1.1 集合的概念 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念核心素养，通过基础辨析、能力应用、创新探究三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|元素特征、常用数集、表示方法|单选题1-8题考查概念辨析，如第8题集合确定性判断，培养抽象能力| |能力应用|元素关系、集合相等、参数求解|填空题11-14题结合方程与集合互异性，如14题集合相等求参数，发展运算能力| |综合探究|集合创新定义、逻辑推理|解答题20题“好集”“坏集”论证，融合推理意识与创新意识，提升数学思维|

1.1 集合的概念 同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【集合的有关概念】 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 【集合的表示方法】 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 一、单选题 1．下列关系中正确的个数是( ) ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．集合的另一种表示法是( ) A． B． C． D． 3．设集合，则下列集合中与集合相等的是( ) A． B． C． D． 4．集合 ，则( ) A． B．0 C．1 D．2 5．已知集合，且，则实数为( ) A．2 B．3 C．0或3 D． 6．已知关于x的不等式的解集为A，若且，则( ) A． B． C． D． 7．集合，则下列表示正确的是( ) A． B． C． D． 8．下列说法正确的是( ) A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 9．关于方程的解集T说法正确的是( ) A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 10．已知集合，若中只有一个元素，则的值是( ) A． B．0或 C．1 D．0或1 二、填空题 11．已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为______． 12．若集合，则的元素个数为_________________. 13．已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的_________． 14．已知,若集合，则的值为_________. 15．集合任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为________． 三、解答题 16．选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 17．若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 18．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 19．已知集合． (1)若，则是否存在，使成立？ (2)对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 20．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《1.1 集合的概念 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B B C B B C B 1．C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 2．B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 3．C 【分析】根据集合相等的定义判断选项. 【详解】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是. 故选：C 4．B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合 ， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 5．B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 6．C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 7．B 【分析】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】， 所以，， 故A，C，D错误，B正确. 故选：B． 8．B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 9．C 【分析】分类讨论的值，即可得方程组解的情况. 【详解】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 10．B 【分析】集合只含有一个元素，说明方程只有一个解.时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式，所以解出即可，这样的值就都求出来了. 【详解】集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解； （1）当时，方程化为，只有一个解； （2）当时，若只有一个解，只需，即； 综上所述，可知的值为或. 故选：B 【点睛】本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题. 11．/ 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值． 【详解】由题意，，所以，解得： 故答案为：． 12．4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【详解】由题意得，所以的元素个数为4. 故答案为：4. 13．1（答案不唯一） 【分析】根据集合中元素的互异性得出且，即可写出一个满足的条件的. 【详解】解：由集合中元素的互异性可知：， 解得且， 故时，，满足题意. 故答案为： 1（答案不唯一） 14． 【分析】利用集合的互异性、无序性，集合相等的含义解决即可. 【详解】 易知,因此. 因此有. 由集合的互异性可知，故 得 因此，. 故答案为：. 15．7 【分析】假设且集合有4个正项，结合已知条件得到矛盾，即可确定集合中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定的最大值. 【详解】不妨假设若集合中的正数个数大于等于，故为正项， 则和均大于于是有从而矛盾！ 所以集合中至多有3个正数，同理集合中最多有个负数，取满足题意， 所以的最大值为． 故答案为：7 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可． 【详解】（1）利用列举法表示集合； （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合． 17．或 【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可. 【详解】因为集合中至多有一个元素， 当时，，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：k的取值范围或. 18．(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 19．(1)存在 (2)不一定存在，证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征即可求解， （2）根据集合中元素的特征，结合集合的运算即可求解. 【详解】（1）设， 令，，则. 故若，则存在，使成立． （2）不一定存在，使，证明如下： 设，则， 当时，，此时存在，使； 当时，，此时不存在，使成立． 故对于任意，不一定存在，使. 20．(1) ，当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. (2)且 (3) 假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可. （2）根据“超级好集”的定义进行解答即可. （3）根据“坏集”的定义进行证明即可. 【详解】（1）略 （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）略 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $