黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

**基本信息** 2026-2027学年高三数学开学初试卷，通过函数性质、立体几何、概率统计等知识，检测开学初学习状况，问题设计兼具基础巩固与能力提升，适配高三起点复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数奇偶性单调性、不等式最值|基础概念辨析，如第2题结合奇偶性与单调性考查函数性质| |多选题|3/18|定义域、函数单调性、方程根问题|第11题通过分段函数方程根的讨论，体现数学思维的严谨性| |填空题|3/15|函数求值、图像应用、方程求解|第13题结合函数图像解不等式，培养几何直观| |解答题|5/77|三角函数、立体几何、导数应用、概率统计、圆锥曲线|18题以展销会抽奖为情境，用数学语言表达现实问题；19题圆锥曲线综合考查，符合高考命题趋势，发展运算能力与推理意识|

2026-2027学年度第一学期开学初考试试卷 高三数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 3．若正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．25 4．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则在上零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 8．已知函数的零点为、函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9．（多选）已知，，则下列不等式能使成立的有（     ） A． B． C． D． 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．是定义域上的减函数 C．的值域是 D．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 11．（多选）函数，关于x的方程，则下列选项正确的是（    ） A．函数的值域为 B．函数的单调减区间为 C．当时，则方程有6个不相等的实数根 D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．若函数，则________． 13．如图所示，为函数的图像，则不等式>0的解集为__________． 14．已知实数满足，，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域； 16．如图，四棱锥中，底面，，．    (1)若，证明：平面； (2)若，且，求二面角的正弦值． 17．已知函数 ． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 18．某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． (1)求的值； (2)若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； (3)若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 19．如图，椭圆：的左、右焦点分别为、，点和点是椭圆的左顶点和上顶点．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为右焦点，且，．    (1)求椭圆的方程； (2)直线过椭圆的右焦点，且与相交于、两点， ①若，求直线的方程； ②在轴上是否存在点，使得无论如何变化，被轴平分，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A C C C A ABD AD 题号 11 答案 ACD 1．B 2．B 【分析】根据函数性质判断各函数的单调性，结合奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】A：由知，在上递增，不符； B：由二次函数性质知，是偶函数，又在上单调递减，符合； C：由在上递增，在定义域上递增，故在上递增， 不符合； D：的定义域为，且，得函数是奇函数，不符. 3．C 【详解】由，可得，所以， 故 ， 当且仅当,即，也即时取等号， 联立，解得，时，等号成立． 故最小值为. 4．A 【分析】用奇偶性的定义法判断的奇偶性，再判断当时，，排除选项BCD，即可求解. 【详解】由题意知的定义域为， 由于， 故是奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项BD， 又当时，，故，故排除选项C，故A正确. 故选：A 5．C 【分析】令，求导，得到函数单调性，结合特殊点函数值和零点存在性定理可得答案. 【详解】令，，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，． ∴，． ∴在内有一个零点，在内有一个零点． ∴在内有两个零点． 6．C 【分析】由的部分图象可求得其解析式为，再根据平移规则可求得. 【详解】根据图象可知， 由，可得， 又，可得； 由可知，可得； 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度可得. 故选：C 7．C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 8．A 【分析】利用函数零点的定义及零点存在性定理，结合反函数的性质及不等式性质逐项判断即可. 【详解】由，得，，则，， 因此分别是直线与函数、的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中作出函数，的图象及直线，如图， 函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 直线也关于直线对称，则点关于直线对称， 即，则，CD错误； 函数在R上都是增函数，则函数在上是增函数， 又，，则， 因此，B错误，A正确. 9．ABD 【详解】因为为增函数，且，所以，故A正确； 因为为上的减函数， 所以由，得，故B正确； 因为为上的增函数，由，可得，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 10．AD 【分析】根据抽象函数的定义域求法判断A，举反例判断B，根据对数函数的性质判断C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：因为的定义域为，即，所以， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：的定义域为，又， 所以是定义域上一定不是减函数，故B错误； 对于C：令，解得或，所以的定义域为， 因为能取到所有的正数，所以的值域是，故C错误； 对于D：当时，， 则函数在区间上为增函数，故充分性成立， 若函数在区间上为增函数，则，故必要性不成立， 综上所述，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD. 11．ACD 【分析】先根据分式函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图象，进而直接判断A和B；通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，并结合图象即可判断C和D. 【详解】①当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和， 恒有. ②当时，，， 当在单调递增， 当在单调递减， 故， 且恒有. 综上①②可知，， 作出函数大致图象，如下图.    对于A，函数的值域为，故A正确； 对于B，函数的单调减区间为，故B错误； 对于C，当时，则方程可化为 即或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知， 由，有不相等的实数根，且均不为，也不为，      所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确； 对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根， 即方程与方程共有3个不相等的实数根. 又因为已有两个不等的实数根， 则方程有且仅有1个根，且不为. 所以与有且仅有1个公共点， 由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确. 故选：ACD.    【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对函数解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 12． 【分析】利用对数与指数运算结合分段函数的性质计算即可. 【详解】易知，所以. 13． 14． 【分析】所给的两个等式都无法直接求出和，故考虑同构，其中这个式子已经很简单了，所以将朝变形，即可构造函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令，则，代入可得， 设，则，所以和都是的零点， 又 ，所以在上单调递增，从而，故 ， 所以，因为，所以. 15．(1) (2) 【分析】（1）化简得，由，求单调递增区间； （2）由得，求出在上的值域，得解； 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在上的值域为. 16．(1)因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）先证，再由勾股定理得，从而，进而证明平面； （2）作，，确定为二面角的平面角，再利用直角三角形求出，由三角函数求其正弦值即可. 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，    因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，则，，， 而为等腰直角三角形，所以， 故，所以. 17．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可； （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，则令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若，则. 令， 则， 则在单调递减. 因为对任意的，恒成立， 所以， 即. 所以的最大值为. 18．(1) (2)分布列为： 0 1 2 3 (3) 【详解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以， 所以， 解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， 其中， ， ， ， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 另解：因为，所以． （3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”， 设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖． 则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率， 由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”， 则，， 所以 所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为. 19．(1) (2)①；②存在，点坐标为. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式求解；②假定存在并设出点的坐标，利用斜率和为0列式求解. 【详解】（1）依题意，点， 设椭圆的半焦距为，则， 由，得，则， 由，得∽， 因此，即，则， 由，得， 联立解得， 所以椭圆的方程是. （2）①由（1）知，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 设， ，， 又， 则 ， 整理得，解得， 所以直线的方程为. ②假设在轴上存在点，使得被轴平分， 则直线斜率互为相反数， 设，由①得， 则，即，而不恒为0， 因此，解得， 所以在轴上存在点，使得被轴平分，点坐标为.    答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $