接证线段相等，省去一次全等证明，是几何解题提速关键。 2.判定定理（距离相等→点在平分线上） 文字语言：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：若PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,则OC平分∠AOB。 作用：证明角相等、证明射线是角平分线。 3.重要推论：三角形三条角平分线交于一点 三角形三条内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边距离相等，是内切圆圆心。 【知识点02】四大必考几何模型（角平分线+全等） 模型一：垂线段模型（基础模型） 条件：有角平分线、有垂直于角两边的线段。 做法：过平分线上一点向角两边作垂线。 全等依据：AAS/HL 结论：垂线段相等、对应角相等、可证线段加减关系。 模型二：截长补短模型（角平分线专用） 适用场景：题干出现角平分线，求证线段和差关系(AB+AC=BC类)。 做法：在长边上截取线段等于短边，构造全等三角形。 全等依据：SAS(角平分线分角相等、公共边、截取边相等) 核心结论：转化线段，将折线和差转化为单一线段。 模型三：平行线+角平分线等腰模型 条件：角平分线+一组平行线 结论：必然出现等腰三角形（平分+平行=等腰）。 原理：内错角相等+角等分角相等→等角对等边。 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 延伸：可结合全等，证边相等、角相等、线段平行。 模型四：双角平分线模型（角度定值模型） 1.两内角平分线：三角形两内角平分线夹角=90+顶角 1 2.一内一外平分线：夹角=2顶角 考点：无需计算，直接套定值求角度，选择填空高频考点。 ?易错辨析 易错点1：混淆“线段相等”和“距离相等” 错误认知：角平分线上的点到角两边的任意线段相等。 正确结论：只有垂线段距离相等，斜线段不相等！做题必须找垂直，无垂直不能用性质定理。 易错点2：判定定理缺少“角的内部”条件 错误写法：只要点到角两边距离相等，就在角平分线上。 扣分点：必须强调点在角的内部，外部存在到两边距离相等但不在平分线上的点。 易错点3：乱用定理，跳过全等、条件不全 很多同学做题不写垂直”条件，直接用距离相等，属于条件缺失，直接扣分。 标准答题模板：先证垂直→再用平分线性质→得线段相等。 易错点4：SSA伪全等误用 角平分线题型中，极易出现两边一角非夹角”，切记SSA不能证全等，优先换AASIASA/SAS。 易错点5：双角平分线角度公式记混 内角平分线夹角是90°加半角，内外平分线夹角是半角，记反直接算错角度。 典例精讲 【题型一】角平分线的性质定理 【例1】E,若CD=8,则DE的长度为() 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质定理得到DE=CD=8即可. 【详解】解：：AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB, ∴.DE=CD CD=8, .DE=8 【例2】.(25-26八年级上：广东广州期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=2cm,则点D到 直线AB的距离为cm. D B 【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可， 4 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解】解：，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=2cm, .点D到直线AB的距离=CD=2cm. 【变式1】.(24-25八年级上云南德宏·期末)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,AB=9cm,DF=4cm,则△ABD的面积是() A.12cm2 B.13cm2 C.18cm2 D.36cm2 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键.由已知结合角平分线的性质可得， DE=DF=4cm,再根据三角形面积计算公式可求出△ABD的面积. 【详解】解：，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∴.DE=DF=4cm, AB =9cm,DE L AB,DE =4cm, Sw=x4BxDE=×9x4=18(em)】 【变式2】.(25-26八年级上广西河池期末)如图，OP平分∠A0B,PC1OA于点C,点D在OB上，若PC=3cm OD=8cm,则△POD的面积为cm2. 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D B 【答案】12 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】利用角平分线的性质，得出点P到OB的距离等于PC的长，再根据三角形面积公式求解△POD的面积. 【详解】解：如图所示，过点P作PE⊥OB于点E。 A 平分 D E B.OP ∠10B PC⊥OAPE⊥OB ∴PE=PC(角平分线上的点到角两边的距离相等)· .PC=3cm. .PE=3cm, 又：OD=8cm, OPE832(cm). 【变式3】.(25-26八年级上河南周口期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,若 BC=10,BD=6,求点D到AB的距离. 6 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 过D作DE⊥AB于E,由角平分线的性质可得ED=CD,根据己知求得CD即可. 【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E, E :∠C=90°，AD平分∠BAC, ∴.ED=CD, .:BC=10,BD=6 ∴.CD=BC-BD=10-6=4, .'ED=CD=4, 即点D到AB的距离是4. 故答案为：4. 【题型二】角平分线的判定定理 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 【例3】，(25-26八年级上河北邢台期末)如图，从小树O处延伸出两段小路OA,OB,C到OA,OB的距离均 为3米，若∠B0C=25°，则∠AOB=() A 3米 C 3米 25· B A.250 B.50° C.60° D.65° 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得OC是∠AOB的角平分线，即可求解. 【详解】解：，C到OA,OB的距离均为3米， .OC是∠AOB的角平分线， ,∠B0C=25° ∴.∠AOB=2∠BOC=50° 故选：B 【变式1】.(25-26八年级上云南昭通期末)如图，∠ABD=∠ACD=90°，DB=DC,∠BAD=55°，则∠DAC的度 数为() A.25° B.35° C.45° D.55 8 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得AD平分∠BAC,进而得到∠DAC=∠BAD即可. 【详解】解：：∠ABD=∠ACD=90°，DB=DC, .AD平分∠BAC, :∠DAC=∠BAD=55°： 故选：D 【变式2】.(25-26八年级上福建泉州期末)如图，在∠AOB中，PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD, 若∠AOB=44°，则∠AOP的度数为 B 【答案】22°/22度 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明OP是角平 分线即可解决问题. 【详解】解：~PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,且PC=PD, .∠AOP=∠BOP. :∠A0B=44°， ∠AOP=22°， 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 故答案为：22°. 【变式3】.(24-25八年级上江西吉安期中)解答下列各题 (I)【追本溯源】如图1，P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,且PE=PF,求证：点P在 ∠AOB的平分线上； 图1 (②)【结论应用】如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，DE=DC,DF⊥AC于点F,BE=FC. 图2 ①求证：AD平分∠BAC: ②若AB=12,BD=4,△ABC的面积是54，求线段AC的长. 【答案】()见解析 (2)①见解析：②15 【知识点】全等的性质和L综合(L)、角平分线的判定定理 【分析】(I)连接OP,如图1，根据“HL”可证明Rt△PEO≌Rt△PFO,所以∠POE=∠POF,从而得到结论： (2)①先证明RtADBES≌RtADFC(HL),得到DB=DF,然后根据(I)的结论可判断AD平分∠BAC: 10 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ②利用三角形面积公式得到)4BBD+号4C-DF=54,由于DF=BD:4AB=12代入解方程即可. 【详解】(1)证明：连接OP,如图1， E B 图1 PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, .∠PEO=∠PFO=90°， 在Rt△PEO和Rt△PFO中， PO=PO PE=PF· .RtAPEOS≌RtaPFO(HL), ∴.∠POE=∠POF, 点P在∠AOB的平分线上： (2)①证明：：DF⊥AC, .LDFC=90°， 在RtADBE和RtADFC中， DE=DC BE=FC .RtADBES≌RtADFC(HL). 11 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .DB=DF, 而DB⊥AB,DF⊥AC, AD平分∠BAC: ②解：：San+S△4Cm=SaBC, 1 C7AB:D+AC·DFA ,DF=BD=4,AB=12, ÷2×12x4+74Cx4=54, 1 解得AC=15 即线段AC的长为15 【题型三】角平分线性质的实际应用 【例4】，(25-26八年级上河北邢台期末)计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路MN∥P吧，小路AB 与MN,PO均相交.若要在小路MN上修建一个凉亭O,使其到小路AB,P的距离相等，关于如图所示的甲、乙 两个方案，下列判断正确的是() A B B 甲方案 乙方案 A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 【答案】B 12 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即 可判断. 【详解】解：甲方案：O在AB的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不二定到AB和PQ的距离相等， 乙方案：OB平分∠AB,由角平分线的性质定理得到O到小路AB,P巴的距离相等. ∴.甲、乙两个方案，只有乙对 故选：B. 【变式1】.(25-26八年级上·全国单元测试)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,AB=6, S。ABD=12,则CD的长为—一 B D 【答案】4 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键.作DE⊥AB于点E,根 据角平分线的性质得出CD=ED.结合三角形的面积求出ED的值，即可求解. 【详解】解：作DE⊥AB于点E,如图： B 13 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ∠C=90°， DC⊥BC, ,BD平分∠ABC,DC⊥BC,DE⊥AB, .'CD=ED :5m54BD=2,AB=6 故ED=212=4 6 即CD=ED=4」 故答案为：4. 【变式2】.(23-24八年级下山西晋中期中)如图，己知AB平分∠CAD,BC⊥AC,BD⊥AD,E,F分别是线 段AC,AD上的点，连接BE,BF,且BE=BF,求证：CE=DF, E 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和L综合(L)、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，HL证明三角形全等，熟练掌握角平分线的性质与三角形全等是解题的关键. 根据角平分线的性质得出BC=BD,由于BE=BF,根据HL可证明RtABCES≌RtBDF(HL),从而得以证明 CE=DF 【详解】证明：，AB平分∠CAD,BC⊥AC,BD⊥AD, 14 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 .BC=BD,∠C=∠D=90°， 「BE=BF 在RtBCE积R△BDF中， 和 BC=BD' ∴.RtABCE≌RtABDF(HL), ∴.CE=DF 【变式3】(23-24八年级上·上海徐汇阶段检测)如图，己知△ABC的周长是21，OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB OD⊥BC于点D,且OD=3,求△ABC的面积. ◇ D 3 【答案】2 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解 题的关键，过点O分别作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,根据角平分线性质定理，可证明OD=OE=OF=3,根 据S△ABc=S△4Os+S△Boc+S△4oC,可列出算式，并结合△ABC的周长求出面积. 【详解】如图，过点O分别作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F, OB分别平分∠ABC,OD⊥BC, ..OD=OE =3, 同理OD=OF=3, 15 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :△ABC的周长是21， ∴.AB+BC+AC=21, S.ABC=S.408+S.Boc+S.40c =4B-0E+Bc-0D*+54c-0r =+c+4c C+AC) 3 =2×21 63 2· E D 【题型四】作角平分线尺规作图) 【例5】.(25-26八年级上：湖南常德期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心， 以适当长为半径画圆弧，分别与AB'BC交于点D,B,连接DE:②分别以点D,B为圆心，以大于2DE的长为半 径画圆弧，两弧相交于点F;③作射线BF交AC于点G.若AG=4,BC=12,则△BCG的面积为() 16 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 A.16 B.24 C.36 D.48 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线（尺规作图） 【分析】如图，过点G作GH⊥BC于点H.先由作图得BG平分∠ABC,再根据角平分线的性质得GH=GA=4,即 可求解. 【详解】解：如图，过点G作GH⊥BC于点H. D 由作图可知BG平分∠ABC, GA⊥AB,GH⊥BC, ∴.GH=GA=4, 1 ·△BCG的面积= ×12×4=24 【例6】，(25-26八年级上·黑龙江大庆期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆 心，任意长为半径作弧，分别交BA,BC于M,N两点：②分别以M,N为圆心，以大于2MN的长为半径作弧，两 弧相交于点P;③作射线BP.交边AC于D点，若AC=8，,BC=6,AB=10,则CD的长为一 17 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线（尺规作图） 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、角平分线的性质，由作法得BD平分∠ABC,过D点作 DE⊥AB于E,则DE=DC,利用面积法求解. 【详解】解：如下图所示，由作法得BD平分∠ABC,过D点作DE⊥AB于E,则DE=DC, 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6,AB=10, :S.ABD+S.BCD =S.ABC, 1 DEx10+-CDX6=-x6X8 即5CD+3CD=24, .CD=3 D 故答案为：3 【变式1】.(25-26八年级上全国期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交AB、AC边于点M,N,再分别以M,N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P,连接AP并延长交 BC于点D,在AC上取点E,连接DE,DE=BD,若AE=2,AC=6,则AB的长度是 18 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D 【答案】10 【知识点】全等的性质和HL综合(HL)、角平分线的性质定理、作角平分线（尺规作图） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线性质，尺规作角平分线，过点D作DF⊥AB于点F,根 据角平分线性质得出DF=DC,证明RACDES≌RtAFDB(HL),得出BF=CE,证明RtAADCS≌RtADF(HL),得出 AF=AC=6,最后求出结果即可. 【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F,如图所示： 则∠DFB=∠AFD=90°， 根据作图可知：AD平分∠BAC, :∠C=90°，DF⊥AB, .DF =DC, .DE BD, ,RtACDE≌RtAFDB(HL), .BF=CE. AC=6,AE=2, 19 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 .BF=CE=4, ,∠C=∠AFD=90°，DC=DF,AD=AD, .RtAADCS≌RteADF(HL), .AF=AC=6, .AB=AF+BF=6+4=10 故答案为：10 【变式2】，(25-26八年级上重庆阶段检测)如图，△ABC中，∠C=90°. (I)基本尺规作图：作∠ABC的角平分线BD交AC于D,过点D作DE⊥AB于E.(保留作图痕迹，不写作法和结 论) (2②)若AC=6,BC=8,AB=10,求△ADE的周长. 【答案】(1) 如图所示，BD,DE即为所求： D (2)8 20 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 【知识点】全等的性质和亚综合(L)、角平分线的性质定理、作角平分线（尺规作图） 【分析】(1)由尺规作图作角平分线的方法步骤求解即可： (2)先由角平分线性质得到CD=DE,再由两个直角三角形全等的判定与性质得出BC=BE=8,求出AE,数形结 合即可求得到△ADE的周长. 【详解】(1)略 (2)解：∠C=90°， DC⊥BC, ·DE⊥AB,∠CBD=∠DBE, ..CD=DE, 在RtACDB与Rt△EDB中， CD=ED BD=BD .RtACDBS≌RteEDB(HL), ..BE=BC=8, AE=AB-BE=10-8=2, .C.ADE=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=6+2=8 【变式3】·(25-26八年级上河南南阳期末)如图，△ABC中，点D在边AB上，且AC=AD 21 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (I)请用无刻度的直尺和圆规作∠BAC的平分线：（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(I)中所作的角平分线交BC于M,连接DM,当BC=12,BM=7时，求DM的值. 【答案】（①）见解析 (2)DM=5 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、作角平分线（尺规作图） 【分析】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全 等是关键， (1)利用角平分线的作图步骤作图即可： (2)证明△CAM≌aDAM(SAS),即可得出结论. 【详解】(1)解：如图 (2)解：：AM平分∠BAC, ∴.∠CAM=∠DAM. 在△ACM和△ADM中， 22 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 AC=AD ∠CAM=∠DAM, AM=AM .aCAM≌aDAM(SAS), .MC=MD BC=12,BM=7, .CM=12-7=5 .DM=CM=5 【题型五】倍长中线模型 【例7】，(24-25八年级上重庆合川期末)如图，在长方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上一点，若 SAr:ScF=4:l,则AB与CF的数量关系是() D A.AB=5CF B.AB=4CF C.AB=3CF D.AB=2CF 【答案】C 【知识点】倍长中线模型（全等三角形的辅助线间题） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的 关键，延长AE交DC延长线于点G,通过证明△ABE≌△GCE得到AB=GC,AE=GE,由SABr:Scr=4:L,可 设S,cr=a,则S△r=4a,得到S.c=3S.cr,利用三角形的面积公式得到CG=3CF,即可得出结论. 23 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【详解】解：如图，延长AE交DC延长线于点G, E 长方形 G ABCD ∠B=∠BCD=∠ECG=90°， ~E为BC的中点， .BE=CE, 又'：∠AEB=∠GEC, .AABE≌△GCE(ASA), .AB=GC,AE=GE, S.AEF S.CEF =4:1. .设Scr=a,则S△Br=4a, AE=GE, .S。GEr=S。Br=4a, S.CEG=S.GEF-S.CEF=3a, .S.CEG=3S.CEF, CE-C-3CECF 2 24 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ..CG=3CF, AB=GC, ∴AB=3CF. 故选：C 【例8】.(25-26八年级上湖北襄阳阶段检测)在△ABC中，AB=5,中线AD=7,则边AC的取值范围是 【答案】9<AC<19 【知识点】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系.延长AD至E,使DE=AD,连接BE.利用 全等三角形的性质把要求的线段和已知的线段构造到了一个三角形中，从而根据三角形的三边关系进行求解. 【详解】解：延长AD至E,使DE=AD,连接BE. 在△ACD与△EBD中， BD=CD ∠ADC=∠EDB AD=ED .△ACD≌aEBD(SAS) .BE=AC 根据三角形的三边关系，得：14-5<BE<14+5 25 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 即9<AC<19 故答案为：9<AC<19 【例9】.(25-26八年级上江苏扬州·期末)【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，AD是 △ABC的中线，AB>AC,求证：∠DAC>∠BAD, B D 图1 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的 ∠DAC和∠BAD并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“AD是△ABC的中 线”想到了一种思路：如图2，延长AD至E,使DE=AD,连接BE,得到△BDE,易证△ACD≌△BDE,这样就将 己知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系.请根据小强同学的思 路写出证明∠DAC>∠BAD的完整过程. 图2 【答案】见解析 【知识点】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质. 延长AD至E,使DE=AD,连接BE,根据AD是中线得到CD=BD,证明△ACD≌△EBD(SAS)得到 AC=BE,∠BEA=∠DAC,可知AB>BE,根据“大边对大角”得到∠BEA>∠BAD,即可证明∠DAC>∠BAD 【详解】证明：延长AD至E,使DE=AD,连接BE, 26 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 AD是中线， ..CD=BD, 在△ACD和△EBD中， AD=DE ∠ADC=∠BDE, CD=BD ∴△ACD≌△EBD(SAS). AC=BE,∠BEA=∠DAC, AB>AC, .AB>BE, ..∠BEA>∠BAD. '∠BEA=∠DAC, .∠DAC>∠BAD 【变式1】.(23-24八年级上河北石家庄阶段检测)如图，在△ABC中，AD为中线，在DA延长线上取一点E,连 接EC,使∠E=∠BAD.过点C作CF⊥AD于点F.下列结论中正确的个数为() ①AF=CF;②AB=CE;③AE=2DF;④SABD=S.ACD;⑤S△MBD+S△cDF=S△ECF. 27 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【知识点】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】作BG⊥EG,证△BDG≌aCDF、△CEF≌aBAG即可求解. 【详解】解：作BG⊥EG,如图： D G .'∠G=∠CFD=90°，∠BDG=∠CDF,BD=CD ∴.△BDG≌△CDF .DG=DF,BG=CF,SABDG=S.cDr :∠E=∠BAD,∠EFC=∠AGB=90°，CF=BG .△CEF≌△BAG AB=CE,AG=EF,SACEF SABAG ①无法推出AF=CF,故①错误： ②正确： 28 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 AG=EF 且AG=AF+GF,EF=AF+AE .AE=GF DG=DF .∴.AE=2DF 故③正确： ④，AD为中线 .S.ABD=S.4CD 故④正确： ⑤SAARD+SACDF=SAABD+SABDG=SAABG=S△ECF 故⑤正确： 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键. 【变式2】.(25-26八年级上北京期中)己知△ABC中，AB=10,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是 【答案】2<AD<8 【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题关键.通过倍长 中线构造全等三角形，将AD转化为三角形一边的一半，再利用三角形三边关系求解即可， 【详解】解：如图，延长AD至E,使DE=AD,连接CE, 29 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 5-----------------=>-E AD是中线， .BD=CD, ,·∠ADB=∠EDC,AD=DE, .△ABD≌aECD(SAS), .CE=AB=10, 在△ACE中，CE-AC<AE<CE+AC,即10-6<2AD<10+6, ∴.2<AD<8, 故答案为：2<AD<8 【变式3】.(25-26八年级上广西百色·阶段检测)某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在 △ABC中，AB=6,AC=8,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,请补充完整证明“△ABD≌aECD” 的推理过程。 (I)求证：△ABD≌aECD 证明：延长AD到点E,使DE=AD, 30 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 在△ABD和△ECD中， .AD=ED(已作)， ∠ADB=∠EDC(), CD=(中点定义)， ∴.△ABD≌aECD(); (2儿感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和 所求证的结论集合到同一个三角形中. [问题解决] 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°，求AE的长. B D 【答案】(I)对顶角相等；BD:SAS (2)AE=6 【知识点】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键： (1)根据对顶角相等，线段中点的定义以及SAS证明三角形全等作答即可： (2)延长AD交EC的延长线于R,证明△ABD≌aFCD(ASA),得到CF=AB=2,AD=DF,再证明 △ADE≌aFDE(SAS),得到AE=EF,利用线段的和差关系进行求解即可， 【详解】(I)证明：延长AD到点E,使DE=AD, 31 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 在△ABD和△ECD中， ,AD=ED(已作)， ∠ADB=∠EDC(对顶角相等)， CD=BD(中点定义)， .△ABD≌aECD(SAS): (2)解：如图，延长AD交EC的延长线于F, B F∠B=90° CE⊥BC .∠ABD=∠FCD=90°， :AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD, 在△ABD和△FCD中， ∠ABD=∠FCD, BD=CD, ∠ADB=∠FDC, .∴AABD≌aFCD(ASA), :CF=AB=2,AD=DF, 又：∠ADE=90°. 32 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .∠FDE=∠ADE=90°， 又：ED=ED, :△ADE≌aFDE(SAS), :.AE=EF, EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6. .AE=6 【题型六】旋转模型 【例10】.(2024八年级上江苏盐城期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,将斜边AB绕点A顺 时针旋转90°至AB',连接B'C,则△ABC的面积为一· B 【答案】8 【知识点】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】根据题意过点B'作B'HLAC于H,由全等三角形的判定得出△ACB≌△BHA(AAS),得AC=BH=4,则有 SAAB'C-=乞ACBH即可求得答案. 【详解】解：过点B作BH⊥AC于H, 33 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 H ∴.∠AHB=90°，∠BAB=90°， .∠HAB+∠HBA=90°，∠BAC+∠CAB'=90°， ∴.∠HBA=∠CAB, 在△ACB和△B'HA中， ∠ACB=∠AHB ∠CAB=∠AB'H, AB=AB' ∴.△ACB≌△BHA(AAS), .∴AC=BH, '∠ACB=90°，AB=5,BC=3, ∴.AC=VBA2-BC2=V52-32=4, ∴.AC=BH=4, ∴.SaMB℃=2ACB'H=2×4×4=8. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明 34 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 △ACB≌△B'HA是解决问题的关键 【变式1】.在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），E是△ABC外一点，连接AD、AE, 已知AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE,DE. D B D B 图1 图2 (1)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠ACE=度： (2)如图2，当点D在线段BC上，试判断∠ADE与∠ACE之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段CB的延长线上时，(2)中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由. 【答案】(1)45 (2) 解：∠ADE=∠ACE,理由如下： AB=AC,AD=AE,. ∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED ∠DAE=∠BAC, 又：∠ABC=80-∠BAC),∠ADE=80P-∠DAB). .∴.∠ABC=∠ADE, ∠BAC=∠DAE, 35 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ·∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即：∠BAD=∠CAE, AB=AC 在 和 中， ∠BAD=∠CAE」 △BAD △CAE AD=AE .△BAD≌△CAE(SAS), ∴.∠ABC=∠ACE .∠ADE=∠ACE: (3) 解：(2)中的结论不成立，当点D在CB的延长线上时，∠ADE+∠ACE=180°.理由如下： 如图所示： B D E .'∠DAE=∠BAC .∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE, 即：∠DAB=∠EAC, AB=AC 在 和 中， ∠BAD=∠CAE, △BAD△CAE AD=AE ∴.△BAD≌△CAE(SAS) 36 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .∠ABD=∠ACE AB=AC,AD=AE, ·.∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED .·∠DAE=∠BAC ∠ABC=80°-∠BAC),∠ADE=1s0°-∠D1E). .∠ABC=∠ADE, :∠ABD+∠ABC=180° .∠ADE+∠ACE=180°. 【知识点】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型一旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键. (1)证△BAD≌△CAE即可求解： (2)证△BAD≌△CAE即可求解： (3)证△BAD≌△CAE即可求解. 【详解】(1)解：：∠DAE=∠BAC, .∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, 即：∠CAE=∠BAD, AB=AC,AD=AE, .∴.△BAD≌△CAE .∠ADE=∠ACE 37 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 ∠BAC=90°，AB=AC, .∠ACE=∠ABD=45° 故答案为：45 (2)略 (3)略 【变式2】.(22-23八年级上湖北武汉开学考试)【基本模型】 D E C 图1 图2 图3 如图，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，如图1，BE、DF与EF之间的数量关系 为 【模型运用】当E点在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，如图2，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系， 并证明你的结论： 【拓展延绅】如图3，已知AB=HD'∠B+∠D=180:E在线段BC上，F在线段CD上，∠EMF=B4D,诗你 直接写出BE、DF与EF之间的数量关系， 【答案】【基本模型】；EF=BE+DF【模型运用】：EF=BE-DF,证明见解析；【拓展延伸】：EF=BE+DF 【知识点】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】(I)结论：EF=BE+DF.将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF',然后求出 ∠EAF'=∠EAF=45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF'全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EF'，从而 38 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 得解； (2)结论：EF=BE-DF,证明方法同法(1)； (3)结论：EF-BE+DF.将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF',根据旋转变换的性质可 得△ADF和△ABF'全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF'=∠DAF,对应边相等可得AF'=AF,BF'=DF, 附应角相等可得ABF:D》再根据亚BD明EFB4F·并证明FB、E心点共线，然后利 用“边角边”证明△AEF和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF'=EF,从而得解. 【详解】解：(I)结论：EF=BE+DF. 理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', F- B E 图1 则：∠F'AB=∠DAF,∠ABF'=∠D=90°，AF=AF',BF'=DF, ∠ABF'+∠ABC=180°，即：F,B,E三点共线， ∠EAF=45°， .∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°， ∴.∠BAF'+∠BAE=45°， ∠EAF'=∠EAF=45°， 在△AEF和△AEF'中， 39 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 AF=AF ∠EAF=∠EAF' AE=AE △AEF≌△AEF'(SAS). .EF =EF', 又EF'=BE+BF', .EF BE+DF. 故答案为：EF=BE+DF: (2)结论：EF=BE-DF. 理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', D B F C E 图2 则：BF'=DF,AF'=AF 同法(I)可得：△AEF≌△AEF'(SAS), .EF EF', 又EF'=BE-BF'=BE-DF, 40 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :EF=BE-DF. 故答案为：EF=BE-DF: (3)结论：EF=BE+DF. 理由：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF', A F'.. B E 图3 则△ADF≌△ABF', ∴∠BAF'=∠DAF,AF'=AF,BF'=DF,∠ABF'=∠D, 义·EAF=∠BAD ∴.∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF', .∠EAF=∠EAF, 又：∠ABC+∠D=180°， ∠ABF'+∠ABE=180°， F'、B、E三点共线， 41 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期脉 AF=AF 在 和 中， ∠EAF=∠EAF', △AEF△AEF' AE=AE ∴△AEF≌△AEF'(SAS). .EF =EF', 又：EF'=BE+BF', .EF=BE+DF. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三 角形。 【变式3】.(23-24八年级上：广西南宁阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，A(a,0),B(0,b),且 a+4+b2-8b+16=0 M 图1 图2 (1)求a,b的值： (2)如图1，c为y轴负半轴上一点，连CA,过点C作CD⊥CA,使CD=CA,连BD.求证：∠CBD=45°； (3)如图2，若有一等腰RtABMP,∠BMP=90°，连AP,取AP中点N,连PM、PO.试探究PM和PO的关系. 【答案】(1)a=-4,b=4 (2)见解析 42 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (3)MP=OP,MP⊥OP,理由见解析 【知识点】绝对值非负性、全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定 【分析】(1)利用非负数的性质即可解决问题： (2)如图1中，作DE⊥BC于E,证出△AOC≌aCED,得到DE=OC,EC=OA,再证出△BDE是等腰直角三角形 即可得出结论： (3)延长MP到，使得PD=PM,连接A0,O卫，OM,延长MN交AO于C,先证出aMPN≌△QPA,再证 △MBO≌△OA0,从而证出△MO卫是等腰直角三角形，得出结论. 【详解】(1)a+4+b2-8b+16=0 a+4+(b-4)}=0, ∴.a=-4,b=4. (2)如图1中，作DE⊥BC于E. B D 图1 :AC⊥CDDE⊥OB .∠ACD=∠DEC=∠AOC=90°， .∠CAO+∠ACO=90°，∠AC0+∠ECD=90°， ∴.∠CAO=∠ECD, .CA=CD 43 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 :△AOC≌△CED(AAS), .DE =OC,EC=OA, ...OA=OB. .EC=OB, .BE=OC=DE, ∴，△BDE是等腰直角三角形， .∠CBD=45° (3)延长MP到9，使得P2=PM,连接A0,O卫，OM,延长MN交AO于C. B M 图2 ·PA=PN∠APQ=∠NPM PO=PM :△MPN≌△OPA(SAS), .AQ=MN,∠MNP=∠QAP, MN∥Ae, .∠MCA=∠QAO」 在四边形MCOB中， 44 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 ∠MCO+∠MB0=180°， .∠MCO+∠MCA=180°， :.∠MB0=∠MCA=LOAQ. △MNB是等腰直角三角形， ..MN =BM=AO. ...OA=OB. :△MBO≌△OAO(SAS), .MO=Q0,∠MOB=∠Q0A. ∴.∠M0A=∠BOA=90°， :△MOQ是等腰直角三角形， ..MP=PO. ∴.MP=OP,MP⊥OP 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质和全等三角形的判定与性质等知识，学会添加常用辅助线，构 造全等三角形是解本题的关键， 【题型七】垂线模型 【例11】过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB的长度为() 45 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 【答案】A 【知识点】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键。 过点E作EG⊥AB于点G,则∠AGE=∠EGB=90°，先证明△AEG≌△DAB得到EG=AB,AG=BD=3.3,则有 EG=BC,进而推出△EFG≌aCFB，得到GF=BF=2.5,再利用线段的和差即可求解， 【详解】解：如图，过点E作EG⊥AB于点G, 则∠AGE=∠EGB=90°， ∴.∠EAG+∠AEG=90°. AE⊥AD, .∠EAD=90°， ∴.∠EAG+∠DAB=90°， ∴.∠AEG=∠DAB, 又：∠AGE=∠DBA=90°，AE=AD, .△AEG≌aDAB(AAS), .EG=AB,AG=BD=3.3, 46 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ..AB=BC, .EG=BC, 又：∠EGF=∠CBF=90°，∠EFG=∠CFB, .△EFG≌aCFB(AAS), .GF=BF=2.5, ∴.AB=AG+GF+BF=3.3+2.5+2.5=8.3 故选：A. 【变式1】.(24-25八年级上湖北武汉阶段检测)如图，AC、E三点在同一条直线上，AB=AD,∠B=∠DAC BC=AE. B (I)求证：BC=DE+CE: (2)当△ABC满足 时，BC∥DE? 【答案】(1)见解析 (2)∠ACB=90° 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， 证明△ABC≌△DAE, (I)根据SAS证明△ABC≌△DAE,得出AC=DE,即可证明BC=AE=AC+CE=DE+CE: 47 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2)根据∠ACB=90°，得出∠BCE=90°，根据三角形全等的性质即可得出∠ACB=∠CED=90°，得出 ∠BCE=∠CED=90°，根据平行线的判定得出BC∥DE. 【详解】(I)证明：在△ABC和△DAE中 AB=AD ∠B=∠DAC, BC=AE .△ABC≌aDAE(SAS): .AC=DE, ..AE=AC+CE=DE+CE. ∴.BC=DE+CE. (2)解：当∠ACB=90°时，BC∥DE.理由如下： .∠ACB=90°， ∴.∠BCE=90°， △ABC≌△ADE, .∴∠ACB=∠CED=90° ∠BCE=LCED ∴.BC∥DE 【变式2】.(25-26八年级上内蒙古通辽期中)【基础回顾】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D, E.求证：△ABD≌△CAE: 48 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【变式探究】 GC 图3 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线I上，如果∠CEA=∠ADB=∠BAC,求 证：ED=BD+CE; 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB,AC为一边向外作 △BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H,设 △ADH的面积为S,△AEH的面积为S2,猜想S,S2大小关系，并说明理由， 【答案】(1)证明见解析；(2)见解析：(3)S=S,理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键。 (1)利用AAS证明△ABD≌△CAE即可： (2)证明△EAC≌aDBA(AAS)得到CE=AD,EA=BD,则ED=EA+AD=BD+CE: (3)过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,先证明△ABG≌aDAM(AAS)得到 AG=DM· 同理可证明：△4 GCENA得到AG=EN-则DM=EW:即可得到S-号4H,DM,S=方4H,EN, S,=S2. 【详解】(I)证明：，BD⊥直线l,CE⊥直线， .∠BDA=∠AEC=90°， ∴.∠DAB+∠DBA=90° 49 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 ∠BAC=90°， .∠DAB+∠EAC=90° .∠DBA=∠EAC 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC=90 ∠DBA=∠EAC AB=AC △ABD≌ACAE(AAS): (2)证明：，∠EAB是△ABD的外角， ∠EAB=∠ADB+∠DBA ∴.∠EAC+LBAC=∠ADB+∠DBA ∠ADB=∠BAC, ∴∠EAC=∠DBA 在△EAC和△DBA中， ∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB, AC=AB .△EAC≌aDBA(AAS) ∴.CE=AD,EA=BD ∴.ED=EA+AD=BD+CE; (3)S,S2大小关系是：S=S, 50 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如图所示： :AG⊥BC, ∴.∠AGB=∠M=90° .∴∠ABG+∠BAG=90° ∠BAD=90°， ∴.∠BAG+∠DAM=90° ∴.∠ABG=∠DAM 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M=90° ∠ABG=∠DAM AB=AD .△ABG≌aDAM(AAS) .AG=DM. 同理可证明：△AGC≌aENA, .AG=EN. .DM=EN 51 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 S=AH.DM,S,=7AH.EN. .S=S2 【变式3】.(2024黑龙江佳木斯一模)△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，M是BC的中点，D为射线BC上 点（不与点B,C重合）、连接AD并延长到点E,使得DE=AD,连接BE.过点B作BE的垂线交直线AC于点 F DB D M M 图① 图② 图③ (I)如图①，点D在线段BM上，线段CD,DB,CF之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (②)当点D在线段MC上时，如图②；当点D在MC的延长线上时，如图③，直接写出线段CD,DB,CF之间的数 量关系，不需证明， 【答案】(I)CD=DG=BD+CF, 证明：如图，作EG⊥CB交CB的延长线于G, 心 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 DB.G E 则∠ACD=∠EGD=90°， 在△ACD和△EGD中， ∠ACD=∠EGD ∠ADC=∠EDG AD=ED :△ACD≌aEGD(AAS). ∴CD=DG,AC=EG, .AC=BC, .EG=BC, BF⊥BE, ∠EBF=90°， .∠CBF+∠EBG=90°. ∠BEG+∠EBG=90°， .∠BEG=∠CBF, 在△CBF和△GEB中， 53 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ∠FCB=∠BGE ∠CBF=∠GEB BC=EG ∴.ACBF≌AGEB(AAS), .CF=BG. .CD=DG=BD+BG=BD+CF: (2)图②：DB=CD+CF,图③：CF=DB+CD 【知识点】全等三角形综合问题、垂线模型（全等三角形的辅助线问题）、等腰三角形的定义 【分析】(1)作EG⊥CB交CB的延长线于G,证明△ACD≌△EGD得到CD=DG,AC=EG,从而得到EG=BC, 证明△CBF≌aGEB得到CF=BG,即可得证： (2)如图，作EG⊥CB交CB于G,证明△ACD≌aEGD得到CD=DG,AC=EG,从而得到EG=BC,证明 △CBF≌aGEB得到CF=BG,即可得证：如图，作EG⊥CB交BC的延长线于G,证明△ACD≌aEGD得到CD=DG AC=EG,从而得到EG=BC,证明△CBF≌aGEB得到CF=BG,即可得证： 【详解】(1)略 (2)如图，作EG⊥CB交CB于G, B 54 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 则∠ACD=∠EGD=90°， 在△ACD和△EGD中， ∠ACD=∠EGD ∠ADC=∠EDG, AD=ED ∴.△ACD≌△EGD(AAS). ..CD=DG,AC=EG, AC=BC, :.EG=BC, BF⊥BE, ∠EBF=90°， ∴.∠CBF+∠EBG=90°， .∠BEG+∠EBG=90°， ∠BEG=∠CBF, 在△CBF和△GEB中， ∠FCB=∠BGE ∠CBF=∠GEB BC=EG aCBF≌aGEB(AAS), ∴.CF=BG, ..CD=DG=BD-BG=BD-CF,DB=CD+CF: 55 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 如图，作EG⊥BC交BC的延长线于G, B M 则LACD=∠EGD=90°， 在△ACD和△EGD中， ∠ACD=∠EGD ∠ADC=∠EDG AD=ED .AACD≌aEGD(AAS), ..CD=DG,AC=EG, AC=BC, .EG=BC, BF⊥BE, ∠EBF=90°， .∠CBF+∠EBG=90°， :∠BEG+∠EBG=90°. 56 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ∠BEG=∠CBF, 在△CBF和△GEB中， ∠FCB=∠BGE ∠CBF=∠GEB, BC=EG .∴ACBF≌△GEB(AAS), ..CF=BG, .CF=BG=BC+CD+DG=BD+CD. 【题型八】半角模型 【例12】.如图，正方形ABCD中，M,N分别在CD、BC上，连接AM、AN、MN,∠MAN=45° D 450 M (I)若将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE;请你补全图形. (2)直接写出线段DM、BN、MN之间的数量关系： (3)根据(2)的结论，写出证明过程： (4④如果正方形的边长是5，求△CMN的周长. 【答案】()见解析 (2)MN DM+BN 57 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 (3)见解析 (④)10 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质求线段长、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键. (1)根据提示即可作图： (2)根据图形可得结论： (3)由旋转可知：△ADM≌aABE,推出AM=AE,∠DAM=∠BAE,DM=BE,，进而得∠EAN=∠MAN,证 △EAW≌△MAN即可： (4)根据△CMN的周长=MN+CN+CM,MN=DM+BN,推出△CMN的周长 =(DM+CM)+(BN+CN)=BC+CD=10,即可： 【详解】(1)解：如图所示： D 45 (2)解：MN=DM+BN: (3)证明：由旋转可知：△ADM≌△ABE, .AM=AE,∠DAM=∠BAE,DM=BE. ∠MAN=45°，∠BAD=90°，， .∴：∠DAM+∠BAN=45°=∠BAE+∠BAN=∠EAN, 58 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .∠EAN=∠MAN, .△EAN≌aMAN, .MN=EN BE+BN DM+BN (4)解：：aCMN的周长=MN+CN+CM,MN=DM+BN, ∴.aCMN的周长=(DM+CM)+(BN+CN)=BC+CD=10 【变式1】.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAr=∠BHD,线段EF'BE·FD之间的关系是一：（不需要证明) (2）如图2，在四边形ABCD中，4B=AD,∠B+∠D=1380,五，P分别是边BC,GD上的点，且∠E4F ∠BAD 2 (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且 BAD。()中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关 图1 图2 图3 【答案】(I)EF=BE+FD; (2)(1)中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, 59 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 .∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠1=180° ∠1=∠D, 在△ABM和△ADF中， AB=AD ∠1=∠D BM=DF ,AABM≌△ADF(SAS), AM=AF,∠3=∠2， :∠EAF=∠BAD. 2 .∠2+∠4=∠EAF, ∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF. 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠EAM=LEAF, AE=AE ∴△MAE≌△FAE(SAS). .EF =EM, .EM BM+BE=BE+DF, 60 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 :EF BE+FD: (3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD, 证明：如图3，在EB上截取BH=DF,连接AH, H 图3 ∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADF ,在△ABH与△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADF, BH=DF .△ABH≌△ADF(SAS), AH=AF,∠BAH=∠DAF, ∴.∠HAF=∠HAD+∠DAF=∠HAD+∠BAH=∠BAD, 又∠EAF=)∠BAD=)∠HAF, 21 2 .∠HAE=∠FAE 在△HAE和△FAE中， 61 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AH=AF ∠HAE=∠FAE AE=AE .∴AHAE≌△FAE(SAS), .EF EH, .EH=BE-BH BE-DF, .EF BE-FD. 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型， (1)可通过构建全等三角形来实现线段间的转换.延长EB到G,使BG=DF,连接AG.在△ABG和△AFD中，已 知了一组直角，BG=DF，AB=AD,因此两三角形全等，可得AG=AF,A=∠2，进而得 A+∠3=∠2+∠3=∠EAPB4D.由此可证AAEG≌AABF,即可得EF=GE,进而可得结论. (2)思路和作辅助线的方法与(1)完全一样，只不过证明△ABM和△ADF全等中，证明∠ABM=∠ADF时，用到 的等角的补角相等，其他的都一样.因此与(1)的结果完全一样， (3)按照(1)的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在EB上截取BH,使BH=DF, 连接AH.根据(I)的证法，我们可得出DF=BH,HE=EF,那么EF=HE=BE-BH=BE-DF.所以(I)的 结论在(3)的条件下是不成立的. 【详解】解：(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG 62 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 B E ,∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD, ∴.△ABG≌△ADF, .AG=AF,1=∠2， 21+23=∠2+23=∠Baf=BAD, ∴.∠GAE=LEAF, 又，AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF, ∴.EG=EF, .EG=BE+BG, ∴.EF=BE+FD, 故答案为：EF=BE+FD; (2)略 (3)略 【变式2】，(25-26八年级上湖北省直辖县级单位期末)(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的数量关系. 小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 63 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 △AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试探究 ∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由： (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=18O,AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上， 如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由. G D A B A E E 图1 图2 图3 【省案】(BD-2EF:（②)∠E4F-D,理由见解新：⊙B=1心D,白见新折 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用。 (I)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判 定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,据此得出结论： (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判 定AEP≌aAGF:可得出∠EF=∠GF=DAG+∠DAr=∠ME+∠DMr,即∠EAF-BHD: (3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定△ADG≌△ABE,再判定△AEF≌△AGF,得出 ∠FAE=∠FAG,最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论. 【详解】解：(1)∠BAD=2∠EAF；理由如下： 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 64 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 D E 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG=90°， BE=DG ∴AABE≌△ADG(SAS), ∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF BE+DF,DG=BE. .EF BE+DF=DG+DF=GF, .AF=AF, ·.AAEF≌△AGF(SSS). ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF ∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∠BAD=2∠EAF, 故答案为：∠BAD=2∠EAF; C2)∠EAF=)∠BAD,理由如下 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 65 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 G A B E C.∠B+∠ADF=180°∠ADG+∠ADF=180° .∠B=∠ADG, 又：AB=AD, AABE≌△ADG(SAS), .∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF(SSS), ∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF: 即∠EAF=}∠BAD, 2 3)∠EAF=180°-2∠DAB:理由如 如图，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, ·.·∠ABC+∠ADC=180° ∠ABC+∠ABE=180 ∠ADC=∠ABE, 66 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 又：AB=AD, .AADG≌△ABE(SAS). AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF(SSS). ∠FAE=∠FAG, ∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， .2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°. .2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， D4B ∠EAF=180°-1 【变式3】.(24-25八年级上·北京海淀期中)已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠FAF-B4D. D D A D F B C B E 图1 图2 图3 67 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE,连接AG. 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路. 小明的解题思路：先证明△ABE≌一；再证明了△AEF≌一，即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为 (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如 果不成立，请说明理由 (3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF,BE，,FD之间的数量关系 为. (不用证明) 【答案】(I)图见解析，△ADG,△AGF,EF=BE+FD (②)成立，证明见解析 (3)EF=BE-DF 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形， (1)根据题意，画出图形，先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,即可得出结论： (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,即可得出结论： (3)在BC上取一点G,使BG=DF,先证明△ABG≌△ADF,再证明△AEG≌△AEF,即可得出结论. 【详解】(1)解：补全图形，如图： 68 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 E 图1 解题思路为：先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为EF=BE+FD; 故答案为：△ADG,△AGF,EF=BE+FD: (2)解：成立，证明如下： 延长FD到点G,使DG=BE,则∠ADF+∠ADG=180°， G A B E 图2 :∠B+∠ADC=180°， .∠B=∠ADG, AB=AD, .△ABE≌△ADG, .AG=AE,∠1=∠3， 69 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 ∠EAF=)∠BAD 1+2-时D, :3+∠2=5∠BAD,即：∠FAG=)∠BAD, 2 2 ∴.∠EAF=∠FAG, 又AF=AF, .△AEF≌△AGF, ..EF =GF, .GF=DF+DG, .EF=DF+BE: (3)解：在BC上取一点G,使BG=DF, A D G 图3 :∠ADF+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF, 又AB=AD, 70 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .△ABG≌△ADF, .AG=AF,∠1=∠2， +∠3=∠2+3=∠Eaf-BD, 2GME=B4D=∠EM, 又AE=AE, .∴△AGE≌△AFE, .EF =EG=BE-BG=BE-DF 故答案为：EF=BE-DF. 课堂小结 1.两个核心定理：性质（线上点→距离等）、判定（距离等→线上点），二者互为逆定理，垂直是使用前提。 2.四大必考模型：垂线段全等、截长补短、平分平行等腰、双平分角度定值，覆盖80%以上考题。 3.解题核心思想：角平分线本质是轴对称，所有模型都是通过构造对称全等，实现边、角转化。 4.避坑关键：无垂直不用性质、无内部不判平分、杜绝SSA全等、公式不混淆。 A课后作业 一、单选题 1.公园内三条小路两两相交，交点分别为点A,B,C,若要在△ABC区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭， 则凉亭的位置应建在() 71 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 A.△ABC的三条高线的交点 B.△ABC的三条角平分线的交点 C.△ABC的三条中线的交点 D.△ABC的三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质作图即可解答. 【详解】解：如图，分别作∠ABC,∠BAC和LBCA的角平分线，交于点P, 由角平分线的性质可知，点P到3条小路的距离相等 故选：B 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC,AB于D,E两点，再分别以D,E为圆 心，大于D5的长为半径画弧，两弧交于点M作射线AM交BC于点F,若BF=3”BC=5,则点F到AB的距 离为( A.3 B.4 C.2.5 D.2 【答案】D 【分析】过F点作FH⊥AB于H点，利用基本作图得到AF平分∠CAB,则根据角平分线的性质得到FC=FH,即 可得答案 【详解】解：如图，过F点作FH⊥AB于H点， 72 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 BF=3 BC=5 .FC=BC-BF=2, 由作图知，AF平分∠CAB, ∠C=90°， .FC⊥AC, .FH=FC=2, ∴点F到AB的距离为2 3.如图所示，在△ABC中，AC=BC,AE=CD,AE⊥CE于点E,BD⊥CD于点D,AE=7,BD=2,则DE的 长是() B A.7 B.5 C.3 D.2 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明Rt△AEC≌RtACDB,又由AE=7,BD=2,得出 CE=BD=2,AE=CD=7,进而得出答案. 【详解】解：，AC=BC,AE=CD,AE⊥CE,BD⊥CD, .∠AEC=∠CDB=90°， 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 .∴RtAAEC≌RtACDB 又：AE=7,BD=2, .'CE=BD=2,AE=CD=7, .DE=CD-CE=7-2=5 故选B 4.如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得AB=12cm,C恰好是AB的中点.当CD1AB, 且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是() B D E 图1 图2 A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 如图：过点B作BF⊥DE,垂足为点F,根据C是AB的中点可求BC的长度，再根据角平分线的性质求解即可. 【详解】解：如图：过点B作BF⊥DE,垂足为点F, B C是 的中点， D E AB AB=12cm 74 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 BC=AB=6cm. :CD⊥AB,BF⊥DE,射线DB是∠CDE的平分线， .BF BC=6cm 故选：B 5.如图，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠ECB的平分线.小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在 ∠BAC的平分线上；②BP=CP;③点P到AD、AE、BC的距离相等.则正确的是() D B A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【分析】过点P分别向AD、AE、BC作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确 【详解】解：如图，作PF⊥AD,PM⊥BC,PN⊥AE, B ,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠ECB的平分线， ∴.PF=PM,PM=PN, 75 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 .PF=PM=PN,③正确， ∴.点P在∠BAC的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明BP=CP 6.小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=6,求BC边上的中线长.” 聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围.根据小武老师的想法， BC边上的中线长可能是() A.5 B.2 C.22 D.4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，设BC边上的中线为AD,点D为边BC的中 点，延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE,则AE=2AD,由题意可得BD=CD=3,证明△ADC≌△EDB(SAS) 得出BE=AC=5,再由三角形三边关系得出2<AD<4,即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关 键 【详解】解：如图，设BC边上的中线为AD,点D为边BC的中点，延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE,则 AE=2AD. E ,BC=6 .BD =CD=3, 在△ADC和△EDB中， 76 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 AD=ED ∠ADC=∠EDB CD=BD ·.△ADC≌aEDB(SAS), .'BE=AC=5, ∴.BE-AB<AE<AB+BE, .5-3<2AD<5+3, .1<AD<4, 在△ACD中，AC-CD<AD<AC+CD, ∴.5-3<AD<5+3, .2<AD<8, ∴.2<AD<4, .BC边上的中线长可能是2√2， 故选：C 7.如图，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确的个数是() E 平分 CN FOCP ∠ACF ②∠ABC+2∠APC=180° ③∠ACB=2∠APB; ④SPAc=S.PAM+S,PCw. 77 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】过点P作PD⊥AC于D,根据角平分线的判定定理和性质定理判断O:证明RtoPAM≌RtAPAD,根据全等 三角形的性质得出∠APM=∠APD,判断②：根据三角形的外角性质判断③：根据全等三角形的性质判断④. 【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D, M 4 :PB平分∠ABC,PA平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC, ∴.PM=PN,PM=PD, .PM PN PD. PN⊥BF,PD⊥AC 点P在∠ACF的角平分线上，故①正确： ②：PM⊥BE,PN⊥BF ∴.∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°， .∠ABC+∠MPN=180°， 在RtAPAM和Rt△PAD中， PM=PD PA=PA' 78 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .RtAPAMRtAPAD(HL). .∠APM=∠APD, 同理：RtAPCD≌RtPCN(HL), ∴.∠CPD=∠CPN, ,∴.∠MPN=2∠APC, ∴.∠ABC+2∠APC=180°，②正确： ③：PA平分∠CAE,BP平分∠ABC, ∴.∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM, :∠PAM-ABc+∠APB, :∠ABC+∠ACB=2∠ABC+∠APB 21 .∠ACB=2∠APB,③正确： ④由②可知RtPAM≌RtAPAD(HL),RtAPCD≌RtePCN(HL), S.APD=SAPM:SACPD=SACPN .S,MPM+ScPN=SAPC,故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个. 二、填空题 8.如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村 的选址有」 处可供选择。 79 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质.角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案. 【详解】解：如图， 三角形内角平分线的交点D,和外角平分线的三个交点A、B、C,共4处可供选择. 故答案为：4 9.如图，P是∠AOB内射线OC上的一点，PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,若∠AOC=24°，则LBOC的度数是 P E B 【答案】24° 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线OC是∠A0B的平分线，继而得到∠BOC=∠A0C=24°，解答即可. 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键。 80 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解】解：，PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE, .∴射线OC是∠AOB的平分线， ∴.∠BOC=∠AOC, ∠A0C=24°， .∠B0C=24°， 故答案为：24°. 10.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,AB=10cm,则△BED的周 长为 B E 【答案】10cm 【分析】根据角平分线的性质得CD=DE,然后证明RiACD≌Rt△AED(IHL)得AC=AE,推出ABED的周长为AB 长 【详解】解：，AD平分∠CAB,∠C=90°，DE⊥AB, .CD=DE. 在RtAACD和Rt△AED中， DC=DE AD=AD· .RtAACDRIAAED(HL), 81 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 ..AC=AE, AC=BC,AB=10cm, BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10(cm), ∴，△BED的周长为lOcm. 11.如图，在△ABC中，己知∠C=90°，∠B=24°.以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB,AC于点M, N:再分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P.连接A并延长交BC于点D,则 ∠ADB= ▣ B 【答案】123°/123度 【分析】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理： 先利用三角形内角和定理求出∠BAC,再根据作图知AD平分∠BAC，,求出∠BAD,再利用三角形内角和定理即可求 出∠ADB 【详解】解：∠C=90,∠B=24°， .∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-90°-24°=66°， 由作图知AD平分∠BAC, 5ZBAD=)∠BAC=33P ∴.∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-33°-24°=123°， 82 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 故答案为：123° 12.在△ABC中，AB=2,AC=4,则BC边上的中线AD的取值范围是 【答案】1<AD<3 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形的判定与性质及三角形三边关系：正确添加辅助线，构造全等三角 形是解题关键.延长AD到E,使AD=DE,连接BE,利用SAS证明△ADC≌△EDB,得到AC=BE,在△ABE中利 用三角形三边关系求出AE的范围，进而得到AD的取值范围.。 【详解】解：如图，延长AD到E,使DE=AD,连接BE, D 是 边上的中线 E .·AD BC .BD=DC AD=DE 在 和 中， ∠ADC=∠EDB △ADC △EDB DC=BD ,∴.△ADC≌aEDB(SAS). .'AC=BE=4. 在△ABE中，BE-AB<AE<AB+BE,即2-4<AE<2+4, .2<AE<6 AE AD+DE=2AD, ∴.2<2AD<6. 83 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 .1<AD<3 故答案为：1<AD<3 13.如图，△ABC中，∠B=∠C,D,E,F分别为边BC,AC,AB上的点，BF=CD,BD=CE,若∠A=40°， 则∠EDF=°. 【答案】70 【分析】根据全等三角形的性质及平角的定义推出LEDF=∠B是解题的关键.由∠B=∠C,∠A=40°，可得 ∠B=70°，根据己知条件可推出△BDF≌△CED,从而可知∠EDC=∠DFB,再根据平角的定义及三角形内角和推出 ∠EDF=∠B,即可得解. 【详解】解：∠A=40°， ∠B=∠2c-080-2A)=70, :∠B=∠C,BF=CD,BD=CE :△BDF≌aCED(SAS), .∠EDC=∠DFB, :.∠EDF=180°-（∠BDF+∠EDC)=180°-（∠BDF+∠DFB)=∠B=70 14.如图，在△ABC中，以AB,AC为腰作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,连接EF,AD为BC边上 的高线，延长DA交EF于点N,下列结论：①LEAW=∠ABC;②△EAW≌△BAD;③SABr=SABC;④EN=FN, 84 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 其中正确的有 (写上序号) A B D 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作EH⊥AN,交AN于点H, FK⊥AN,交AN延长线于点K,构造三对全等三角形：△AEH≌aBAD,△AFK≌aACD,△FKN≌aEHN,根据全 等三角形的面积相等，即可得出SABD=SEMH,SFK=SADC,SEH=SPw,根据 S,BC=SMBD+SADC=S.4EH+SAFK=(S,EN-S.ENm)+(S.PM+SFK)=S,EN+S,PM=SAEr,即可得出结论③；最后根 据△FKN≌aEHN,得出FN=EN即可. 【详解】解：，∠BAE=90°，AD⊥BD, ∴.∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD, .∠EAN=∠ABC,故①正确： ,∠AEN与∠BAD不一定相等， .△AEN与△BAD不一定全等，故②错误： 作EH⊥AW,交AN于点H,FK⊥AN,交AN延长线于点K, 85 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 H A D .∠AEH+∠EAH=90°， ∠EAB=90°， .∠EAH+∠BAD=90°， ∴.∠AEH=∠BAD, 在△AEH和△BAD中， [∠AHE=∠ADB ∠AEH=∠BAD AE=AB .△AEH≌aBAD(AAS), .EH=AD,S.ABD=S.EAH 同理可得：△AFK≌△CAD, .FK=AD,S.FKA=S.ADC, ∴.FK=EH, 在△FKN和△EHN中， 86 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 ∠FKN=∠EHN ∠FNK=∠ENH FK=EH ,·.△FKN≌aEHN(AAS), S.ENH =S.FNK ∴.SABC=SABD+SMDC =S。AEH+S。AFK =(S.EAN-S.ENH)+(S.FNA+S.FNK) =S.EAN+S.FNA =S。AEF, 即S△MBc=SAF,故③正确： '△FKN≌aEHN, .FN=EN,故④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题 15.如图，DE⊥AB的延长线于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF,求证：AD平分∠BAC. B 【答案】证明：：DE⊥AB,DF⊥AC, 87 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 :△BDE和△CDF都是直角三角形， BD=CD 在 BDE △CDr中， BE=CF △BDE≌aCDF(HL), ∴.DE=DF, ∴.AD平分∠BAC. 【分析】利用HL证明△BDE≌△CDF,得出DE=DF,根据角平分线的判定定理即可得出结论 【详解】略 16.如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一5G信号塔，他想知道信号塔离他有 多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从A点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处： ②从D处左转90°向正南方向行走，到E处时停止行走，此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直 线上； ③从A到E小淇共走了140步. (1)根据题意，画出示意图： (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程。 88 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点A处时他与B处信号塔的距离为40米. 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决， (1)依据题意即可画出示意图： (2)由题意可得△ABC≌△DEC,得AB=DE,即可求得AB的长. 【详解】(1)解：示意图如图所示 北 (2)解：40米，理由如下： 在△ABC和△DEC中， ∠A=∠D=90° AC=DC ∠ACB=∠DCE ·.△ABC≌ADEC(ASA), .AB=DE, 又：小淇走了140步，AD为30×2=60步， 89 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∴.DE为80步，一步大约50厘米即0.5米， .DE=80×0.5=40(米)· 答：小淇在点A处时他与B处信号塔的距离为40米 17.画一画，想一想：如图，已知∠AOB, (I)请用尺规作出∠AOB的角平分线.（要求：保留作图痕迹，不写做法） B (2)你能用手中的三角板作出∠AOB的角平分线吗？写出做法，并证明. B 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据尺规作图角平分线的步骤，逐步画出角平分线即可： (2)根据HL作△OCE≌aODE(HL)的步骤，逐步画图即可. 【详解】(1)解：如图所示，OC即为∠AOB的角平分线： E D (2)解：如图， 90 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ①在射线OB,OA上，利用三角板的同一条直角边作出OC=OD, ②利用三角板作出∠OCF=∠ODM=90°，交于点E, ③连接0E, B E M A 则OE为∠AOB的角平分线， 理由如下： .:∠OCF=∠ODM=90°，OC=OD,OE=OE. .aOCE≌aODE(HL). .∠DOE=∠COE, ∴，OE为∠AOB的角平分线. 18.如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公路边建一所加油站P,要求加油站P的位置到三条公路的距 离都相等. B (1)符合要求的位置有」 个； (②)请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； 91 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (3)你的作图依据是 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键. (1)利用角平分线的性质即可得出结论： (2)利用角平分线的性质作出图形即可： (3)利用角平分线的判定解答即可. 【详解】(1)解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交 点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4： (2)解：如图所示，P、B、乃、P即为加油站的位置， (3)解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理。 92 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 19.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法.。 图(1) 图(2) ()如图1，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点E,使DE=AD,连接 BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC,接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值 范围，从而得到中线AD的取值范围是： (2)如图2，AB=AE,AC=AE,∠BAE=∠CAF=90°，点D为BC的中点，连接AD.求证：EF=2AD. 【答案】(1)1.5<AD<6.5 (2)证明见解析 【分析】(1)由△EDB≌aADC(SAS)可得BE=AC=5,再根据三角形三边关系解答即可求解： (2)延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD,同理可证△ADC≌aGDB(SAS),即得AC=GB, ∠C=∠GBD,再证明△ABG≌aEAF(SAS),得到4G=EF,即可求证： 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键， 【详解】(I)解：，AD是△ABC的中线， .'BD=CD. 又，ED=AD,∠BDE=∠CDA, ∴.aEDB≌aADC(SAS). 93 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 .BE=AC=5, 在△ABE中，，AB-BE<AE<AB+BE, .8-5<2AD<8+5, .1.5<AD<6.5, 故答案为：1.5<AD<6.5: (2)解：如图，延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD, E B D 同理可证△ADC≌aGDB(SAS). AC=GB,∠C=∠GBD, AC=AF, .'BG=AF, ∠BAE=∠CAF=90°， .∠BAC+∠EAF=180°， ,∠BAC+∠ABC+∠C=180°， .∠BAC+∠ABC+∠GBD=180°， 94 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 即∠BAC+∠ABG=180°， .∠ABG=∠EAF, 又：AB=AE, .△ABG≌aEAF(SAS), ∴.AG=EF, ∴.EF=2AD 20.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=BD,线段Er·BE'FD之间的关系是 一；（不需要证明) (2如图2.在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180,点，P分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=∠BAD, 2 (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且 ∠EAF= B1D,(山)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。 B 图1 图2 图3 【答案】(I)EF=BE+FD: 95 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 (2)(1)中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠1=180° ∠1=∠D, 在△ABM和△ADF中， (AB=AD ∠1=∠D BM=DF .AABM≌△ADF(SAS), AM=AF,∠3=∠2， :∠EAF=∠BAD .∠2+∠4=∠EAF, ∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF, 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠EAM=∠EAF, AE=AE 96 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 ∴.△MAE≌△FAE(SAS). ∴.EF=EM, EM=BM+BEBE+DF, ∴EF=BE+FD: (3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD, 证明：如图3，在EB上截取BH=DF,连接AH, 图3 E ∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADF. 在△ABH与△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADF BH DE .△ABH≌△ADF(SAS), .AH=AF,∠BAH=∠DAF, ∴.∠HAF=∠HAD+∠DAF=∠HAD+∠BAH=∠BAD, 97 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 又：∠EAF=，∠BAD= 1 ∠HAF 2 .∠HAE=∠FAE, 在△HAE和△FAE中， AH=AF ∠HAE=∠FAE, AE=AE ∴.△HAE≌△FAE(SAS) :EF EH, :EH BE-BH BE-DF, ∴.EF=BE-FD. 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型。 (1)可通过构建全等三角形来实现线段间的转换.延长EB到G,使BG=DF,连接AG.在△ABG和△AFD中，已 知了一组直角，BG=DF,AB=AD,因此两三角形全等，可得AG=AF,∠I=∠2，进而得 A+3=∠2+3=∠BF-B4D.由此可证AEG2aAF,即可得E=GB,进而可得结论， (2)思路和作辅助线的方法与(I)完全一样，只不过证明△ABM和△ADF全等中，证明∠ABM=∠ADF时，用到 的等角的补角相等，其他的都一样.因此与(1)的结果完全一样. (3)按照(1)的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换，就应该在EB上截取BH,使BH=DF, 连接AH.根据(1)的证法，我们可得出DF=BH,HE=EF,那么EF=HE=BE-BH=BE-DF.所以(I)的 结论在(3)的条件下是不成立的. 【详解】解：(I)延长EB到G,使BG=DF,连接AG 98 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 D B E ,∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD, ∴.△ABG≌△ADF, .AG=AF,1=∠2， 21+23=∠2+23=∠Baf=BAD, ∴.∠GAE=LEAF, 又，AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF, ∴.EG=EF, .EG=BE+BG, ∴.EF=BE+FD, 故答案为：EF=BE+FD; (2)略 (3)略 21,(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别 为D,E.求证：△ABD≌△CAE: 99 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线I上，如果∠CEA=∠ADB=∠BAC,猜想 DE,BD,CE有何数量关系，并给予证明： (3)如图3，∠ACB=90°，CA=CB,点B的坐标为（山，3），点C的坐标为(-1,0)，直接写出点A的坐标 1V 夕 A E 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：：∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90°， :BD⊥AD, .∠DBA+∠BAD=90°， .L CAE=L DBA. CE⊥AE, ∴.∠CEA=90°， :∠DBA=∠EAC,∠BDA=∠AEC,AB=CA, △ABD≌△CAE (2)DE=BD+CE.证明如下： :∠EAC+∠CEA+∠ACE=180°， ∠ECA=180°-∠CAE-∠CEA, :∠CAB+∠CAE+∠BAD=180°， 100 第04讲 角平分线与全等三角形几何模型 （核心知识+5易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【知识点01】角平分线基础定理 1. 性质定理（点在平分线上→距离相等） 文字语言：角平分线上的点到角两边的垂直距离相等。 几何语言：若平分，，，则。 作用：直接证线段相等，省去一次全等证明，是几何解题提速关键。 2. 判定定理（距离相等→点在平分线上） 文字语言：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：若，，，则平分。 作用：证明角相等、证明射线是角平分线。 3. 重要推论：三角形三条角平分线交于一点 三角形三条内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边距离相等，是内切圆圆心。 【知识点02】四大必考几何模型（角平分线+全等） 模型一：垂线段模型（基础模型） 条件：有角平分线、有垂直于角两边的线段。 做法：过平分线上一点向角两边作垂线。 全等依据：AAS/HL 结论：垂线段相等、对应角相等、可证线段加减关系。 模型二：截长补短模型（角平分线专用） 适用场景：题干出现角平分线，求证线段和差关系（类）。 做法：在长边上截取线段等于短边，构造全等三角形。 全等依据：SAS（角平分线分角相等、公共边、截取边相等） 核心结论：转化线段，将折线和差转化为单一线段。 模型三：平行线+角平分线等腰模型 条件：角平分线 + 一组平行线 结论：必然出现等腰三角形（平分+平行=等腰）。 原理：内错角相等+角等分角相等→等角对等边。 延伸：可结合全等，证边相等、角相等、线段平行。 模型四：双角平分线模型（角度定值模型） 1. 两内角平分线：三角形两内角平分线夹角 = 顶角 2. 一内一外平分线：夹角 = 顶角 考点：无需计算，直接套定值求角度，选择填空高频考点。 易错点1：混淆“线段相等”和“距离相等” 错误认知：角平分线上的点到角两边的任意线段相等。 正确结论：只有垂线段距离相等，斜线段不相等！做题必须找垂直，无垂直不能用性质定理。 易错点2：判定定理缺少“角的内部”条件 错误写法：只要点到角两边距离相等，就在角平分线上。 扣分点：必须强调点在角的内部，外部存在到两边距离相等但不在平分线上的点。 易错点3：乱用定理，跳过全等、条件不全 很多同学做题不写“垂直”条件，直接用距离相等，属于条件缺失，直接扣分。 标准答题模板：先证垂直→再用平分线性质→得线段相等。 易错点4：SSA伪全等误用 角平分线题型中，极易出现“两边一角非夹角”，切记SSA不能证全等，优先换AAS/ASA/SAS。 易错点5：双角平分线角度公式记混 内角平分线夹角是90°加半角，内外平分线夹角是半角，记反直接算错角度。 【题型一】角平分线的性质定理 【例1】E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【例2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【变式1】．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【变式3】．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，平分，交于点D，若，，求点D到的距离． 【题型二】角平分线的判定定理 【例3】．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【变式3】．（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【题型三】角平分线性质的实际应用 【例4】．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，平分，，，则的长为______． 【变式2】．（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 【变式3】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【题型四】作角平分线(尺规作图) 【例5】．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．16 B．24 C．36 D．48 【例6】．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线．交边于点，若，，，则的长为____． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、边于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，在上取点E，连接，，若，，则的长度是__________． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，中，． (1)基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)若，求的周长． 【变式3】．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，中， 点D在边AB上， 且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的角平分线交于M，连接，当，时，求的值． 【题型五】倍长中线模型 【例7】．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【例8】．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）在中，，中线，则边的取值范围是_____． 【例9】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【变式1】．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（25-26八年级上·北京·期中）已知中，，，是中线，则的取值范围是________． 【变式3】．（25-26八年级上·广西百色·阶段检测）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证：． 证明：延长到点E，使， 在和中， ∵（已作）， （ ）， （中点定义）， ∴（ ）； (2)[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [问题解决] 如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【题型六】旋转模型 【例10】．（2024八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 【变式1】．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【变式2】．（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【变式3】．（23-24八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求，的值： (2)如图1，为y轴负半轴上一点，连，过点作，使，连．求证：； (3)如图2，若有一等腰，，连，取中点，连、．试探究和的关系． 【题型七】垂线模型 【例11】过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【变式1】．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【变式2】．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【变式3】．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【题型八】半角模型 【例12】．如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【变式1】．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【变式2】．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【变式3】．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 1. 两个核心定理：性质（线上点→距离等）、判定（距离等→线上点），二者互为逆定理，垂直是使用前提。 2. 四大必考模型：垂线段全等、截长补短、平分平行等腰、双平分角度定值，覆盖80%以上考题。 3. 解题核心思想：角平分线本质是轴对称，所有模型都是通过构造对称全等，实现边、角转化。 4. 避坑关键：无垂直不用性质、无内部不判平分、杜绝SSA全等、公式不混淆。 一、单选题 1．公园内三条小路两两相交，交点分别为点A，B，C，若要在区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在（   ） A．的三条高线的交点 B．的三条角平分线的交点 C．的三条中线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 2．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 3．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 4．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 5．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 7．如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 9．如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 10．如图，中，，，平分交于点，，，则的周长为___________． 11．如图，在中，已知．以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连接并延长交于点D，则_________． 12．在中，，，则边上的中线的取值范围是_________． 13．如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 14．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 三、解答题 15．如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 16．如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 17．画一画，想一想：如图，已知， (1)请用尺规作出的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写做法） (2)你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出做法，并证明． 18．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 19．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 20．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 21．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $