第二章 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） ◆[命题角度4]利用对数函数的性质求参数 规律总结 5.已知函数f(x)=log(x2-a.x-a)对任意两个不 1 对数函数性质及应用中应注意的问题 相等的实数x1,x2∈ 2 },都满足不等式 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对 fx)一fx)0,则实数a的取值范围为 数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找 2一C1 解析：由于f(x)满足：对任意两个不相等的实数 中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再 x1x2∈-∞，- ,都满足不等式f,)-fx) 比较. 2 x2一T1 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性 >0,所以f(x)在区间一∞，一 1 2 上单调递增， 质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单 y=logx在(0，十∞)上递减： 调性转化为一般不等式求解. g(x)=x2-a.x一a的开口向上，对称轴为x= 2 (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复 合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面 2 所以 2a≥0 的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域 内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函 解得-1≤a≤2，所以a的取值范国是【-1,2] 数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而 答案：[1， 成的 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式 1.幂函数的图像与性质，提 2.结合幂函数)=y=y=y=y=x的图 升数学抽象和直观想象 幂函数，反函数，指数 的核心素养， 函数与对数函数的关系是 像，掌握它们的性质. 2.了解反函数的概念，达成高考的常考内容，高考一 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小. 数学抽象的核心素养. 般不单独命题，通常与其 4.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为3.利用指数、对数函数的图它知识相结合命题，属于 反函数，弄清它们图像之间的对称关系. 像与性质解决简单问题低中档题，考查函数与方 5.利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单 可提高直观想象，逻辑推程及数形结合的数学思想 问题 理的核心素养 夯实>必备知识 对应学生用书P42 教材夯实强基固本 必备知识 (3)常见的5种幂函数的性质 1.幂函数 函数 y=x y=x2 V=t3 y=xt y=I-I (1)幂函数的定义 定义域 中 及 R [0,+∞) {xx≠0} 一般地，形如y=x的函数称为幂函数，其中x是 值域 [0,+∞)》 R [0,+∞) {yy≠0} 自变量，a为常数。 奇偶性 奇 奇 非奇非偶 (2)常见的5种幂函数的图像 在(-∞，0 在（一∞， yy= 在R上 上单调递 在R上 在[0，十∞) 0)和(0， 单调性 单调 减，在[0 典 调 上单调 十∞)上单 递增 十∞)上单 递增 递增 调递诚 调递增 公共点 (1,1) 54· 第二章函数、导数及其应用 2.反函数的概念 (1)一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意 解析：C[由苯函数的定义知=1又f(侵) 一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y 的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数. 号所以（合）-号，解得a=从而k+a=是】 (2)一般地，函数y=f(x)的反函数记作y=f1(x). 2.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致 y=f(x)的定义域与y=f1(x)的值域相同，y f(x)的值域与y=f1(x)的定义域相同，y 对应是 f(x)与y=f1(x)的图像关于直线y=x对称. (3)如果y=f(x)是单调函数，那么它的反函数一定 存在.如果y=f(x)是增函数，则y=f1(x)也是 增函数；如果y=f(x)是减函数，则y=f1(x)也 是减函数， A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x 重要线论 B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x1 1.有关幂函数的几个结论 对于形如f(x)=x(其中m∈N+,n∈Z,m与n C.①y=x2,②y=x3,③y=x,④y=x1 互质)的幂函数： D.①y=x,②y=x÷,③y=x2,④y=x1 (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图像关于y轴 解析：B[图像①对应的幂函数的幂指数必然大于 对称； 1,排除A,D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必 (2)当m,n都为奇数时，f(x)为奇函数，图像关于原 点对称； 为正偶数，排除C.] (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶 3.若函数f(.x)是函数y=a(a>0,且a≠1)的反函 函数，图像只在第一象限（或第一象限及原点处） 数，且f(2)=1,则f(x)= ( ) 2.指数函数y=a(a>0且a≠1)与对数函数y logx(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于 A.logzx B是 C.logx D.22 直线y=x对称 解析：A[y=a的反函数f(x)=logx,则1= 自主诊断 1ogn2,所以a=2.所以f(x)-1og2x.] ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 4.已知y 4 的反函数为y=f(x),若f(xo) 打“”，错误的打“X”. (1)函数y=2x是幂函数， 2 ,则x0= (2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定 是原点 ) A.-2 B.-1 C.2 D (3)当n<0时，幂函数y=x”是定义域上的减 函数. ( 解析：C _y= ) 的反函数是f(x)=log1x,所 (4)函数y 的反函数是y=log:之·( (5)函数y=logx的反函数的值域为R, 以f(xo)=logx=- ( 所以。=( (6)函数y=e的图像与y=lgx的图像关于直线 =2.] y=x对称. ( ] 答案：(1)×(2)√(3)× (4)×(5)× 5.若幂函数y=(m2-3m十3)xm-m2的图像不经过 (6)X 原点，则实数m的值为 ◆[小题查验] 1.(2024·济南市诊断)已知幂函数f(x)=k·x的 -3m+3=1 解析：由 ,解得m=1或2. 图像过点（合写）则+。 ( 2-m-2≤0 经检验m=1或2都适合. A. B.1 c. 3 D.2 答案：1或2 ·55· 高考总复习人教数学B版（新教材） 跃升>关键能力 对应学生用书P44 层级突破素养提升 专点1)幂函数的图像与性质（基础点） 题后反思 1,幂函数的解析式：y=x(a∈R),其中只有参数 1.幂函数y=f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y α，因此只需一个条件即可确定其解析式. f(x)的图像是 2.幂函数的图像特征：①在(0,1)上，幂函数中指数 越大，函数图像越靠近x轴（简记为“指大图 低”)，在(1，十∞)上，幂函数中指数越大，函数图 像越远离x轴.②曲线在第一象限的凹凸性：α> 1时，曲线下凸；0<a<1时，曲线上凸；a<0时， 曲线下凸. 解析：C[令f(x)=x,则4=2，∴.a 2…f(.x) 3.幂函数的性质： (1)若a为偶数，则幂函数y-x(a∈R)是偶函数； =x.] 若a为奇数，则幂函数y=x(a∈R)是奇函数. 2.若a=(位)6-()c=(合) ,则a,b,c的大 反之，不成立.当α是分数时，一般将其先化为 根式，再判断奇偶性 小关系是 (2)若幂函数y=x“在(0，十o∞)上单调递增，则a A.a<b<c B.c<a<b >0;若在(0，十o∞)上单调递减，则a<0. C.b<c<a D.b<a<c 4.幂值大小的比较：结合幂值的特点，选择适当的 函数，借助其单调性进行比较 解析：D[因为y=x言在第一象限内是增函数，所 春点2 反函数的概念与性质 以a=(合)>6=（后），周为y=(合) 是减函 ◆[命题角度1门求反函数 所以a=(侵)<-() [典例1]写出下列函数的反函数： ,所以b<a<.] (1)y=1gx;(2)y=5.x+1;(3)y=(W2); 3.已知幂函数f(x)=(n+2n-2).x 3(n∈Z)的图 (4)y=x2(x≤0). 像关于y轴对称，且在(0，十∞)上是减函数，则n [解](1)y=1gx的底数为10，它的反函数为指 数函数y-10. 的值为 ( A.-3 B.1 （②)由y=5r十1，得x=号，所以反画数为y C.2 D.1或2 5GER). 解析：B[:幂函数f(x)=(n2+2n-2).x3m在 (3)y=(W2)的底数为√2，它的反函数为对数函数 (0,十∞)上是减函数， y=log(>0). /m+2m-2=1, (4)由y=x2,得x=土√. .n=1 n2-3n<0, 因为x≤0，所以x=一少.所以反函数为y=一√( (x≥0) 又n=1时，f(x)=x2的图像关于y轴对称，故n ◆[命题角度2]反函数的图像及性质 =1.] [典例2](1)如图，已知函数f(x)=31,则它的反 4.若(a十1)言<(3-2a)言，则实数a的取值范围是 函数y=f1(x)的大致图像是 解析：不等式(a十1)言<(3-2a)言等价于a十1> 3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a 解得a<-1或号<a<号 3 [解析]C[由f(x)=31可得f1(x)=logx十 1,.图像为C.] 答案：(-0，-1U(号，) (2)已知函数y=a+b(a>0且a≠1)的图像过点 (1,4),其反函数的图像过点(2,0)，求a,b的值 ·56 第二章函数、导数及其应用 [解]因为y=a十b的图像过点(1,4)，所以a十b 点3指数、对数函数图像与性质的应用 =4.① [典例门(1)设方程2十x-3=0的根为a,方程 又因为y=a”十b的反函数图像过点(2,0)， log2x十x-3=0的根为b,求a十b的值， 所以点(0,2)在原函数y=a十b的图像上.所以a [解]将方程整理得2= +b=2.② 联立①②得a=3,b=1. -x+3,log2x=-x十3. 规律总结 如图可知， a是指数函数y=2的图像 1.求反函数的一般步骤 (1)求值域：由函数y=f(x)求y的范围. 与直线y=-x十3交点A 0/123 的横坐标，b是对数函数y= (2)解出x:由y=f(x)解出x=f1(y).若求出的x log2x的图像与直线y=一x十3交点B的横坐标. 不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取 一个 由于函数y=2与y=1og2x互为反函数，所以它 们的图像关于直线y=x对称， (3)得反函数：将x,y互换得y=f1(x),注意定 由题意可得出A、B两点也关于直线y=x对称， 义域 2.互为反函数的函数图像关于直线y=x对称是 于是A、B两点的坐标为A(a,b),B(b,a).而A、B 反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数 都在直线y=一x十3上， 图像上任一成对的相应点也关于直线y=x对 所以b=一a十3(A点坐标代入)， 称，所以若点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，则 或a=-b十3(B,点坐标代入)，故a十b=3. 点(b,a)必在其反函数y=f1(x)的图像上. (2)已知函数f(x)=log2(1-2). ①求函数f(x)的定义域和值域； 跟踪训练 ②求证函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称 1.已知函数y=1og(3-x)(0≤x<3),则它的反函 [解]①要使函数f(x)=log2(1-2)有意义， 数是 ) 则1-2>0， A.y=3-3(x≥0) 即2r<1.故x<0,此时0<1-2r<1,f(x) B.y=3+3(x≤1) log2(1-2)<0, C.y=3+3(x≥0) 故函数f(x)的定义域为(-o∞，0)，值域为（一∞，0）. D.y=3-3(x≤1) ②证明：由y-f(x)=1og2(1-2)可得1-2=2'， 解析：D[0≤x<3,y≤1.又3-x=3,.x= 解得x=log2(1一2)，故原函数的反函数为y= 3-3.y=1og(3-x)的反函数为y=3-3,x ≤1.] f(x)=log2(1一2)，与原函数相同，所以函数f(x) 的图像关于直线y=x对称. 2.若函数y=f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x) f(4一x)的反函数的图像过点 规律总结 解析：y=f(x)的图像过点(0,1)， 形如a'十k.x=b(a>0且a≠0)或logx十k.x=b(a .f(4-x)的图像过点(4,1)，∴.g(x)=f(4x)的 >0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图像，把 反函数的图像过点(1,4). 求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标 答案：(1,4) 问题 第7节 函数的图像 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 高考对函数图像的考查多种多样，可以是 1.在实际情境中，会根据不同的需 要选择图像法、列表法、解析法 1.作函数的图像，达成直 由函数的解析式与函数的性质识图选图，可以 是由函数的图像研究函数的性质，还可以是数形 观想象素养， 表示函数 结合思想的运用等，其中给出函数解析式判断函数 2.会运用函数图像理解和研究函数 2.函数图像的识别，提升 直观想象素养。 的图像及利用函数图像求函数零点，求交点个数及 的性质，解决方程解的个数与不 求参数值（范围）是高考的热点，各种基本初等函数 等式的解的问题， 3.函数图像的应用，提升 直观想象和逻辑推理 的图像与性质的应用，图像变换等也是高考的热 3.会结合函数性质判断或选择函数 点.本部分内容在高考中多以选择题或填空题的形 的图像 素养 式出现，属于中档题，有时也在解答题中考查数形 结合的思想，属于中高档题，难度较大 57·