精品解析：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2025-2026学年高三上学期开学测试数学试卷

2025—2026学年度高三开学测试 高三 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 5. 在下列函数中，值域为(0，+∞)的是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（ ） A. 0 B. 1013 C. 2026 D. 4052 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 10. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为1 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 11. 已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的周期 C. D. 在上单调递增 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知幂函数的图象经过点，则_________． 13. 若奇函数在上是增函数，且，则使得的取值范围是___________. 14. 若函数（表示不超过的最大整数），已知函数，则__． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知为R上的奇函数，当时， ， （1）求； （2）求的解析式． 16. 已知函数． （1）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （2）若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 17. 已知函数． （1）求与，(3)与； （2）求 ． 18. 一般地，我们把形如的函数称为飘带函数． （1）若，求方程的根； （2）判断的奇偶性，并给予证明； （3）若，是否存在实数，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 19. 给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数的不动点和稳定点； （2）已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高三开学测试 高三 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】不等式可解得，即， ∵任何集合和空集的交集都是空集，∴. 2. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，因此命题：，是真命题； 取，得，因此命题：，是假命题，是真命题， 所以和都是真命题. 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【详解】由，解得 故定义域为且. 故选：C． 5. 在下列函数中，值域为(0，+∞)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案 【详解】解：对于A，由于，所以此函数的值域为，不合题意； 对于B，由于，所以，所以，所以此函数的值域为，符合题意； 对于C，的值域为，不合题意； 对于D，由于，所以，所以此函数的值域为，不合题意， 故选：B 【点睛】此题考查求具体函数的值域，属于基础题 6. 若不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式恒成立问题，转化为小于在处的最小值即可. 【详解】由题意得，对恒成立， 且在的最小值为， 则. 故选：D. 7. 已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围. 【详解】对任意的实数，都有,即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故选：C 8. 已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（ ） A. 0 B. 1013 C. 2026 D. 4052 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知判断和的图象关于同一个对称中心对称，利用对称性及交点个数求即可. 【详解】已知，则的图象关于点对称， 由，且， 所以，故的图象关于点对称， 所以和的交点必然也是成对的，且关于对称， 若是它们的一个交点，则也必然是它们的交点， 所以横坐标之和为，已知交点有个，因此可以配成对， 每一对交点的横坐标之和为，所以所有交点横坐标的总和为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确， 故选：ABD 10. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为1 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】因为正实数m、n， 所以， 当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确； 由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确； 因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误； ，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的周期 C. D. 在上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象的平移可得的图象关于直线对称，判断A；利用赋值法可判断B；根据函数的周期可判断C；结合函数的单调性判断D. 【详解】因为的图象关于直线对称，的图象可由的图象向左平移2个单位得到， 故的图象关于直线对称，即函数为偶函数，A正确； 在中，令，可得 因为是偶函数，所以，则， 故，即，故的周期，B正确； 由于对任意的，，且，都有， 故在上单调递减，，故； 而，C错误； 由于在上单调递减，，故在上不可能单调递增，D错误， 故选：AB 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【解析】 【分析】先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：，，所以. . 13. 若奇函数在上是增函数，且，则使得的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由的奇偶性及在上的性质，得在上的性质，解出不等式. 【详解】因为在上是增函数，， 所以时，， 又因为是奇函数，所以在上也是增函数，， 所以时，，综上，的解集为. 故答案为：. 14. 若函数（表示不超过的最大整数），已知函数，则__． 【答案】1 【解析】 【分析】先分别求得的值，进而求得的值. 【详解】， 又， 故． 故答案为：1 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知为R上的奇函数，当时， ， （1）求； （2）求的解析式． 【答案】（1）-2；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据数为奇函数，则，根据解析式，求得的值，即可得答案； （2）当时，代入时的解析式，结合奇偶性，即可求得时的解析式，根据在x=0处有意义，可得，综上即可求得的解析式． 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以． （2）当时，，则． 由于是奇函数，则， 所以． 因为在x=0处有意义，所以． 综上的解析式为． 16. 已知函数． （1）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （2）若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴范围求解； （2）对实数a的取值范围进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合已知条件可得出实数a的等式，即可解得实数a的值. 【小问1详解】 因为图象的对称轴为． 又因为在上不单调，所以，解得． 即实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由于区间的中点为， ①当，即时，， 所以，即，满足题意； ②当，即时，， 所以，即，满足题意． 综上可知，或． 17. 已知函数． （1）求与，(3)与； （2）求 ． 【答案】（1） ，，， （2） 【解析】 【分析】（1）由解析式可得答案； （2）注意到当时，，据此可得答案. 【小问1详解】 因为， 则； 【小问2详解】 当时，，又， 则 . 18. 一般地，我们把形如的函数称为飘带函数． （1）若，求方程的根； （2）判断的奇偶性，并给予证明； （3）若，是否存在实数，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）和 （2）为奇函数． 证明：因为的定义域为， 且 ，所以是奇函数． （3）不存在. 假设存在实数，使得在上的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同． 当时，由得在单调递增， 于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解； 同理，当时，又因为是奇函数， 由对称性可知在单调递增， 于是，得， 解得，这与矛盾，故无解； 综上所述，不存在符合要求的实数． 【解析】 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据函数奇偶性的定义判断并证明； （3）根据函数的单调性和奇偶性分析即可. 【小问1详解】 当时， ， 因为，所以方程等价于：，解得或， 所以方程的根为和. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数的不动点和稳定点； （2）已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点和稳定点均为2和4. （2） （ⅰ）当时，有一个稳定点； 当时，有两个稳定点； 当时，有四个稳定点. （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据不动点、稳定点的定义列方程，解方程求得不动点和稳定点. （2）（ⅰ）根据稳定点的定义列方程，因式分解后对进行分类讨论，由此求得稳定点个数.（ⅱ）结合（ⅰ）的结论先确定的大致范围，以及两个稳定点，结合恒成立、函数的单调性、值域等知识确定的取值范围. 【小问1详解】 令，则，解得或， 令，则，整理得，解得或， 经检验知均满足条件，故函数的不动点和稳定点均为2和4. 【小问2详解】 （ⅰ），令，得， 即，得， 所以. ①当，即时，方程为， 解得，此时有一个稳定点； ②当时，的判别式. 若，即时，此时有两个稳定点； 若，即或； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 若，即或， 且， 此时有四个稳定点； 综上所述，当时，有一个稳定点； 当时，有两个稳定点； 当时，有四个稳定点. （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，有两个稳定点为和1. 因为，，故取，得， 解得，所以，，因为，解得， 由（ⅰ）知，故，此时，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时，的值域为， 即的值域为.由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $