第10讲 对数运算及对数函数的图像与性质讲义-2027届高考数学一轮复习题型全归纳

该高中数学讲义聚焦对数运算及对数函数的图像与性质，覆盖指对互化、换底公式、定义域、单调性等14个高考核心题型，按“基础运算-图像性质-综合应用”逻辑架构知识体系，通过核心知识梳理、方法技巧指导、真题例题精讲及分层巩固练习，帮助学生系统构建知识网络，突破难点问题。 资料以“数学思维”与“数学语言”为导向，创新采用“题型归类+方法提炼”模式，如在对数型函数值域求解中，通过换元法将复杂问题转化为二次函数最值问题，培养学生运算能力与推理意识。课后检测涵盖选择、填空、解答题，配合即时反馈设计，确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰教学路径。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第10讲 对数运算及对数函数的图像与性质 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 指对互化及其运算 核心知识 1指对互化定义若（）则 2对数的基本性质 3对数运算律（） （） 方法技巧 互化优先看到指数式或对数式优先考虑互化统一形式 运算顺序先处理幂运算再进行加减运算 整体代换复杂对数式可设转化为指数式求解 【经典例题1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，，则（    ） A．4 B． C．8 D．16 【经典例题2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 【巩固练习1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________． 【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习3】（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2】 对数的换底公式 核心知识 1换底公式（） 2常用推论 方法技巧 底数统一当底数不同时优先换为相同底数（常用或） 推论速用遇到底数或真数带幂次直接用简化 倒数关系利用处理互为倒数的底数 【经典例题1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 【巩固练习2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，当时，则________________． 【巩固练习3】（25-26高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，请用表示． 【题型3】 对数运算的实际应用 【经典例题1】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 【经典例题2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为，为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为，特殊环境温度是，则经过分钟后，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）大气压强（单位：kPa）与海拔高度h（单位：m）之间的关系可由公式近似描述，其中为海平面标准大气压强，为常数．已知在某地区，海拔4000米处的大气压强为60kPa，海拔8000米处的大气压强为40kPa．若在该地区测得某地的大气压强为45kPa，则该地的海拔高度约为（   ）（参考数据：，） A．5400米 B．6100米 C．6800米 D．7500米 【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，室温不变的情况下，如果咖啡降温到大约需要10min，那么继续降温到大约再需要（    ） （参考数据：） A．14min B．15min C．16min D．17min 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型4】 对数函数的定义 核心知识 1对数函数标准形式（） 2判定条件底数且真数为自变量系数为1 3常见非对数函数 方法技巧 三步判定一看底数范围二看真数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分对数函数与对数型复合函数对数函数的真数必须是 【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式___________． 【经典例题2】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）已知定义在上的函数满足：，且，试写出一个满足条件的的解析式__________. 【巩固练习1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【巩固练习2】（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【题型5】 对数函数的定义域 核心知识 1标准对数函数（）定义域为 2复合型对数函数定义域限制真数大于0底数大于0且不等于1分母不为0等 3典型限制形式要求要求 方法技巧 分层分析先列全所有限制条件再分别求解不等式最后取交集 易错点底数为参数时需同时满足底数底数真数 复合函数若对数函数为外层需先保证内层函数的值域在内 【经典例题1】（25-26高二下·北京延庆·期中）函数的定义域为___________ 【经典例题2】（25-26高二下·北京海淀·期中）函数的定义域为__________. 【巩固练习1】（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 【巩固练习2】（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，则（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【巩固练习3】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知函数，若当的定义域为时实数a的取值范围为集合A，当的值域为时实数a的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6】 对数型函数的奇偶性 核心知识 1奇偶性定义定义域关于原点对称且为偶函数为奇函数 2对数型奇偶函数常见形式 奇函数典型形式 偶函数典型形式 3关键性质奇函数在处有定义时偶函数满足 方法技巧 判定步骤 1先求定义域验证是否关于原点对称不对称则直接非奇非偶 2计算利用对数运算律化简 3对比与的关系得出奇偶性结论 化简技巧 利用处理分式形式的真数 利用转化符号 对利用有理化证明奇偶性 特殊结论 （）是奇函数 是奇函数 是偶函数 【经典例题1】（25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数是奇函数，则的值可能为（   ） A． B． C．2 D．6 【经典例题2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则__________． 【巩固练习1】（24-25高三上·云南·阶段检测）若函数为偶函数，则______. 【巩固练习2】（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则______． 【巩固练习3】（25-26高三上·浙江温州·期末）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【题型7】 对数函数的图像及其变换 核心知识 1标准对数函数图像特征 图像过单调递增上凸过 图像过单调递减下凸过 2图像变换规律 平移变换左加右减上加下减 对称变换与关于轴对称与关于轴对称 伸缩变换水平伸缩垂直伸缩 方法技巧 定点追踪对数函数恒过定点可通过追踪定点判断变换结果 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 图像对比利用“底大图低”规律比较不同底数对数函数的图像高低 【经典例题1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【经典例题2】（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【巩固练习1】（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·期末）函数，且的图像，如图所示，则下列函数图像正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【巩固练习3】（25-26高一上·广东江门·期末）已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型8】 对数型函数的单调性 核心知识 1标准对数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减 2复合型对数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断 3典型复合形式外层为对数函数内层为定义域需满足 方法技巧 分层分析步骤 1先求函数定义域 2分析内层函数的单调区间 3结合外层对数函数的底数范围（或）利用同增异减判断整体单调性 易错点忽略定义域单调区间必须在定义域内 含参数讨论底数含参数时需分和两种情况讨论 【经典例题1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【巩固练习1】（25-26高二下·宁夏银川·期中）函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·河北张家口·二模）已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）已知实数，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型9】 对数型函数的值域与最值 核心知识 1标准对数函数（）值域为 2复合型对数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合对数函数单调性求值域 3常见最值形式换元后转化为二次函数求最值 方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 二次型对数函数设转化为结合的范围求最值 边界注意对数函数的值域需结合定义域和单调性判断端点处的取值 【经典例题1】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，正实数m，n满足，且，若，则在区间上的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【巩固练习2】（24-25高三下·重庆荣昌·开学考试）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 【题型10】 换元法求对数型函数的值域 核心知识 1适用场景形如等复合对数函数 2换元原则令或将对数函数转化为熟悉的二次函数或一次函数 3关键步骤确定换元后新元的取值范围再求外层函数的值域 方法技巧 换元法步骤 1观察函数结构确定合适的换元对象 2求出的取值范围（由对数函数定义域和单调性决定） 3分析外层函数的单调性或最值结合的范围求值域 易错点换元后必须标注的取值范围避免扩大或缩小值域 常见形式处理 二次型对数函数用配方法或顶点式求最值 分式型对数函数分离常数或利用反比例函数性质 【经典例题1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____. 【经典例题2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是______． 【巩固练习1】（2023·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为__________. 【巩固练习2】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【题型11】 比较对数式的大小 核心知识 1同底不同真数利用对数函数单调性比较 2同真数不同底利用换底公式转化为同底或利用图像判断 3不同底不同真数引入中间量（如0 1）比较 4常用中间量0（对应真数为1）1（对应真数为底数） 方法技巧 分类比较法 1同底：底数时真数大的对数大；时真数大的对数小 2同真数：真数大于1时底数大的对数小；真数在时底数大的对数大 3不同底不同真数：先判断与0 1的大小关系再排序 作差/作商法利用对数运算律化简再判断符号 图像法在同一坐标系中画出对数函数图像直观比较函数值大小 【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，，，则，b，c的大小关系为______. 【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）若，则的大小关系为________. 【巩固练习1】（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型12】 对数函数图像的复杂计算 【经典例题1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知两条水平直线和与函数的图形从左到右相交于两点；与函数的图形从左到右相交于两点.记和在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为__________. 【经典例题2】（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.    【巩固练习1】（24-25高一上·广西南宁·期末）如图，平行于轴的直线分别与函数及的图像交于点和，点为函数图像上一点．若为正三角形，则__________． 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）若直线与函数且的图象分别交于三点，若的横坐标分别为，且，则__________.    【巩固练习3】（23-24高一上·山东日照·期末）如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为．若四边形是平行四边形，且周长为16，则实数的值为______． 【题型13】 对数函数函数的图像与性质综合题型 【经典例题1】（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 【经典例题2】（25-26高一上·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数. (1)若的定义域为，求实数的取值范围. (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围. (3)设函数.若，使得成立，求实数的取值范围. 【巩固练习2】（25-26高一上·广东汕头·期末）已知定义在上的函数为奇函数． (1)求a的值； (2)用定义证明：为增函数 (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知函数. (1)求函数的零点； (2)判断函数的奇偶性与单调性； (3)对，使得，求实数m的取值范围. 【题型14】 反函数及其应用 核心知识 1反函数定义若函数的定义域为值域为且对任意存在唯一使得则称为的反函数 2对数函数与指数函数互为反函数与互为反函数 3反函数的性质 定义域与值域互换 图像关于直线对称 方法技巧 求反函数步骤 1由解出关于的表达式 2交换和写出反函数 3标注反函数的定义域（原函数的值域） 利用反函数性质解题 利用图像对称性已知一个函数图像求另一个 【经典例题1】（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【经典例题2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，，若，则___________. 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）已知函数的零点为、函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·期末）已知，，分别是函数与的零点，若，则的取值范围为______． 【巩固练习3】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段检测）设，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2026·福建·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 5．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 二、多选题 8．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，其中，则（    ） A．可能有最大值 B．当时，若有定义，则其值域为 C．在定义域内的区间上一定单调递减 D．当时，一定存在最小值 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数，则正确的有（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在区间上是增函数 10．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 11．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）函数与的图象关于_____________对称；若函数是函数的反函数，则_________________. 13．（25-26高一下·河南信阳·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 14．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知正数，，均不等于1，且，，则________． 15．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）若，，则________． 16．（25-26高三下·北京·阶段检测）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则______． 17．（24-25高一下·上海·期中）已知函数有最小值，则实数的取值范围为________． 18．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）函数的单调递增区间是______． 19．（25-26高一下·上海闵行·期中）函数的单调增区间是_____． 四、解答题 20．（25-26高一上·云南文山·期末）文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地．某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案： （i）规定补贴金额（单位：万元）是销售额（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示； （ii）当销售额为2万元时，补贴金额为万元；当销售额为12万元时，补贴金额为万元． 现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式； (2)假设某果农2025年销售额为万元，则他应得多少补贴金？ （参考数据：，结果保留1位小数） 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第10讲 对数运算及对数函数的图像与性质 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 指对互化及其运算 核心知识 1指对互化定义若（）则 2对数的基本性质 3对数运算律（） （） 方法技巧 互化优先看到指数式或对数式优先考虑互化统一形式 运算顺序先处理幂运算再进行加减运算 整体代换复杂对数式可设转化为指数式求解 【经典例题1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，，则（    ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】C 【详解】由，得， 由，得，即， 所以． 【经典例题2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 【答案】1 【详解】由可得，又， 则. 【巩固练习1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________． 【答案】 【详解】由，得，所以，所以． 【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由，得，而， 则. 【巩固练习3】（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可. 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 【题型2】 对数的换底公式 核心知识 1换底公式（） 2常用推论 方法技巧 底数统一当底数不同时优先换为相同底数（常用或） 推论速用遇到底数或真数带幂次直接用简化 倒数关系利用处理互为倒数的底数 【经典例题1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断、的符号，进而得到，作商比较的大小即可得解． 【详解】， ， 又，所以，即， 综上，． 【经典例题2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断、的符号，进而得到，作商比较的大小即可得解． 【详解】， ， 又，所以，即， 综上，． 【巩固练习1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数，且，则________． 【答案】16 【详解】由换底公式可得 ，且，故。 设（），则原方程可化为：， 两边同乘以整理得 ， 解得或。 ∵ ，∴ 舍去，即， ∴ 【巩固练习2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，当时，则________________． 【答案】/ 【详解】当时，令，即， 由，或舍去， 即， ，或舍去， 所以，所以. 【巩固练习3】（25-26高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，请用表示． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）由对数运算性质直接计算即可得解； （2）先由指数式与对数式的互化得到，再由对数运算性质和换底公式即可计算得解. 【详解】（1）； （2） ， . 【题型3】 对数运算的实际应用 【经典例题1】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 【答案】B 【分析】设经过天后，剩余质量变为初始质量的，化简可得，利用换底公式得到最终结果. 【详解】由题意，， 设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的， 则有，所以， （天）， 故大约经过27天后，剩余质量变为初始质量的. 【经典例题2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为，为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为，特殊环境温度是，则经过分钟后，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，，， ，，即， 计算得. 【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）大气压强（单位：kPa）与海拔高度h（单位：m）之间的关系可由公式近似描述，其中为海平面标准大气压强，为常数．已知在某地区，海拔4000米处的大气压强为60kPa，海拔8000米处的大气压强为40kPa．若在该地区测得某地的大气压强为45kPa，则该地的海拔高度约为（   ）（参考数据：，） A．5400米 B．6100米 C．6800米 D．7500米 【答案】C 【分析】根据条件得到，，两式相比得到，又由和，得到，从而得到，即可求解. 【详解】根据题意，代入两组已知数据：对于海拔4000米处：①， 对于海拔8000米处：②， 将方程②除以方程①：，即③， 设气压为45kPa时的海拔为米，则有：④， 将方程④除以方程①：，即，即， 代入③式结果：， 对两边取常用对数：，， 代入参考数据，， 可得 ， ， ， ， 米． 故选：C. 【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，室温不变的情况下，如果咖啡降温到大约需要10min，那么继续降温到大约再需要（    ） （参考数据：） A．14min B．15min C．16min D．17min 【答案】A 【分析】由题意数据求得，设降温到大约再需要，则，利用指对互化及换底公式求解即可. 【详解】由题意，即，即，即， 设降温到大约再需要，则，即， 即，即， 所以. 故选：A 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过小时才能驾驶. 故选：C. 【题型4】 对数函数的定义 核心知识 1对数函数标准形式（） 2判定条件底数且真数为自变量系数为1 3常见非对数函数 方法技巧 三步判定一看底数范围二看真数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分对数函数与对数型复合函数对数函数的真数必须是 【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则知：， 则满足，且的一个函数解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 【经典例题2】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）已知定义在上的函数满足：，且，试写出一个满足条件的的解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则， ∴设函数， 又∵，即，则， ∴. 故答案为：（答案不唯一） 【巩固练习1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 【巩固练习2】（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】代入点的坐标求出的值，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 【题型5】 对数函数的定义域 核心知识 1标准对数函数（）定义域为 2复合型对数函数定义域限制真数大于0底数大于0且不等于1分母不为0等 3典型限制形式要求要求 方法技巧 分层分析先列全所有限制条件再分别求解不等式最后取交集 易错点底数为参数时需同时满足底数底数真数 复合函数若对数函数为外层需先保证内层函数的值域在内 【经典例题1】（25-26高二下·北京延庆·期中）函数的定义域为___________ 【答案】 【详解】令，即，得， 故函数的定义域为 【经典例题2】（25-26高二下·北京海淀·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式求解，结合对数函数求解定义域. 【详解】函数满足，即得，所以， 函数的定义域为. 【巩固练习1】（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 【答案】ACD 【详解】因为函数定义域为R， 所以对恒成立， 若，则对不恒成立，故不符合题意； 若，则，解得， 所以的取值范围为. 【巩固练习2】（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，则（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数的定义域为得；函数的定义域为得， 可知“”是“”的充分不必要条件． 【巩固练习3】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知函数，若当的定义域为时实数a的取值范围为集合A，当的值域为时实数a的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，以及二次函数的性质，列出不等式组，分别求得集合，以及，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，即在上恒成立， 则满足，解得，即； 由函数的值域为，则满足应取遍所有的正数， 即的值域包含， 当时，函数的值域为，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，集合，则，. 【题型6】 对数型函数的奇偶性 核心知识 1奇偶性定义定义域关于原点对称且为偶函数为奇函数 2对数型奇偶函数常见形式 奇函数典型形式 偶函数典型形式 3关键性质奇函数在处有定义时偶函数满足 方法技巧 判定步骤 1先求定义域验证是否关于原点对称不对称则直接非奇非偶 2计算利用对数运算律化简 3对比与的关系得出奇偶性结论 化简技巧 利用处理分式形式的真数 利用转化符号 对利用有理化证明奇偶性 特殊结论 （）是奇函数 是奇函数 是偶函数 【经典例题1】（25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数是奇函数，则的值可能为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【详解】因为函数是奇函数，所以，即， 所以，即， 化简整理得，解得或， 当时，的定义域为，故不是奇函数； 当时，，由，得或， 所以函数的定义域为， 又，故为奇函数，符合题意. 的值为. 【经典例题2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则__________． 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故，经检验符合题意. 所以. 故答案为：. 【巩固练习1】（24-25高三上·云南·阶段检测）若函数为偶函数，则______. 【答案】0 【分析】先由偶函数的性质求出参数，然后检验即可. 【详解】因为为偶函数，则，解得， 当时，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ，故此时为偶函数. 故答案为：0. 【巩固练习2】（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则______． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到，即可求出的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质，求出的值，即可得到结果. 【详解】因为是奇函数， 定义域关于原点对称， 由,可得， 所以且， 所以，解得， 所以函数的定义域为， 则，即，解得， 此时， 符合题意， 所以. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高三上·浙江温州·期末）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义计算即可. 【详解】要使有意义，则，即，解得或. 所以函数的定义域为，关于原点对称. . 因为，所以， 即，也即， 因为，所以. 故选：C. 【题型7】 对数函数的图像及其变换 核心知识 1标准对数函数图像特征 图像过单调递增上凸过 图像过单调递减下凸过 2图像变换规律 平移变换左加右减上加下减 对称变换与关于轴对称与关于轴对称 伸缩变换水平伸缩垂直伸缩 方法技巧 定点追踪对数函数恒过定点可通过追踪定点判断变换结果 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 图像对比利用“底大图低”规律比较不同底数对数函数的图像高低 【经典例题1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 【经典例题2】（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【答案】A 【分析】由函数所过的点和推知，根据对数函数的图象无限靠近轴，类比分析得到，从而列方程组得解. 【详解】由题知，，即， 又，则，解得， 由对数函数性质，无限接近， 则时，，即， 故，解得，则 【巩固练习1】（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·期末）函数，且的图像，如图所示，则下列函数图像正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由且的图像过点，求出，将代入ABCD选项，逐一判断即可. 【详解】且的图像过点， ，解得：. 对于A ，，，在上单调递减，故A错误； 对于B，，，定义域为，令，则， 是奇函数，且单调递增，故B正确； 对于C，，当时，，故C错误； 对于D，，，当时，，故D错误. 故选：B 【巩固练习3】（25-26高一上·广东江门·期末）已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数经过坐标原点求出，然后根据对数函数的图象与指数函数的图象判断即可. 【详解】因为函数且的图像经过坐标原点. 所以，得到. 所以且. 当时，函数的图象为选项A,B中的图象， 此时，因为， 所以，所以，由图可知A,B均错误； 当时，函数的图象为选项C,D中的图象， 此时，因为， 所以，因为，所以有可能大于1， 所以根据图象可知，D正确. 故选：D. 【题型8】 对数型函数的单调性 核心知识 1标准对数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减 2复合型对数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断 3典型复合形式外层为对数函数内层为定义域需满足 方法技巧 分层分析步骤 1先求函数定义域 2分析内层函数的单调区间 3结合外层对数函数的底数范围（或）利用同增异减判断整体单调性 易错点忽略定义域单调区间必须在定义域内 含参数讨论底数含参数时需分和两种情况讨论 【经典例题1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，根据复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 【经典例题2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解. 【详解】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增， 所以在上单调递增. 【巩固练习1】（25-26高二下·宁夏银川·期中）函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由内层函数为减函数推出对数底数，再结合真数在区间上恒正，得到，最终即可得到的取值范围. 【详解】根据题意，对于函数， 令，则， 又由且，则为减函数， 若函数在上是减函数， 必有，解可得， 即的取值范围为. 【巩固练习2】（2026·河北张家口·二模）已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数，二次函数与分段函数的单调性列式解不等式即可求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，解得 又在上单调递增，即 ； 函数在上单调递增，即，解得， 综上，的取值范围是. 【巩固练习3】（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）已知实数，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，换元，，利用复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，利用二次函数的单调性列出不等式求出答案. 【详解】， 令，则， 因为且在上单调递增，所以， 因为函数在区间上单调递减，且， 所以函数在区间上单调递减， 又函数为开口向下的抛物线，对称轴为， 因此， 所以. 【题型9】 对数型函数的值域与最值 核心知识 1标准对数函数（）值域为 2复合型对数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合对数函数单调性求值域 3常见最值形式换元后转化为二次函数求最值 方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 二次型对数函数设转化为结合的范围求最值 边界注意对数函数的值域需结合定义域和单调性判断端点处的取值 【经典例题1】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令 ，,要使函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值,结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】令 ，则, 令, 所以函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值, 由二次函数的图像与性质可得：， 解得：, 所以实数的取值范围是 故选：A 【经典例题2】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】D 【分析】根据函数的单调性分类讨论确定最大值和最小值，然后解方程得值. 【详解】化简得，，当时，，因此， 由二次函数性质可知在区间上单调递减. 当时，函数在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 所以，由题意可得，解得，符合； 当时，函数在定义域内单调递减，所以函数在区间上单调递增， 所以， 由题意可得，解得，符合. 综上，或. 故选：D. 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，正实数m，n满足，且，若，则在区间上的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由对数函数的性质，建立方程可得参数的等量关系，从而求得参数值，根据对数函数的单调性，可得答案. 【详解】根据题意作图如下：    由，可得，则， 由，解得，则区间即， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 因，，则函数在上的最大值为. 故选：A. 【巩固练习2】（24-25高三下·重庆荣昌·开学考试）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出当和当时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，单调递增，所以当时，有最小值， 当时，单调递减，所以，无最小值， 因为在存在最小值，所以， 令，因为和在上均单调递增， 所以在上均单调递增，又因为， 所以当时，，即成立， 所以的解集为. 故选：D. 【巩固练习3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，函数在上的值域包含，可知函数在上单调递增，结合题意可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】当时，，即函数在上的值域为， 由题意可知，函数在上的值域包含， 即函数在上单调递增，所以，， 且，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【题型10】 换元法求对数型函数的值域 核心知识 1适用场景形如等复合对数函数 2换元原则令或将对数函数转化为熟悉的二次函数或一次函数 3关键步骤确定换元后新元的取值范围再求外层函数的值域 方法技巧 换元法步骤 1观察函数结构确定合适的换元对象 2求出的取值范围（由对数函数定义域和单调性决定） 3分析外层函数的单调性或最值结合的范围求值域 易错点换元后必须标注的取值范围避免扩大或缩小值域 常见形式处理 二次型对数函数用配方法或顶点式求最值 分式型对数函数分离常数或利用反比例函数性质 【经典例题1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由的范围求得的范围，用换元法结合二次函数性质求得的最小值即可得的范围． 【详解】时，，设，则， ， ∴时， 所以， 故答案为：． 【经典例题2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是______． 【答案】/ 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】由，解得， ， 当时，取得最大值. 故答案为：. 【巩固练习1】（2023·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为__________. 【答案】8 【分析】由求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值. 【详解】 ， 由得，即的定义域为， 令，因为，所以， 所以在上为增函数， 所以时，. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出最值求解即可. （2）求解，，令求解即可. 【详解】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 由题意可得：， 此时区间为；当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2）， 令，因为，所以， 所以， 所以，， ，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0. 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简函数解析式，然后利用换元法，结合二次函数的性质计算值域即可. （2）先化简不等式，然后构造新函数，判断单调性，求得最大值，进而得到结果. 【详解】（1） 令，则在上的值域在上的值域 由于. 所以在上的值域为. （2）令，因为，所以，则 变为， 化简得，即成立. 因为在上单调递增，所以. 所以的取值范围为：. 【题型11】 比较对数式的大小 核心知识 1同底不同真数利用对数函数单调性比较 2同真数不同底利用换底公式转化为同底或利用图像判断 3不同底不同真数引入中间量（如0 1）比较 4常用中间量0（对应真数为1）1（对应真数为底数） 方法技巧 分类比较法 1同底：底数时真数大的对数大；时真数大的对数小 2同真数：真数大于1时底数大的对数小；真数在时底数大的对数大 3不同底不同真数：先判断与0 1的大小关系再排序 作差/作商法利用对数运算律化简再判断符号 图像法在同一坐标系中画出对数函数图像直观比较函数值大小 【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，，，则，b，c的大小关系为______. 【答案】或 【分析】利用对数函数单调性、指数函数值域性质，通过与中间值、1比较，确定三个数的大小顺序。 【详解】因为，，对数函数在上单调递增， 将与两边同时平方可得， ， ，故，因此，即， 因为，指数函数在上单调递增，，故 ，而 ，因此 ，即，所以 【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）若，则的大小关系为________. 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性可得答案. 【详解】因为为上的减函数，且. 则， 即. 由，可知. 所以. 故答案为：. 【巩固练习1】（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 【巩固练习2】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法，结合对数运算性质，基本不等式可比较两者大小， 再比较三者大小关系可得答案. 【详解】， 注意到，， 则，从而. 又注意到，从而. 【巩固练习3】（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的范围，再结合基本不等式与作商法得到，进而结合对数的运算性质得到，最后证明目标结论即可. 【详解】因为，， 所以，由基本不等式得， 当且仅当时取等，但本题无法取等，则， 结合对数的运算性质得， 结合对数的性质得， 即，得到，而， 又，综上所述，. 【题型12】 对数函数图像的复杂计算 【经典例题1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知两条水平直线和与函数的图形从左到右相交于两点；与函数的图形从左到右相交于两点.记和在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为__________. 【答案】 【分析】由题意设A，B，C，D各点的横坐标分别为依题意可求得为的值，，最后利用基本不等式可求最小值． 【详解】两条水平直线和与函数的图形从左到右相交于两点； 与函数的图形从左到右相交于两点. 根据题意得：由得，， 由得,， 所以，， 即， 因为，所以， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 【经典例题2】（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.    【答案】 【分析】根据已知得，且A在函数图象上，而B在函数图象上，将点坐标代入列方程求参数值. 【详解】由轴，易得，又是以AC为斜边的等腰直角三角形， 所以，，得， 显然A在函数图象上，而B在函数图象上， 则，得，解得 故答案为： 【巩固练习1】（24-25高一上·广西南宁·期末）如图，平行于轴的直线分别与函数及的图像交于点和，点为函数图像上一点．若为正三角形，则__________． 【答案】 【分析】利用给定条件结合对数函数性质求出点的坐标，代入对应函数里，整体求值即可. 【详解】因为平行于轴的直线分别与两个函数的图像交于点和， 所以设，故， 若为正三角形，如图，作， 则到的距离，故， 因为点为函数图像上一点，所以 因为在图像上， 所以，而， 即，， 故，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数，解题关键是合理利用给定条件表示出点的坐标，然后代入函数中进行整体求值，得到所要求的参数值即可． 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）若直线与函数且的图象分别交于三点，若的横坐标分别为，且，则__________.    【答案】 【分析】依题意将对数式化为指数式，再由代入计算可得结果. 【详解】根据题意可知， 因此可得，又可得， 又因为幂函数在上单调，可得， 又，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将对数式转化成指数式，再由指数运算法则计算解方程可得结论. 【巩固练习3】（23-24高一上·山东日照·期末）如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为．若四边形是平行四边形，且周长为16，则实数的值为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形以及平行关系，得到E和B点的坐标，再利用四边形周长，求出a即可. 【详解】设，，由题意，轴， 从而，而OABC是平行四边形，从而， 故，又E为AC中点，从而有， 而EBO三点共线，即，即 解得，即，所以，， 从而，， 从而四边形周长，故 故答案为：. 【题型13】 对数函数函数的图像与性质综合题型 【经典例题1】（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)由，结合函数单调性得到不等式，求出答案； (2)①变形得到，即与有两个不同的交点，根据单调性和图象，数形结合得到答案； ②由①得，，且满足，即，，计算出后可得结果. 【详解】（1），由，得，即 ，解得 的取值范围为. （2）①为的零点，且， 有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根 ，即，解得 设，则函数与的图象有两个不同的交点 函数在上的图象，如图所示： 当时，函数单调递减，且； 当时，函数单调递增，且； 当时，取到最小值，即 函数与的图象有两个不同的交点 ②由①可知为的零点，且，， 且 ，， ，， 又 ，， ，即 的取值范围为 【经典例题2】（25-26高一上·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当 时， 【分析】（1）将点的坐标代入函数，建立方程，进而求解参数即可. （2）结合题意构造不等式，再结合对数函数的单调性，分类讨论求出参数范围即可. （3）结合题意并以换元法化为二次函数，再讨论端点值求出最大值即可. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，所以，解得. （2）因为， 所以， 则，化简得，整理得， 当时，恒成立， 当时，可得，故实数的取值范围为. （3）当时，， 令，因为，所以， 则， 设，而，， 而开口向上，则讨论端点值即可， 当时，即，函数有最大值为6， 当时，即，函数有最大值为， 综上可得，当时，最大值为6， 当时，最大值为. 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数. (1)若的定义域为，求实数的取值范围. (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围. (3)设函数.若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用对数函数定义域结合二次函数恒成立计算求解参数； （2）应用对数复合函数单调性列式计算求解参数； （3）先应用指数函数单调性把恒成立及存在问题转化为最值问题，方法一：分类讨论对称轴求解参数范围；方法二：先参数分离，再应用函数单调性结合基本不等式计算求解最值得出参数范围. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 所以恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）当时，. 令，得或， 又，当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为. （3）因为，使得成立，所以. 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立. 方法一：设，其图象的对称轴为直线. 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解. 综上，得，即实数的取值范围为. 方法二：成立，等价于成立， 所以. 记，则在上单调递增，所以，所以. 成立，等价于成立， 所以. 记，则（当且仅当时取等号），所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为. 【巩固练习2】（25-26高一上·广东汕头·期末）已知定义在上的函数为奇函数． (1)求a的值； (2)用定义证明：为增函数 (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇偶性有求参数值，注意验证即可； （2）根据函数单调性的定义，应用作差法比较大小判断单调性； （3）利用指对数函数的性质及换元法确定的值域，再将问题化为值域的包含关系求参数范围. 【详解】（1）是奇函数， ，即，解得 经检验时函数为奇函数， ； （2），任取，，则， 由， ∴，故是增函数. （3）由（2）得在单调递增， 当时，，当时，， ∴在上的值域为， 又，， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【巩固练习3】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知函数. (1)求函数的零点； (2)判断函数的奇偶性与单调性； (3)对，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1)0 (2)奇函数，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据对数的定义域和对数运算的性质计算即可. （2）根据函数的奇偶性定义和对数复合函数的单调性判断即可. （3）将函数进行变形化简，根据二次函数的性质，分，，三种情况分别讨论计算即可. 【详解】（1）由题意得，所以函数的定义域为 由，得，解得， 所以函数的零点为0. （2）， 所以函数是奇函数，当时，， 易知在上单调递增，又在上单调递减， 结合复合函数单调性，可得在上单调递减. 又函数是奇函数，则在上单调递减； （3）由（2）易得，故函数的值域为，即， 设函数的值域为，由题意得. . 当，即时，函数在上递增，则，解得； 当，即时，， 令，得，无解： 当.即时，函数在上递减，则，解得； 综上，. 【题型14】 反函数及其应用 核心知识 1反函数定义若函数的定义域为值域为且对任意存在唯一使得则称为的反函数 2对数函数与指数函数互为反函数与互为反函数 3反函数的性质 定义域与值域互换 图像关于直线对称 方法技巧 求反函数步骤 1由解出关于的表达式 2交换和写出反函数 3标注反函数的定义域（原函数的值域） 利用反函数性质解题 利用图像对称性已知一个函数图像求另一个 【经典例题1】（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 【经典例题2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，，若，则___________. 【答案】 【分析】利用函数零点的意义，结合互为反函数的两个函数图象关系及反比例函数图象的对称性求解. 【详解】依题意，， 由，得是函数与的图象交点的横坐标，令交点坐标为， 是函数与的图象交点的横坐标，令交点坐标为， 而函数与互为反函数，则函数与的图象关于直线对称， 又函数的图象也关于直线对称，因此点与点关于直线对称， 则，所以. 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）已知函数的零点为、函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数零点的定义及零点存在性定理，结合反函数的性质及不等式性质逐项判断即可. 【详解】由，得，，则，， 因此分别是直线与函数、的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中作出函数，的图象及直线，如图， 函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 直线也关于直线对称，则点关于直线对称， 即，则，CD错误； 函数在R上都是增函数，则函数在上是增函数， 又，，则， 因此，B错误，A正确. 【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·期末）已知，，分别是函数与的零点，若，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意可知，分别是函数，与图象交点的横坐标，根据同底的指数函数与对数函数的关系及直线的特点可得两个交点关于直线对称，可得，根据的范围得到的范围即可求解. 【详解】因为是函数的零点， 所以是方程，即方程的根， 所以是函数与图象交点的横坐标， 同理是函数与图象交点的横坐标， 函数与函数的图象关于直线对称， 直线也关于直线对称， 因此两个交点关于直线对称， 所以， 又因为，由图象可知， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，得到函数的解析式，利用对数函数的运算即可求解. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以在函数的图象上取点，则关于直线对称点为； 所以，得， 因为，所以，得. 故选：A. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可． 【详解】解：，定义域为， ，解得或， 过和，故CD不符合题意； 又时，， 所以A不符合题意，B符合题意． 2．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段检测）设，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用作差法，结合对数换底公式及对数函数单调性比较大小. 【详解】由 ，得； 由 ，得， 因此. 3．（2026·福建·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得，而， 则， 所以. 4．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 5．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 6．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据对数函数性质求出定点确定、的值，再将式子变形，最后利用乘1法结合基本不等式求最值. 【详解】对于对数函数 ， 令，解得 ， 此时，因此函数过定点， 得 ，由条件 可得： ，即 ， 由 ，代入得： 利用1的代换结合基本不等式： 当且仅当成立时，等号成立， 结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 . 所以当时，取最小值，最小值为. 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 二、多选题 8．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，其中，则（    ） A．可能有最大值 B．当时，若有定义，则其值域为 C．在定义域内的区间上一定单调递减 D．当时，一定存在最小值 【答案】BD 【详解】A选项，令，则，其中， 因为外层函数为，而在定义域上单调递增， 且在定义域内可以取到任意大的正数，所以在定义域内没有最大值， 因此也没有最大值，A选项错误； B选项，的定义域为R，， 则与x轴有交点，且开口向上，所以在定义域内能取遍所有大于0的实数， 则的值域为，B选项正确； C选项，对称轴为：，且开口向上， 所以在上单调递减， 若，则在该区间上的最小值为， 则在该区间上无定义，因此C选项说法不准确； D选项，若，则，即与x轴无交点，且开口向上， 的最小值为：且， 所以最小值为：，D选项正确. 9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数，则正确的有（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在区间上是增函数 【答案】AD 【分析】根据给定的函数，求出定义域并变形解析式，再逐项分析判断即可求解. 【详解】由，所以的定义域为，故A正确； 由， 由，当时，等号成立， 令，则，又在单调递增， 所以，即， 所以的值域为，故B错误； 又，所以为偶函数，故C错误； 令，对任意的，且， 所以， 因为，则，即有， 所以，即，所以在单调递增， 又在单调递增，所以在区间上是增函数，故D正确. 10．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】BCD 【分析】对A：利用对数函数定义域计算即可得；对B：借助奇函数定义判断即可得；对C：去掉绝对值后，利用对数函数单调性判断即可得；对D：令，可得可以取遍所有正实数，再利用对数函数值域判断即可得. 【详解】对A：由题可知，解得，故的定义域为，故A错误； 对B：的定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数，故B正确． 对C：当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确． 对D：，令， 因为可以取遍所有正实数，所以的值域为，故D正确． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）函数与的图象关于_____________对称；若函数是函数的反函数，则_________________. 【答案】 原点 【分析】根据点的对称得出函数图象的对称关系；根据反函数的定义求出，再求函数值即可. 【详解】在函数图象上任取一点， 其关于原点对称的点为， 因为，故点在函数图象上， 所以函数与的图象关于原点对称； 因为的反函数为，所以. 故答案为：原点；. 13．（25-26高一下·河南信阳·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 【答案】1 【分析】分析可知函数的定义域为，根据奇函数的定义结合对数运算求解即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 即， 可得，结合x的任意性可知. 14．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知正数，，均不等于1，且，，则________． 【答案】6 【详解】方法一：，即． 方法二：由，，得，，则，所以． 15．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）若，，则________． 【答案】2 【分析】由题得，再根据对数运算法则求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 16．（25-26高三下·北京·阶段检测）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则______． 【答案】 【详解】由于当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒， 所以，解得； 当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒， 则，即，解得. 17．（24-25高一下·上海·期中）已知函数有最小值，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定的取值范围. 【详解】分析时函数的最小值： 对于函数，将其进行配方可得. 因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值.   分析时函数存在最小值的条件： 当时，. 因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于. 又因为对数函数在上单调递增，所以. 要使存在最小值，则，即，解得.   故答案为：. 18．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的性质，结合函数定义域求解即可. 【详解】由题意知，解得或， 即函数定义域为. 令，则原函数可看作与的复合函数， 因为函数是单调递减函数， 所以要使单调递增，则需单调递减， 由二次函数的对称轴为， 可得函数的单调递减区间为， 因为定义域为， 所以函数的单调递增区间是. 19．（25-26高一下·上海闵行·期中）函数的单调增区间是_____． 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再结合对数复合函数单调性规律确定单调增区间. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为. 又在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调增区间是. 四、解答题 20．（25-26高一上·云南文山·期末）文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地．某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案： （i）规定补贴金额（单位：万元）是销售额（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示； （ii）当销售额为2万元时，补贴金额为万元；当销售额为12万元时，补贴金额为万元． 现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式； (2)假设某果农2025年销售额为万元，则他应得多少补贴金？ （参考数据：，结果保留1位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的函数图象，选择合适的函数模型，待定系数法求解解析式即可； （2）令，运用对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）模型①是一次函数，是一条直线，不符合题意； 模型②是指数型函数，当时，函数图象下凹，不符合题意， 当时，函数为减函数，不合题意， 故考虑模型③： 代入点 和 ： 解得：， 因此函数解析式为：. （2）2025年销售额 万元，代入解析式： ， ， 把，代入得： ， 因此：（万元）， 该果农应得补贴金约万元. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $