25.2降次—解一元二次方程 同步自主达标测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、技能应用到综合探究的三级分层设计，实现解一元二次方程知识从理解到迁移的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|配方法思想、根的定义、基本运算|以选择填空为主，如第1题考查转化思想，第9题构造方程，强化抽象能力与运算能力| |进阶层|根与系数关系、判别式应用|结合简单情境，如第5题三角形边长取舍，第12题两根关系计算，培养推理意识| |综合层|新定义问题、几何综合应用|融入跨知识探究，如第24题根对四边形（矩形、菱形），第25题韦达定理综合，发展模型意识与创新意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2降次—解一元二次方程》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．我们知道配方法是解一元二次方程的一种基本方法，例如，将一元二次方程化为的形式，然后两边同时开平方求解，这个过程体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想 2．已知是关于的一元二次方程的一个实数解，则该方程的另一个解为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 5．三角形的两边长分别为3和5，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D． 6．已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A．6 B．5 C．4 D．3 7．对于实数定义新运算：，则关于的方程的解，下列说法正确的是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 8．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 二、填空题（满分24分） 9．若一元二次方程的两根为：，，请写出一个符合这两个根的一元二次方程为：_____________． 10．若代数式的值与的值相等，则x的值为_____． 11．关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 12．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值_________． 13．当t满足_______________时，关于的一元二次方程有实数根． 14．已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 15．设关于x的方程的两根分别是、，则代数式的值为______． 16．若，则的值是___________． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 18．（6分）解下列方程： (1)； (2)． 19．（6分）关于x的方程有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解． 20．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 21．（6分）定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 22．（10分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 23．（10分）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 24．（10分）【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 25．（12分）根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查配方法体现的数学思想，需结合配方法的转化过程，对照各数学思想的内涵进行判断． 【详解】解：∵配方法解一元二次方程时，将原方程通过配方转化为的形式，即将不易直接求解的一元二次方程转化为可直接开平方求解的形式， ∴该过程体现的数学思想是转化思想， 故选：C． 2．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的解法以及根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握代入求值法和根与系数的关系公式是解题的关键． 方法一：将已知根代入方程，求出参数的值，再解一元二次方程得到另一个根． 方法二：利用一元二次方程根与系数的关系，直接根据两根之和求出另一个根． 【详解】方法一： ∵是方程的一个实数解， ∴将代入方程得， 即， ∴ 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∴方程的另一个解为； 方法二： 设方程的另一个解为， ∵在一元二次方程（）中，两根之和为， 在方程中，，， ∴， ∴， 即方程的另一个解为． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，关键是掌握配方法的核心步骤：对于形如的一元二次方程，需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再合并右边的常数项． 【详解】解：原方程为， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方为，得， 左边根据完全平方公式可化为，右边计算得， 即； 故选：D． 4．A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 5．D 【分析】先通过因式分解法求出方程的两个根，再依据“三角形任意两边之和大于第三边”的规则，筛选出能与已知两边构成三角形的第三边长度，最后计算三角形的周长． 【详解】解：方程，因式分解可得：， ∴或， 解得，． 当第三边的长为2时，，此情况无法构成三角形，舍去； 当第三边的长为4时，，，，均满足三角形三边关系，此情况可以构成三角形． 此时三角形的周长为． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 根据因式分解法解一元二次方程，然后利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 7．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，并把一元二次方程化为一般式，再利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 9． 【分析】先计算出1、的和、积，然后根据根与系数的关系即可得． 【详解】解：∵， ， ∴以3和为根的一元二次方程可为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，解题的关键是注意方程不唯一． 10．或6 【详解】解：∵代数式的值与的值相等， ∴， ， ， ， ∴． 故答案为：或6． 11． 8 【详解】解：一元二次方程 中， ， ，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，即， 解得，． 12． 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和，再联立已知等式求出两根，最后利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：对于一元二次方程，，，， 由根与系数的关系可得：， 联立方程组， 得， 解得， 将代入，得， 由根与系数的关系得， 因此． 13． 【分析】需先将方程化为一元二次方程的标准形式，计算判别式，再根据判别式非负求解答案即可． 【详解】解：， ， 由于一元二次方程有实数根， ． 故答案：． 14． 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 15．2027 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将原式变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ， ． 16． 【分析】构造一元二次方程，根据求解． 【详解】解：∵，，且， ∴，可看作一元二次方程的两个不相等实数根， 根据根与系数的关系可得： ，， ． 17．(1)； (2)小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 【分析】（1）利用根的判别式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是； （2）略 18．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 19． ，此时方程的解为 【分析】先利用一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式非负，据此求出k的取值范围，再结合k为正整数确定k的取值，最后代入原方程求解方程的根即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴根的判别式， 解得：， 又∵k为正整数， ∴， 将代入原方程，得， 整理得：， 解得：． 20．(1)； (2)0 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）根据方程的判别式可得关于k的不等式，解不等式即得答案； （2）由根与系数的关系得，然后把变形为代入计算即可． 【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即 ； （2） 当时，即 ， 解得（舍去） 的值为0． 21．(1)证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ， ∴，即， 把代入方程左边，得左边， ∴ 左边右边， ∴为“关联方程”的根； (2)或 【分析】由定义得，再把代入方程左边可得左边右边，即可求证； 由定义得，由是该“关联方程”的一个根得，进而得到，再解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于的“关联方程”， ∴， ∴， ∵是该方程的一个根， ∴， 整理得， 把代入，得， 因式分解，得， 解得或． 22．(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 23．(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 24．(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 25．(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，由方程的解的定义得到，，则可推出，，可推出，据此代入求值即可； （3）由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． $