黑龙江绥化市海伦市第一中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

**基本信息** 高三开学测试卷，覆盖集合、函数、数列等核心知识，解答题融合三角、导数及统计案例，通过新定义“性质P”问题和睡眠质量调查实践题，考查数学思维的逻辑性与数学语言的应用能力，适配开学诊断与知识衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数求值、三角恒等变换|基础概念辨析，如向量投影向量计算| |多选题|3/18|三角函数性质、基本不等式、抽象函数|多选项分层考查，如函数奇偶性与周期性判断| |填空题|3/15|基本不等式求最值、解三角形、三角函数极值|综合性问题，如锐角三角形边长范围求解| |解答题|5/77|解三角形、三角函数图像变换、导数应用、统计案例|新定义与实际应用结合，如独立性检验分析睡眠质量关联|

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 海伦市第一中学2026-2027学年度第一学期开学测试 高三数学 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.设函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.已知是等差数列的前项和，若，则(    ) A. B. C. D. 5.已知向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 6.已知，，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.已知，为锐角，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是(    ) A. B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 10.设正实数，满足，则(    ) A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11.已知函数的定义域为，若，，有，，，则(    ) A. B. C. 为偶函数 D. 为函数的一个周期 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，则的最小值为          ． 13.在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是           14.设函数在内有且只有两个极值点，且对任意实数、在上存在零点，则的取值范围为        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知中，内角，，的对边分别为，，，且． 求角的大小： 若，，求的面积． 16.本小题分已知函数． 求的最小正周期和对称轴方程； 求在上的值域； 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 17.本小题分在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． 求角； 求的面积的取值范围． 18.本小题分若函数对其定义域内任意，满足：当时，恒有，其中常数，则称函数具有性质． 函数具有性质，求． 设函数，， 判断函数是否具有性质，若有，求出，若没有，说明理由； 证明：． 19.本小题分某大学一兴趣小组为探究“是否定期锻炼”与“睡眠质量”之间的关系，随机选取了名同学做调查问卷，得到如下数据其中睡眠质量得分满分为分： 睡眠质量得分 是否定期锻炼 高于分 不高于分 合计 定期锻炼 不定期锻炼 合计 依据小概率值的独立性检验，能否认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于分”有关联？ 从睡眠质量得分高于分的人中随机抽取人，求这人中“定期锻炼”的人数的分布列． 附：，其中． 独立性检验中个常用的小概率值和相应的临界值表： 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】先求出集合，再利用集合的运算，即可求解． 【详解】由，即，解得，则， 由，得到，则， 所以， 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】根据，代入解析式中求值即可． 【详解】因，则， 则，故． 故选： 3.【答案】  【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系以及完全平方公式化简即可求解． 【详解】已知，两边平方可得， 即； 因为， 所以，解得． 则． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】由等差数列设出公差，根据等差数列的求和公式以及通项公式，建立方程组，解得首项与公差，结合通项公式，可得答案． 【详解】设公差为，由，，则，解得 所以． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】先利用向量垂直的性质得出向量的数量积为，从而得出的关系，再根据投影向量公式计算． 【详解】， ，解得， 向量在向量方向上的投影向量为：， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】根据条件，利用余弦的差角公式、倍角公式和同角三角函数间的关系，得到，再利用基本不等式，即可求解． 【详解】由，得到， 因为，，则，， 所以， 又，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】根据函数为奇函数求出的值，继而求出函数的零点的表达式，结合题意列出不等式，即可求得答案． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 故，解得， 故， 而 ，即满足，函数是定义在上的奇函数， 故； 令，解得， 又函数的零点在区间内， 故令，则，令，解得， 即实数的取值范围为， 故选： 8.【答案】  【解析】解：因为，，且、为锐角， 所以，，， 可得，结合，可知， 所以 ，可得． 故选：． 由、为锐角，根据同角三角函数的关系算出、以及，然后运用两角和的正弦公式算出，进而可得的值． 本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 9.【答案】  【解析】【分析】根据题意，函数的最小正周期为，可求得，可判断选项正确；进而可得函数的解析式，根据余弦函数的图像性质，逐项判断选项B、、即可． 【详解】根据题意，已知函数的最小正周期为， 根据周期公式，即，解得，又，所以，故A选项正确； 所以，其单调递增区间为， 解不等式得，故 B选项错误； 其对称中心的横坐标满足，解得， 所以其对称中心为，当时，为，故C选项正确； 由，解得对称轴为，当时，为，故D选项正确． 故选： 10.【答案】  【解析】解：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，A错误； 因为， 可得，当且仅当时等号成立，B正确； 由可得， 当且仅当，即，时等号成立，C正确； 设，则， 当取最大值时，即最大， 将代入得， 因为，，所以，， 所以，， 所以的最大值取不到，D错误． 故选：． 利用基本不等式判断，设，，则取最大值时，即最大，将代入结合的取值范围求的最大值判断． 本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：根据题意，， 取，得， 因为，所以，A正确； 取，得，所以，B错误； 取，，得，即， 所以为偶函数，C正确； 取，得， 所以，， 即为函数的一个周期，D正确． 故选：． 根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解． 本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性及赋值法的应用，属于基础题． 12.【答案】  【解析】【分析】利用基本不等式可得答案． 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当即时等号成立． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】利用正弦定理，诱导公式及和差化积公式得到，从而，求出，根据锐角三角形得到的范围，从而求出的范围． 【详解】由正弦定理得：， 由二倍角公式得：， ， 由和差化积公式可得：， 即， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以或舍去， 即， ， 由正弦定理可得：， 由题意得：，解得：， ，解得： 又 综上：， 所以， 则的取值范围是 故答案为： 【点睛】三角形中求解边长取值范围问题，通常找到边与某个角的关系，利用角的范围求解边的取值范围． 14.【答案】  【解析】解：由题意知，当时，， 因为函数，若在上有且只有两个极值点， 则，解得． 又对任意实数，在上存在零点，且的长度为， 而函数的最小正周期为，则，解得， 综上，的取值范围是 故答案为：． 根据余弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围． 本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是中档题． 15.【答案】【详解】由，根据正弦定理可得， 由，则， 可得， 由，即，则，即， 根据，解得． 根据余弦定理可得， 由，，，则，解得， 所以的面积．   【解析】【分析】根据正弦定理进行边化角，利用三角函数恒等式整理化简方程，可得答案． 根据余弦定理建立方程，结合三角形的面积公式，可得答案． 16.【答案】【详解】 ． 最小正周期． 令，解得， 所以的对称轴方程为； 时，故． 即在上的值域为． 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变， 得到函数，则 ， 令，因为，所以． 则不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立． 整理得，因为，所以， 则； 令，，对求导： ， 令，解得， 令，解得，即在内单调递增； 令，解得，即在内单调递减； 所以所以， 即实数的取值范围是．   【解析】【分析】先利用三角函数的两角和公式、二倍角公式等对进行化简，得到，再根据正弦函数的性质求最小正周期和对称轴方程． 在已知的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域． 根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用导数研究函数在给定区间上的单调性求的取值范围． 17.【答案】；  ．  【解析】因为，， 所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，所以， 所以； 由正弦定理有，所以，， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为． 利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； 由正弦定理得，，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，辅助角公式，三角形面积公式的应用，属于中档题． 18.【答案】解：定义域为， 对任意的，且， 有， 即， 故，，故； 不具有性质，理由如下： 的定义域为，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，故， 假设函数具有性质，即，所以， 因为，所以， 故对于任意的恒成立，显然不可能， 故不具有性质； (ⅱ)证明：因为，所以，， 下面证明， 即证， 令，则原不等式等价于， 令，， 则， 故在上单调递增， 故，， 所以，即，所以， 当时，， 当时，令 ， 令，， ， 故在上单调递增， 又，其中，故， 所以，故， ，其中，而在上单调递减， 故，， 综上，．  【解析】对任意的，且，由变形得到，得到，求出； 求导，得到的单调性，得到，假设具有性质，即，所以，根据，得到，显然不能恒成立，故假设不成立，不具有性质； (ⅱ)先得到，由对数平均不等式得到，分和两种情况进行求解，当时，，当时，构造差函数，进行求解，得到结论． 本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，考查了分析问题的能力，属于中档题． 19.【答案】认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于分”有关联；   【解析】零假设：“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于分”没有关联， 经计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于分”有关联，此推断犯错误的概率不大于； 从睡眠质量得分高于分的人中随机抽取人，记这人中“定期锻炼”的人数为， 依题意，的所有可能取值为，，， ， 的分布列为： 根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对得解； 求出的可能值，再求出各个值对应的概率列出分布列． 本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列，属于中档题． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $