3.1.1 函数及其表示方法教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的集合-对应定义、三要素及三种表示方法，通过高铁行驶路程与时间、合唱团年龄与人数两个情境导入，对比初中变量观点与高中对应关系定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境驱动概念建构，结合实例引导学生经历数学抽象过程培养数学眼光，对比初高中定义发展逻辑推理的数学思维，运用GeoGebra辅助函数图象绘制强化数学语言表达。实例丰富且贴近生活，助力学生提升抽象与运算素养，为教师提供清晰教学路径与实践支撑。

人教B版 数学 3.1.1 函数及其表示方法 高一 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 一、教学目标 课题 函数及其表示方法 教学目标 课型 新授课 课时 语言 能准确表述函数的集合-对应定义，会用数学符号规范书写定义域与值域 能清晰说明三种表示方法的特点与联系 素养 经历从变量观点到对应关系观点的过渡过程，体会数学抽象的层次提升 通过判断同一个函数与求定义域，培养逻辑推理与数学运算素养 重点 函数的集合-对应定义，定义域、值域的求法，三种表示方法，分段函数 难点 从变量观点到对应关系观点的过渡，同一个函数的判定，抽象符号f(x)的理解 二、教学目标解读 （1）语言维度：学生能用自己的话复述函数的集合-对应定义，能指出定义域、值域、对应关系三个要素，并能用解析法、列表法、图象法三种方式表示简单的函数。 （2）素养维度：在从初中的变量观点过渡到高中的对应关系观点的过程中，体会数学概念的严谨化与抽象化进程；通过判断两个函数是否为同一个函数以及求函数定义域，发展逻辑推理与数学运算素养。 三、教学过程 （1）情境引入与概念辨析 教师呈现两个实际情境：情境一，某高铁列车从甲地驶往乙地，速度恒为300 km/h，行驶时间t（h）与行驶路程S（km）的关系是 S=300t；情境二，某校合唱团共有30名成员，他们的年龄（岁）构成集合 A={15，16，17，18}，其中16岁的人数为12。教师提问：这两个情境中是否存在函数关系？如果存在，自变量和因变量分别是什么？ 学生讨论后回答：情境一中时间t每取一个值，路程S都有唯一确定的值与之对应，S是t的函数；情境二中年龄每取一个值，对应的人数也是唯一确定的，所以人数是年龄的函数。教师追问：初中我们是如何定义函数的？学生回忆并表述：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么称y是x的函数。 教师指出：初中的变量观点关注的是"变化过程"中的两个变量，但在情境二中，年龄16对应的"人数12"并不发生连续变化，变量观点在此显得不够精确。因此我们需要从更一般的"对应关系"角度重新认识函数。 （2）函数概念的建构 教师给出高中函数定义：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y=f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域。 教师继续讲解：如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)。所有函数值组成的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域。教师强调：对应关系也可用g、h等其他小写英文字母表示，记号本身没有特殊含义，仅代表一种对应法则。 教师引导学生对比初高中定义的异同：相同点在于都强调"每一个x"对应"唯一确定的y"；不同点在于高中定义用两个非空实数集A、B和对应关系f来刻画，不再局限于"变化过程"，从而能涵盖常数函数等不发生连续变化的情形。 （3）三种表示方法与函数图象 教师介绍函数的三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系）、列表法（列出表格表示对应关系）、图象法（用图象表示对应关系）。教师指出：函数图象F={(x,y)|y=f(x)，x∈A}，通常采用描点作图法绘制。 教师提问：三种方法各有何优劣？学生思考后回答：解析法简明精确，便于运算和推导，但不直观；列表法直接，适合离散数据，但难以反映整体趋势；图象法直观，便于观察变化趋势，但不便精确计算。教师补充：还可以用信息技术（GeoGebra）作函数图象，提高效率与精度。 （4）例题示范 例1 已知函数 f(x)=3x−5，x∈{0，1，2，3，4}。 （1）求 f(0)，f(2) 的值； （2）求函数的值域。 解析：（1）将x=0代入，得 f(0)=3×0−5=−5；将x=2代入，得 f(2)=3×2−5=6−5=1。 （2）依次计算定义域内每个自变量对应的函数值：f(0)=−5，f(1)=3×1−5=−2，f(2)=1，f(3)=3×3−5=4，f(4)=3×4−5=7。因此所有函数值组成的集合为{−5，−2，1，4，7}，这就是函数的值域。 答案：（1）f(0)=−5，f(2)=1；（2）值域为{−5，−2，1，4，7}。 例2 判断下列各组函数是否表示同一个函数： （1）y=x²，x∈R 与 g(x)={x²}，x∈R； （2）y= 与 h(x)=|x|，x∈R。 解析：（1）两个函数的定义域都是R，对应关系也相同（都是"自变量平方"），根据定义，它们表示同一个函数。 （2）函数 y= 的定义域为R，因为对任意实数x，x²≥0 恒成立；函数 h(x)=|x| 的定义域也是R。又因为 =|x| 对一切x∈R 成立，所以两个函数的对应关系也相同。因此它们表示同一个函数。 答案：（1）是同一个函数；（2）是同一个函数。 例3 求函数 f(x)=+ 的定义域。 解析：函数有意义需满足两个条件：分式中分母不能为零，即 x−2≠0；二次根式中的被开方数要大于或等于零，即 x+1≥0。 由 x−2≠0 得 x≠2；由 x+1≥0 得 x≥−1。取两个条件的交集，得定义域为{x|x≥−1 且 x≠2}。 答案：定义域为{x|x≥−1 且 x≠2}。 （5）分段函数与取整函数 教师讲解：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数。教师举例：某市居民用水实行阶梯水价，每月用水量不超过10吨的部分按2元/吨收费，超过10吨的部分按3元/吨收费，这就是一个分段函数。 教师继续介绍取整函数 y=[x]（高斯取整函数），其含义是：[x]表示不超过x的最大整数，例如 [3.7]=3，[−2.3]=−3。教师指出：取整函数也是一种分段函数，它在其定义域R内有无穷多个取值区间，每个区间对应一个整数值。 （6）巩固练习 练习1 已知函数 g(x)=x²+2，x∈{−1，0，1，2}。 （1）求 g(−1)，g(2) 的值； （2）求函数的值域。 答案：（1）g(−1)=(−1)²+2=3，g(2)=2²+2=6；（2）依次计算得 g(−1)=3，g(0)=0²+2=2，g(1)=1²+2=3，g(2)=6，所以值域为{2，3，6}。 练习2 判断函数 y=x+1，x∈R 与函数 g(x)=，x∈R 是否表示同一个函数。 答案：不是同一个函数。理由：g(x)===|x+1|，当x=−2时，y=−2+1=−1，而 g(−2)=|−2+1|=1，两者函数值不相等，因此对应关系不同，不是同一个函数。 练习3 求函数 f(x)=+ 的定义域。 答案：需满足 x+3≠0 且 4−x≥0，即 x≠−3 且 x≤4，所以定义域为{x|x≤4 且 x≠−3}。 （7）课堂小结 教师引导学生回顾本节课的主要内容：函数的集合-对应定义；定义域、值域、对应关系三个要素；同一个函数的判定条件是定义域相同且对应关系也相同；三种表示方法及各自特点；分段函数与取整函数的概念。 教师提问：回顾本节内容，函数从初中的变量定义到高中的对应关系定义，核心进步体现在哪里？ 预设回答：高中定义用非空实数集A、B和对应关系f刻画函数，不再依赖"变化过程"，因而能涵盖常数函数等不发生连续变化的情形，适用范围更广，表述更严谨。 （8）布置作业 1. 教科书课后练习题第1、2、3题。 2. 思考题：已知函数 f(x)={x²−2x}，x∈[0，4]，求此函数的值域。 答案：f(x)=x²−2x=(x−1)²−1，x∈[0，4]。当x=1时取得最小值 f(1)=−1；当x=4时取得最大值 f(4)=4²−2×4=8。所以值域为[−1，8]。 学科网（北京）股份有限公司 $