2.2 有理数的加法与减法 讲义 -2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、加法运算律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加法）及加减混合运算，构建从基础运算到规律应用再到实际问题解决的递进学习支架。 该资料通过9类题型系统归纳，结合气温变化、续航里程等生活实例培养数学眼光，以拆项法等提升运算能力与推理意识，例题与变式练习结合，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

2.2 有理数的加法与减法（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 题型 1·有理数加法运算 2 题型 2·有理数加法中的符号问题 3 题型 3·有理数加法在生活中的应用 3 题型 4·有理数加法运算律 4 题型 5·有理数的减法运算 5 题型 6·有理数减法的实际应用 7 题型 7··有理数的加减混合运算 8 题型 8·有理数加减中的简便运算 10 题型 9·有理数加减混合运算的应用 12 知识点1 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点2 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 题型 1·有理数加法运算 【例1】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5) ； (6)； (7)； (8)． 【变式1-1】计算 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)； (6)． 【变式1-3】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型 2·有理数加法中的符号问题 【例2】把写成省略加号和括号的形式为________． 【变式2-1】将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【变式2-2】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 3·有理数加法在生活中的应用 【例3】某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【变式3-2】嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他8元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（   ）． A． B． C． D． 【变式3-3】北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 题型 4·有理数加法运算律 【例4】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】计算∶ (1) ； (2) (3)； (4) 【变式4-2】阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【变式4-3】运用加法的运算律简单计算： （1） ． （2）． （3）． 知识点3 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 题型 5·有理数的减法运算 【例5】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)； (6)． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)； (6)． 【变式5-2】计算： (1)； (2)． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型 6·有理数减法的实际应用 【例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-1】按运算顺序直接计算： (1)； (2)． 【变式6-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式6-3】计算： (1) (2) 知识点4 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 题型 7··有理数的加减混合运算 【例7】先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【变式7-1】解答下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-2】阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【变式7-3】．计算下列各题： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型 8·有理数加减中的简便运算 【例8】小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 【变式8-1】某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【变式8-2】食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 【变式8-3】．某冷库一周内每天生鲜进、出库吨数如下表所示.（“＋”表示进库，“－”表示出库） 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 ＋18 －26 ＋30 －12 －27 ＋36 －20 (1)这一周内，与前一天相比，周______生鲜变化量最大，最大变化量为______吨； (2)通过计算说明，这一周冷库里的生鲜增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)如果进、出库的装卸费都是每吨20元，那么这一周共需付多少装卸费？ 题型 9·有理数加减混合运算的应用 【例9】在工厂和生产场所中，巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人从一条生产线上的点出发，共巡查了次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录（单位：米）如下：． (1)请你通过计算说明巡检机器人第次巡检结束的位置； (2)已知巡检机器人行驶速度为米/分钟，求第次巡检结束的时刻．（检查均无故障，不需停留维修） 【变式9-1】某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． (1)该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ (2)盈利（或亏损）了多少元 ？ 【变式9-2】小红家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，她将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)已知小红家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 随堂检测 【随堂检测】 1．笑笑在计算时，错误地将题抄写成了，要修正错误，需要将笑笑得到的结果（    ）． A．减0.09 B．加0.09 C．减0.92 D．加0.92 2．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 3．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 4．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高（     ）摄氏度． A． B． C． D． 6．填空： （1）温度比高________； （2）温度比低________； （3）海拔比高________； （4）从海拔到，下降了________． 7．计算：________． 8．如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为_____． 9．表示不超过x的最大整数，如，，则______． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．近期，某校校运会盛大开幕，火炬传递仪式在开幕式上顺利举行，全体师生以青春姿态致敬全运精神，本次仪式共安排12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为50米．现以50米为基准，火炬手实际里程超过50米的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．如下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 1 3 0 3 4 1 (1)第7棒火炬手的实际里程为___________米，第8棒火炬手的实际里程为___________米． (2)若第3棒火炬手的实际里程为55米，求第9棒火炬手的实际里程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 有理数的加法与减法（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 1·有理数加法运算】 3 【题型 2·有理数加法中的符号问题】 3 【题型 3·有理数加法在生活中的应用】 4 【题型 4·有理数加法运算律】 4 【题型 5·有理数的减法运算】 5 【题型 6·有理数减法的实际应用】 6 【题型 7··有理数的加减混合运算】 7 【题型 8·有理数加减中的简便运算】 8 【题型 9·有理数加减混合运算的应用】 9 【随堂检测】 11 知识点1 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点2 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 题型 1·有理数加法运算 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据有理数加法的交换律，结合律，有理数的加法法则解答即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． （7）解：原式 ． （8）解：原式 ． 【变式1-1】计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； （）利用加法运算律计算即可； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型 2·有理数加法中的符号问题 【例2】把写成省略加号和括号的形式为________． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再省略加号和括号即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了加减混合运算，熟练掌握省略加号和括号的形式是解题的关键． 【变式2-1】将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-2】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【变式2-3】为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则化简，再判断即可． 【详解】原式=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，即括号前是“+”，去掉后，括号内不变号，括号前是“－”，去掉后，括号内变号． 【题型 3·有理数加法在生活中的应用】 【例3】某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ：． 【变式3-1】电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】C 【分析】根据正负数的意义与相反数的概念，先根据题意得到消耗续航的计数，再计算得到最终结果． 【详解】解：∵充电后获得的续航记为公里， ∴消耗的续航里程记为公里， ∴变化后对应的数值为公里． 【变式3-2】嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他8元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 【变式3-3】北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可． 【详解】解：小丽的通话时间范围是北京时间； 小红的通话时间范围（莫斯科时间）换算为北京时间是至次日． 两人共同通话时间范围为北京时间， 选项中只有在此范围内， 故这个时刻可以是北京时间． 题型 4·有理数加法运算律 【例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3) (4)7 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟记运算法则是解答本题的关键． （1）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； （2）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； （3）同分母两数先相加，然后再进行运算； （4）能凑整的两数先相加，然后再进行运算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4-1】计算∶ (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)1； (4)． 【分析】本题考查有理数加法以及加法运算律，能够正确运用有理数加法运算律是解题的关键． （1）同号先相加，再计算； （2）同分母先相加，再计算； （3）同号先相加，凑整，再计算； （4）相反数相结合，再计算． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【变式4-2】阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）原式 ． （2） ． 【变式4-3】运用加法的运算律简单计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的运算法则是解题的关键, 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 知识点3 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 题型 5·有理数的减法运算 【例5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的减法，有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，解决本题的关键是先根据有理数的减法法则把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． (1)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (2)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (3)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (4)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (5)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (6)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)19 (2)1 (3) (4) (5) (6)35 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算． （1）去括号，把减法转化成加法计算即可． （2）去括号，把减法转化成加法计算即可． （3）直接进行运算即可． （4）直接进行运算即可． （5）直接进行运算即可． （6）去括号，把减法转化成加法计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式5-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的减法运算，熟记有理数的减法运算法则求解是解决问题的关键． （1）根据有理数减法运算求解即可得到答案； （2）根据有理数减法运算求解即可得到答案； （3）根据有理数减法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型 6·有理数减法的实际应用 【例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式6-1】按运算顺序直接计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【变式6-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式6-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点4 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 题型 7··有理数的加减混合运算 【例7】先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 【变式7-1】解答下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先计算绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）观察原式可知相邻两个数之和为1，共50组数，相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-2】阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，正确理解拆项法，把带分数拆成整数与分数两个部分是解题的关键． 根据拆项法的定义，先把带分数拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可． 【详解】解　原式 【变式7-3】．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)10 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算顺序，运算法则和运算律是解题的关键． （1）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （2）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （3）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （4）化简符号，运用加法交换律与结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型 8·有理数加减中的简便运算 【例8】小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 【答案】5250元 【分析】根据当天与前一天的价格涨跌情况分别求出每天的蔬菜单价，根据“总价＝单价×数量”求出每天的销售额，用5天的销售总额减去5天的摊位费和蔬菜的进货成本即是本周的盈利． 【详解】星期一的价格：（元） 星期二的价格：（元 星期三的价格：（元 星期四的价格：（元 星期五的价格： （元 本周赚的钱： （元 答：小明的爸爸在本周的买卖中共赚了5250元钱． 【变式8-1】某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 【变式8-2】食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 【答案】(1)180，90 (2)五，一 (3)660千克 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格即可解答； （3）对表格中所有数据求和再加200即可解答； 【详解】（1）解：根据表格可知，星期四运进大米180千克，运出大米90千克； （2）解：根据表格可知，星期五只运出大米，而没有运进大米；星期一运出的大米和运进的大米同样多． （3）解： 千克， 答：如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余660千克大米． 【变式8-3】．某冷库一周内每天生鲜进、出库吨数如下表所示.（“＋”表示进库，“－”表示出库） 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 ＋18 －26 ＋30 －12 －27 ＋36 －20 (1)这一周内，与前一天相比，周______生鲜变化量最大，最大变化量为______吨； (2)通过计算说明，这一周冷库里的生鲜增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)如果进、出库的装卸费都是每吨20元，那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)六 ，36 (2)这一周冷库里的生鲜减少了，变化了1吨 (3)这一周共需付3380元装卸费 【分析】（1）根据表格，可知星期六变化最大； （2）把进、出库数据相加即可； （3）计算总进、出库数，最后乘上装卸费即可． 本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． 【详解】（1）周一为，周二为，周三为，周四为，周五为，周六为，周日为的变化量，绝对值分别为， 所以周六生鲜变化大，最大变化量为36吨 故答案为：六; 36． （2）（吨）． 答：这一周冷库里的生鲜减少了，变化了1吨． （3）（元）． 答：这一周共需付3380元装卸费． 题型 9·有理数加减混合运算的应用 【例9】在工厂和生产场所中，巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人从一条生产线上的点出发，共巡查了次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录（单位：米）如下：． (1)请你通过计算说明巡检机器人第次巡检结束的位置； (2)已知巡检机器人行驶速度为米/分钟，求第次巡检结束的时刻．（检查均无故障，不需停留维修） 【答案】(1)巡检机器人第次巡检结束的位置在点左侧米处 (2)晚上 【分析】本题考查正负数意义、有理数加减运算、绝对值运算解应用题，熟记正负数意义、有理数加减运算、绝对值运算是解决问题的关键． （1）由题中巡检路程记录数据，结合规定向右为正，向左为负，由有理数加减运算计算即可得到答案； （2）由题意，计算机器人巡检总里程，再计算花费总时间，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，（米）， 规定向右为正，向左为负， 巡检机器人第次巡检结束的位置在点左侧米处； （2）解：由题意可得，（米）， 巡检机器人行驶速度为米/分钟， 则巡检时间为（分钟）（小时）， 第次巡检结束的时刻为晚上． 【变式9-1】某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． (1)该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ (2)盈利（或亏损）了多少元 ？ 【答案】(1) 盈利 (2) 盈利了37元 【分析】本题考查正数和负数，有理数四则运算的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． （1）所得的正负数相加，然后计算出总售价，再与进价相比较即可得到答案； （2）用总售价减去进价即可． 【详解】（1）解：∵， ∴总售价为：（元）， ∵， ∴该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利了； （2）解：由（1）可知总售价为397元，总进价为360元， ∴（元）， ∴盈利了37元． 【变式9-2】小红家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，她将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)已知小红家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)， (2)行车电脑会发出充电提示 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是理解题意，列出正确的算式． ()由题意可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； ()先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出20%电量对应的续航里程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知：第三天行驶了，第六天行驶了， 以为标准， 第三天处的数为：，第六天处记录的数为：， “■”处的数为，“●”处的数为， 故答案为：； （2）根据题意得，七天行驶路程为：， 剩余路程为：， ， ， 该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会发出充电提示． 随堂检测 【随堂检测】 1．笑笑在计算时，错误地将题抄写成了，要修正错误，需要将笑笑得到的结果（    ）． A．减0.09 B．加0.09 C．减0.92 D．加0.92 【答案】B 【分析】利用两个算式被减数相同的特点，通过减数的差值推导结果的修正量. 【详解】解：正确算式为，错误算式为. 正确结果与错误结果的差为. 所以错误结果比正确结果少，需将错误结果加修正. 2．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的减法法则计算即可得出结果． 【详解】解：所求数为． 3．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【答案】C 【详解】解：设海面高度为0，海面下记为负，上升记为正，下降记为负， 此时潜水艇的位置为米，即停在海面下630米处． 4．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据标注计算温度的最低值和最高值，即可得到合适温度范围． 【详解】解：表示保存温度的最低值为， 最高值为：， 最合适的温度范围是． 5．如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高（     ）摄氏度． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将“冰箱冷藏室温度减去冷冻室温度”列式，再按有理数减法法则计算即可． 【详解】解：由题意，得：． 6．填空： （1）温度比高________； （2）温度比低________； （3）海拔比高________； （4）从海拔到，下降了________． 【答案】 【详解】解：（1） ∴温度比高； （2）， ∴温度比低； （3）， ∴海拔比高； （4）， ∴从海拔到，下降了． 7．计算：________． 【答案】 / 【详解】解：． 8．如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值，即，即可求出线段的长度． 【详解】解：∵点、表示的数分别为、， ∴线段的长为． 9．表示不超过x的最大整数，如，，则______． 【答案】0 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴，， ∴． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）计算两个负数相加：和取负号，和的绝对值等于两个加数绝对值的和． （2）计算两个异号的数相加：和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）计算负数与零相加：一个数与相加，仍得这个数． （4）计算两个相反数相加：互为相反数的两个数相加得． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．近期，某校校运会盛大开幕，火炬传递仪式在开幕式上顺利举行，全体师生以青春姿态致敬全运精神，本次仪式共安排12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为50米．现以50米为基准，火炬手实际里程超过50米的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．如下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 1 3 0 3 4 1 (1)第7棒火炬手的实际里程为___________米，第8棒火炬手的实际里程为___________米． (2)若第3棒火炬手的实际里程为55米，求第9棒火炬手的实际里程． 【答案】(1)50，45 (2)32米 【分析】本题考查正数和负数，有理数的加减运算，需要理解正负号在特定数学环境中的意义． （1）实际里程为基准值与波动值的和，据此作答即可； （2）根据题意，先求出第3棒火炬手的里程波动值，再求出其余人的波动值的和，然后结合所有波动值的和应该为0，据此可求得第9棒火炬手的里程波动值，从而求出其实际里程． 【详解】（1）解：第7棒火炬手的实际里程为（米）， 第8棒火炬手的实际里程为（米）， 故答案为：50，45； （2）解：∵第3棒火炬手的实际里程为55米， ∴第3棒火炬手的里程波动值为5， ， ∴第9棒火炬手的里程波动值为， ∴第9棒火炬手的实际里程为（米）， 答：第9棒火炬手的实际里程32米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $