第三十章　直线与圆的位置关系 测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“直线与圆的位置关系”为核心，通过基础、中档、拔高三层设计，覆盖从概念辨析到综合应用的知识路径，注重几何直观与推理能力的培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（位置关系判断、切线性质）|选择填空基础题（如第1-2题位置关系判断）| |中档|综合应用（切线长定理、正多边形与圆）|解答题分步推理（如第19题切线性质证明）| |拔高|拓展探究（动态旋转、实际测量方案）|跨情境问题（如第24题疏水性接触角探究）|

第三十章　直线与圆的位置关系 测试卷 (总分:120分　时间:120分钟) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如图是“光盘行动”的宣传海报,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是 (　　) A.相切 　　　　B.相交　　　　C.相离　　　　D.平行 2.已知☉O的直径为4,点O到直线l的距离为4,则直线l与☉O的位置关系是 (　　) A.相离　　　　B.相切　　　　C.相交　　　　D.无法判断 3.如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC与☉O相交于点D,若∠ACB=50°,则∠BOD的度数为 (　　) A.40°　　　　B.50°　　　　C.60°　　　　D.80° 4.如图,☉O是△ABC的外接圆.若∠ABC=15°,弦AC是☉O的内接正多边形的一边,则该正多边形是 (　　) A.正二十四边形 B.正十二边形 C.正八边形 D.正六边形 5.如图,将正六边形纸片的空白部分剪下,得到三部分图形,记Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ部分的面积分别为SⅠ,SⅡ,SⅢ.给出以下结论:①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形;②Ⅲ中最大的内角是150°;③SⅢ=2(SⅠ+SⅡ).其中正确的结论是 (　　) A.①②　　　　B.①③　　　　C.②③　　　　D.①②③ 6.在同一平面内,已知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,P为☉O上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是 (　　) A.2 　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.8 7.如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和☉O分别相切于点L,M,N,P.若四边形ABCD的周长为20,则AB+CD的值为 (　　) A.5　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.12 8.(2026天津河西区期中)如图,在平面直角坐标系中,点P是正六边形ABCDEF的边AB与y轴的交点,C(-4,0),F(4,0),点A在第一象限.将△OAP绕点O顺时针旋转90°后点A的对应点的坐标为 (　　) A.(3,-) B.(4,-2) C.(0,-4) D.(2,-2) 9.如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上.若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E的度数为 (　　) A.56°　　　　B.60°　　　　C.68°　　　　D.70° 10.如图,点O是△ABC的内心,也是△DBC的外心.若∠A=84°,则∠D的度数为 (　　) A.42°　　　　B.66°　　　　C.76°　　　　D.82° 11.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=8,以CD为直径作☉O.将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1,使A1B1与☉O相切于点E,CB1与☉O相交于点F,则CF的长是 (　　) A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 12.为了测量某圆形工件的直径,有甲、乙两种方案. 甲:如图1,在工作台上用边长相同的两个正方体小木块顶在圆形工件的两侧,测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可; 图1 乙:如图2,把两个小木块换成两个相同的小圆柱,量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可. 图2 下列有关甲、乙两种方案的判断正确的是 (　　) A.甲可行,乙不可行 B.甲不可行,乙可行 C.两种都不可行 D.两种都可行 二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分) 13.(2026哈尔滨月考)如图,已知AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,DC切☉O于点C,若∠D=20°,则∠A的度数为　　　　.  14.如图,正方形ABCD和正三角形AEF内接于☉O,CD和AF相交于点P,则∠CPF的度数为　　　　.  15.如图,点I为△ABC的内心,点D在BC上,且ID⊥BC,若∠B=44°,∠C=56°,则∠AID的度数是　　　　.  16.如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为　　　　.  三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(7分)如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOD=30°,半径为1 cm的☉P的圆心在直线AB上,且位于点O左侧6 cm处.如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么多少秒后☉P与直线CD相切? 18.(8分)如图,正六边形ABCDEF的边长为4,求对角线AC的长和正六边形的面积. 19.(8分)(2026宿迁月考)如图,△ABC内接于☉O. (1)若∠C=45°,☉O的半径是2 cm,求AB的长. (2)过点A作☉O的切线DE,求证:∠BAE=∠C. 20.(8分)如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为边AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,则以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?请说明理由. 21.(9分)如图,在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3). (1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系. (2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系. 22.(9分)在Rt△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F. (1)图1中三组相等的线段分别是CE=CF,AF=　　　　,BD=　　　　;若AC=3,BC=4,则☉O的半径长为　　　　.  (2)如图2,延长AC到点M,使AM=AB,过点M作MN⊥AB于点N.求证:MN是☉O的切线. 　　 图1　　　　　图2 23.(11分)如图,AB是☉O的直径,△ABC内接于☉O,点I为△ABC的内心,连接CI并延长交☉O于点D,E是上任意一点,连接AD,BD,BE,CE. (1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数. (2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明. (3)若CI=4,DI=13,求△ABC的周长. 24.(12分)(2025扬州中考)材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银”,莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质. 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图1所示,接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气—液界线的切线与固—液界线的夹角,图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明) (2)材料的疏水性随着接触角的变大而　　　　.(选填“变强”“不变”或“变弱”)  【实践探索】 实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC 的度数,进而求出接触角∠CAD 的度数(如图3). (3)请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示),并说明理由. 【创新思考】 (4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外,还可以用什么量来描述,请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化. 　　　　 　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　图2　　　　　　图3 【详解答案】 1.B　2.A　3.D　4.B 5.B　解析:如图所示,该正六边形可以分割成6个全等的三角形,Ⅰ,Ⅱ部分分别相当于其中的1个三角形,Ⅲ部分相当于其中的4个三角形,故①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形是正确的;③SⅢ=2(SⅠ+SⅡ)是正确的;②Ⅲ中最大的内角是=120°,因此②是不正确的.综上所述,正确的有①③.故选B. 6.B　解析:如图,由题意得OA=2,OB=3,当点P为BO的延长线与☉O的交点时,点P到直线l的距离最大,此时,点P到直线l的最大距离是3+2=5.故选B. 7.C　解析:由切线长定理,得AL=AP,DP=DN,CN=CM,BM=BL.∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+DA=AL+BL+BM+CM+CN+DN+DP+AP=2AB+2CD=20.∴AB+CD=10.故选C. 8.D　解析:∵C(-4,0),F(4,0), ∴OC=OF=4,∴正六边形ABCDEF的边长为4,中心与原点O重合,AB∥x轴, ∴OA=AB=4,∴AP=PB=2, ∴OP===2. 将△OAP绕点O顺时针旋转90°后,OP在x轴的正半轴上,点A在第四象限,此时点A的坐标为(2,-2).故选D. 9.C　解析:如图,连接AD. ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°.∵∠BAE+∠BCD=236°,∴∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°,∴∠EAD=56°,∵EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,∴EA=ED.∴∠EDA=∠EAD=56°,∴∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-56°-56°=68°.故选C. 10.B　解析:如图,连接OB,OC. ∵点O是△ABC的内心,∠A=84°,∴OB,OC是∠ABC,∠ACB的平分线.∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=132°.∵点O也是△DBC的外心,∴∠D=∠BOC=66°.故选B. 11.C　解析:连接OE,过点O作OH⊥B1C于点H,如图. ∵A1B1与☉O相切于点E,∴∠OEB1=∠OHB1=90°,∵矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1,∴∠B1=∠B1CD1=90°,AB=CD=10,BC=B1C=AD=8,∴四边形OEB1H是矩形,∵OE=OD=OC=5,∴B1H=OE=5,∴CH=B1C-B1H=3,∴CF=2CH=6.故选C. 12.D　解析:如图1,设☉O的半径为r,圆形工件与工作台相切于点M,连接DC,OD,连接OM交DC于点P,则OM⊥AB.∵DC∥AB,∴OM⊥DC,∴PD=PC=CD=AB=b.∵PM=BC=a,∴OP=OM-PM=r-a.∵OD2=OP2+PD2,∴r2=(r-a)2+2.∴r=.∴甲可行.如图2,设☉O的半径为R,圆形工件与工作台相切于点H,连接OH交CD于点K,连接OC,OD,则OH⊥AB.∵CD∥AB,∴OH⊥CD.∵OC=R+n,OD=R+n,∴OC=OD.∴KC=KD=m.∵KH=CA=DB=n,∴OK=OH-KH=R-n.∵OC2=OK2+CK2,∴(R+n)2=(R-n)2+2.∴R=.∴乙可行.∴甲、乙两种方案都可行.故选D. 　　 图1　　　　　　图2 13.35° 14.75°　解析:连接DF,如图. ∵∠CPF是△DPF的外角,∴∠CPF=∠PDF+∠PFD.∵∠ADF是弦AF所对的圆周角,∴∠ADF=120°,∴∠PDF= ∠ADF-∠ADC=120°-90°=30°,∵∠PFD是弦AD所对的圆周角,∴∠PFD=45°,∴∠CPF=∠PDF+∠PFD=30°+45°=75°. 15.174°　解析:连接CI,如图所示. ∵在△ABC中,∠B=44°,∠ACB=56°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°. ∵点I为△ABC的内心,∴∠CAI=∠BAC=40°,∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°,∴∠AIC=180°-∠CAI-∠ACI=112°,又ID⊥BC,∴∠CID=90°-∠DCI=62°,∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°. 16.2　解析:如图,连接MP,MQ.设直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A,B.∵PQ是☉M的切线,∴MQ⊥PQ,∴PQ==,∴当PM的值最小时,PQ的值最小,∴当PM⊥AB时,PM的值最小,此时PQ的值最小.易知A(-4,0),B(0,4),∴OA=OB=4,∴∠BAO=45°,AM=8.当PM⊥AB时,△APM是等腰直角三角形,PM===4,∴PQ的最小值为=2. 17.解:当☉P在直线CD左侧时,过点P1作P1E⊥CD交CD于点E,如图1, 图1 则P1E=1 cm. ∵∠AOD=30°, ∴P1O=2 cm,PP1=OP-OP1=6-2=4(cm),则☉P向右移动了4 cm,所用时间为=4(s). 当☉P在直线CD右侧时,过点P2作P2F⊥CD交CD于点F,如图2, 图2 则P2F=1 cm. ∵∠COB=∠AOD=30°, ∴P2O=2 cm,PP2=OP+OP2=6+2=8(cm),则☉P向右移动了8 cm,所用时间为=8(s). 综上,4 s或8 s后☉P与直线CD相切. 18.解:∵AB=BC=CD=4,∠B=∠BCD==120°, ∴∠ACB=∠BAC=×(180°-120°)=30°, ∴∠ACD=120°-30°=90°. ∵∠CDA=∠EDA=60°, ∴∠CAD=30°, ∴AD=2CD=8, ∴AC==4. 如图,设正六边形ABCDEF的中心为O, 连接OC,过点O作OG⊥CD于点G. ∵OC=OD, ∴△OCD是等边三角形, ∴OC=OD=CD=4,∠COD=60°, ∴∠COG=∠COD=30°,CG=CD=2,由勾股定理得OG===2, ∴正六边形的面积=6S△OCD=6×CD·OG=6××4×2=24. 19.解:(1)如图,连接OA,OB,则OA=OB=2 cm, ∵∠C=45°, ∴∠AOB=2∠C=90°, ∴AB==2 cm, ∴AB的长为2 cm. (2)证明:∵DE为☉O的切线, ∴∠OAE=90°,∴∠OAB+∠BAE=90°, ∵∠AOB=2∠C,OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA==90°-∠C, ∴∠BAE=90°-∠OAB=90°-(90°-∠C)=∠C, ∴∠BAE=∠C. 20.解:以AB为直径的圆与边CD相切. 理由:如图,过点E作EF⊥CD于点F. ∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD, ∴∠ADE=∠FDE,∠ECB=∠ECF, 在△ADE和△FDE中, ∴△ADE≌△FDE(AAS). 同理可得△EFC≌△EBC, ∴EA=EF=EB, ∴以AB为直径的圆的圆心为点E. ∵EF=EA=EB=AB, ∴以AB为直径的圆与边CD相切. 21.解:(1)如图所示,☉P即为所求. 点D在☉P上. (2)连接PE,PD,如图. ∵直线l过点D(-2,-2),E (0,-3), ∴PE2=10,PD2=5,DE2=5, ∴PE2=PD2+DE2. ∴△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°. ∴PD⊥DE. ∵点D在☉P上, ∴直线l与☉P相切. 22.解:(1)AD　BE　1 解析:如图1,连接OE,OF. 图1 由切线长定理可知AF=AD,BD=BE. ∵∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F, ∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°,OE=OF. ∴四边形OECF是正方形. 设OE=OF=CF=CE=x,则BE=BC-CE=4-x=BD,AF=AC-CF=3-x=AD. ∵AB===5,∴BD+AD=4-x+3-x=5.解得x=1.∴OE=1,即☉O的半径长为1. (2)证明:如图2,过点O作OH⊥MN于点H,连接OD,OE,OF. 图2 ∵∠ANM=∠ACB=90°,∠A=∠A,AM=AB,　 ∴△AMN≌△ABC(AAS). ∴AN=AC. ∵AD=AF, ∴AN-AD=AC-AF, 即DN=CF. 由(1)可知CF=OE,∴DN=OE. ∵∠ANM=∠ODN=∠OHN=90°, ∴四边形OHND是矩形.∴OH=DN. ∴OH=OE,即OH是☉O的半径. ∵OH⊥MN,∴MN是☉O的切线. 23.解:(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵∠ABC=25°, ∴∠CAB=90°-25°=65°. ∵四边形ABEC是☉O的内接四边形, ∴∠CEB+∠CAB=180°, ∴∠CEB=180°-∠CAB=115°. (2)DI=AD=BD,证明如下: 如图1,连接AI. 图1 ∵点I为△ABC的内心, ∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=∠BCI=∠ACB=45°, ∴=, ∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD. ∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI, ∴∠DAI=∠DIA, ∴DI=AD=BD. (3)如图2,过点I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P. 图2 ∵点I为△ABC的内心,即为△ABC的内切圆的圆心, ∴Q,F,P分别为该内切圆与△ABC三边的切点, ∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP. ∵CI=4,∠IFC=90°,∠ACI=45°, ∴CF=CP=4. ∵DI=AD=BD,DI=13,∠ADB=90°, ∴AB==26, ∴△ABC的周长为AB+AC+BC =AB+AF+CF+CP+BP =AB+AQ+BQ+2CF =2AB+2CF =2×26+2×4 =60. 24.解:(1)如图,①在圆弧上取一点C,设固、液、气三相接触点为M,N,连接MC,NC; ②分别作MC,NC的垂直平分线,交于点O,则点O为圆弧所在圆的圆心; ③连接OM并延长,过点M作PM⊥OM,则PM为☉O的切线,故∠PMN即为所求. (2)变强 (3)∠CAD=2∠BAC,理由如下: 如图,连接OA,则OA=OB, ∴∠ABC=∠OAB. ∵AD为☉O的切线,∴OA⊥AD, ∴∠OAB+∠BAD=90°. ∵BC⊥AC,∴∠ABC+∠BAC=90°, ∵∠ABC=∠OAB,∴∠BAD=∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC. (4)∵水滴弧的长度为l=, ∴=n, ∴可以根据的大小进行判断,越大,水滴越趋近于球形,疏水性越强.(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $