第3章 3.1.2 第1课时 函数单调性的定义与证明、函数的最值（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学函数单调性的定义与证明、单调区间求法及函数最值，通过观察函数图象引入单调性，从直观上升到严格定义，再到证明步骤、单调区间确定及单调性在比较大小、解不等式、求最值中的应用，构建完整学习支架。 以过山车实例激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过定义证明的“取值—作差—变形—定号—结论”步骤训练数学思维的严谨性，结合一次函数、分式函数等实例帮助学生用数学语言表达函数性质，课中辅助教师授课，课后通过跟踪训练和对点练助力学生查漏补缺。

3.1.2　函数的单调性 第1课时　函数单调性的定义与证明、函数的最值 学习目标　1.理解函数的单调性的定义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性.2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间.3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值. 导语 同学们，大家有没有体验过过山车？风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和这刺激的游戏有关哦. 一、函数单调性的判断与证明 问题1　观察下面三个函数图象，他们有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 提示　函数y=x的图象从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的. 问题2　如何理解函数图象是上升的？ 提示　从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时，点的纵坐标也逐渐增大，即当函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值也逐渐增大. 知识梳理　增函数与减函数的定义 增函数 减函数 条件 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且区间I⊆D： 如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 y=f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) y=f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减) 图象 注意点： (1)区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1，x2的大小. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等方向要一致(相反)，简称为“步调一致(相反)增(减)函数”. (6)函数单调性的判断与证明： ①观察函数的图象判断； ②利用单调性的定义和不等式的证明方法. 例1　(课本例1)求证：函数f(x)=-2x在R上是减函数. 证明　任取x1，x2∈R且x1<x2，则x1-x2<0，那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0， 从而f(x1)>f(x2). 因此，函数f(x)=-2x在R上是减函数. 例1　证明函数f(x)=x+在(1，+∞)上是增函数. 证明　任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2- =(x1-x2)+=. 因为1<x1<x2， 所以x1-x2<0，x1x2>1，x1x2-1>0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)=x+在(1，+∞)上是增函数. 延伸探究　若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，1)上的单调性. 解　函数f(x)=x+在(0，1)上单调递减. 理由如下：任取x1，x2∈(0，1)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2- =(x1-x2)+=. 因为0<x1<x2<1，所以x1-x2<0，0<x1x2<1，x1x2-1<0， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=x+在(0，1)上单调递减. 反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤 跟踪训练1　已知函数f(x)=. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并加以证明. 解　(1)由x2-1≠0得x≠±1， 故函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}. (2)函数f(x)在(1，+∞)上单调递减. 证明如下： ∀x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=- ==. 因为x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2，所以-1>0-1>0，x2+x1>0，x2-x1>0， 所以f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在(1，+∞)上单调递减. 二、求函数的单调区间 问题3　“函数y=f(x)在I上单调递增”与“函数y=f(x)的单调递增区间为I”含义相同吗？ 提示　不同.“函数y=f(x)在I上单调递增”是指区间I为函数y=f(x)的一个单调递增区间，还可能存在其他单调递增区间；“函数y=f(x)的单调递增区间为I”是指除区间I外，函数y=f(x)不存在其他单调递增区间. 知识梳理 如果函数y=f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性(区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). 注意点： 如果函数y=f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接. 例2　设函数f(x)=画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间. 解　函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的定义域为[-4，+∞)，值域为(-∞，3]，单调递增区间为(-2，0)，单调递减区间为(-4，-2)和(0，+∞). 反思感悟　求函数单调区间的两种方法 (1)定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解. (2)图象法.即先画出函数图象，再根据图象的变化规律求单调区间. 跟踪训练2　作出函数y=|x|(x-2)的图象，并写出函数的单调区间. 解　y=|x|(x-2)= 函数的图象如图中实线部分所示. 由函数的图象知，函数的单调递增区间为(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为(0，1). 三、函数单调性的应用 问题4　如图所示是函数y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈[-1，+∞))，y=f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 提示　函数y=-x2-2x的图象有最高点A，函数y=-2x+1，x∈[-1，+∞)的图象有最高点B，函数y=f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. 问题5　你是怎样理解函数图象最高点的？ 提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值. 知识梳理　函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D 都有f(x)≤f(x0) 都有f(x)≥f(x0) 结论 f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点 f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点 统称 最大值和最小值统称为最值 最大值点和最小值点统称为最值点 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y=x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. 角度1　利用函数的单调性比较大小 例3　已知函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，试比较f(a2-a+1)与f 的大小. 解　∵a2-a+1=+≥ ∴与a2-a+1都是区间(0，+∞)上的值. 又f(x)在区间(0，+∞)上是增函数， ∴f(a2-a+1)≥f . 反思感悟　利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. 跟踪训练3　(1)定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有>0，则(　　) A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3) C.f(2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(2) 答案　B 解析　对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有>0，则x2-x1与f(x2)-f(x1)同号，则f(x)在R上是增函数.又3>2>1，则f(1)<f(2)<f(3). (2)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2) 答案　D 解析　当a<0时，a>2a，因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a)<f(2a)，故A不正确；当0<a<1时，a2<a，因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a2)>f(a)，故B不正确；当a=0时，a2+a=a=0，所以f(a2+a)=f(a)，故C不正确；因为a2+1>a2，函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a2+1)<f(a2)，故D正确. 角度2　利用函数的单调性解不等式 例4　已知函数f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-2)<f(1-x)，求x的取值范围. 解　∵函数f(x)是定义在[-1，1]上的增函数， ∴ 解得1≤x≤2，① 又∵f(x-2)<f(1-x)， ∴x-2<1-x，即x<.② 由①②可得1≤x< 即x的取值范围为. 反思感悟　利用函数的单调性解不等式的注意点 利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x1)<f(x2)， 若f(x)在(a，b)上是增函数，则有 若f(x)在(a，b)上是减函数，则有 必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须转化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论. 跟踪训练4　函数f(x)是定义在R上的减函数，其图象过点(-3，2)和(1，-2)，则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是　　　　.  答案　(-3，1) 解析　∵f(x)是定义在R上的减函数，f(-3)=2，f(1)=-2，∴当x>-3时，f(x)<2；当x<1时，f(x)>-2，故当-3<x<1时，|f(x)|<2. 角度3　利用单调性求最值 例5　(课本例2)判断函数f(x)=3x+5，x∈[-1，6]的单调性，并求这个函数的最值. 解　任取x1，x2∈[-1，6]且x1<x2，则x1-x2<0，那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0， 所以这个函数是增函数. 因此，当-1≤x≤6，有f(-1)≤f(x)≤f(6)， 从而这个函数的最小值为f(-1)=2，最大值为f(6)=23. 例5　已知函数f(x)=. (1)证明：函数f(x)在上单调递减； (2)求函数f(x)在[1，5]上的最值. (1)证明　设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1> f(x1)-f(x2)=- =.由于x2>x1> 所以x2-x1>0，且(2x1-1)(2x2-1)>0， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)=在区间上单调递减. (2)解　由(1)知，函数f(x)在[1，5]上单调递减， 因此，函数f(x)=在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值， 即最大值为f(1)=3，最小值为f(5)=. 延伸探究1　例5条件不变，若对∀x∈[1，5]，m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围. 解　只需m大于等于f(x)在区间[1，5]上的最大值即可，由例5(2)可知，该最大值为3， 故实数m的取值范围为[3， +∞). 延伸探究2　例5条件不变，求函数f(x)在[1，+∞)上的最值. 解　由例5(1)知函数f(x)在[1，+∞)上单调递减， 所以当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3，f(x)无最小值. 延伸探究3　已知函数g(x)=求函数g(x)在[1，+∞)上的最值. 解　g(x)===2+ 由例5(1)可知，g(x)在[1，+∞)上单调递减， 所以当x=1时，g(x)有最大值g(1)=5，g(x)无最小值. 反思感悟　利用函数单调性求最值的方法 (1)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)若函数y=f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是定义域上的最大(小)值. 1.知识清单： (1)函数单调性的判断与证明. (2)函数的单调区间的求法. (3)单调性的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：函数的单调区间误用并集. 1.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其单调递增区间是(　　) A.[-4，4] B.[-4，-3]∪[1，4] C.[-3，1] D.[-3，4] 答案　C 解析　由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间是[-3，1]. 2.函数f(x)=的最大值为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　B 解析　当x≥1时，函数f(x)=单调递减， 此时f(x)在x=1处取得最大值， 最大值为f(1)=1； 当x<1时，函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=2. 综上可得，f(x)的最大值为2. 3.函数y=(x+4)2的单调递减区间是(　　) A.(-∞，-4) B.(-4，+∞) C.(4，+∞) D.(-∞，4) 答案　A 解析　作出函数y=(x+4)2的图象，由图象知，y=(x+4)2的单调递减区间是(-∞，-4). 4.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(a2-2)<f(-a)，则a的取值范围是　　　　.  答案　(-2，1) 解析　由题意可得a2-2<-a，即a2+a-2<0， 解得-2<a<1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.如图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　) A.函数在区间[-5，-3]上单调递增 B.函数在区间[1，4]上单调递增 C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减 D.函数在区间[-5，5]上没有单调性 答案　C 解析　单调区间不能用“∪”连接. 2.下列函数在区间[1，4]上的最大值为3的是(　　) A.y=+2 B.y=3x-2 C.y=x2 D.y=1-x 答案　A 解析　选项B，C在[1，4]上均单调递增，选项A，D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确. 3.已知函数y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，则函数f(x)=bx+a在R上是(　　) A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0 C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0 答案　A 解析　因为y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，所以a<0，b<0，所以f(x)=bx+a在R上为减函数且f(0)=a<0. 4.设函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　) A.4 B.6 C.10 D.24 答案　C 解析　因为f(x)==2+ 所以f(x)在[3，4]上单调递减. 所以m=f(4)=4，M=f(3)=6. 所以M+m=6+4=10. 5.已知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，a，b∈R，且a+b≤0，则有(　　) A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 答案　D 解析　由题意知a+b≤0，得到a≤-b，b≤-a. ∵f(x)在(-∞，+∞)上是减函数， ∴f(a)≥f(-b)，f(b)≥f(-a)， ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 6.(多选)函数y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0<x1<x2，则下列选项正确的是(　　) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)-f(x2)<0 C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 D.>0 答案　AC 解析　因为y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0<x1<x2，故f(x1)>f(x2)， f(x1)-f(x2)>0，A正确，B错误； 因为x1-x2<0，f(x1)-f(x2)>0，所以<0， <0，C正确，D错误. 7.(5分)已知函数y=f(x)在定义域(-2，2)上为增函数，且f(2m)>f(-m+1)，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由题意知 解得<m<1. 8.(5分)已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是　　　　，单调递增区间是　　　　.  答案　(-∞，1)　[1，+∞) 解析　因为当x≥1时，f(x)是增函数；当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是[1，+∞). 9.(10分)画出下列函数的图象，并写出它的单调区间. (1)f(x)=|x+2|；(5分) (2)f(x)=|x2-3x+2|.(5分) 解　(1)如图1， f(x)的单调递增区间为[-2，+∞)， 单调递减区间为(-∞，-2). (2)如图2， f(x)的单调递增区间为和[2，+∞)， 单调递减区间为(-∞，1)和. 10.(12分)已知函数f(x)=. (1)判断函数在区间(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(7分) (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值.(5分) 解　(1)f(x)在(-1，+∞)上为增函数，证明如下： 任取-1<x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=- = 因为-1<x1<x2， 所以x1+1>0，x2+1>0，x1-x2<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(-1，+∞)上为增函数. (2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)== 最大值为f(4)==. 11.已知函数f(x)=是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2] 答案　D 解析　依题意得，实数a满足 解得0<a≤2. 12.已知f(2-x)=f(x+2)，且f(x)在(0，2)上单调递减，则f(1)，f f 的大小顺序是(　　) A.f <f(1)<f B.f(1)<f <f C.f <f(1)<f D.f <f <f(1) 答案　A 解析　因为f(2-x)=f(x+2)， 所以f =f f =f 因为f(x)在(0，2)上单调递减， 所以f =f <f(1)<f =f . 13.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：对∀x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>0成立，且f(2)=4，则不等式>2的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　令g(x)= 因为对∀x1，x2∈且x1≠x2，都有>0成立， 不妨设0<x1<x2，则x1-x2<0，故x2f(x1)-x1f(x2)<0，则<即g(x1)<g(x2)， 所以g(x)在上单调递增， 又因为f(2)=4，所以g(2)==2，故>2可化为g(x)>g(2)， 所以由g(x)的单调性可得x>2，即不等式>2的解集为. 14.(5分)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为则实数m的值为　　　　.  答案　 解析　函数f(x)=即f(x)=2+ 当m=2时，f(x)=2，不成立； 当m-2>0，即m>2时，f(x)在[0，1]上单调递减，可得f(0)为最大值， 即f(0)==解得m=成立； 当m-2<0，即m<2时，f(x)在[0，1]上单调递增，可得f(1)为最大值， 即f(1)==解得m=3，不成立； 综上可得m=. 15.(5分)已知函数f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，若对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵函数f(x)=x2-2x的图象开口向上，其对称轴方程为x=1， ∴当x∈[-1，2]时，f(x)的最小值为f(1)=-1，最大值为f(-1)=3， 则此时f(x)的取值范围为[-1，3]. ∵g(x)=ax+2(a>0)在[-1，2]上单调递增， ∴当x∈[-1，2]时，g(x)的最小值为g(-1)=-a+2，最大值为g(2)=2a+2， 此时g(x)的取值范围为[-a+2，2a+2]. ∵对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)， ∴解得0<a≤. 16.(12分)已知函数f(x)满足：①定义域为(0，+∞)；②对于任意正数x，y，f =f(x)-f(y)；③当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值；(2分) (2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(4分) (3)若f =1，解不等式f(x)+f >2.(6分) 解　(1)令x=y=1， 则f(1)=f(1)-f(1)=0. (2)函数f(x)在(0，+∞)上为减函数. 理由如下： 任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则>1， ∴f =f(x2)-f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)， ∴函数f(x)在(0，+∞)上为减函数. (3)令x=y=则f =f -f 即f =f -f ∴f =2， 则不等式f(x)+f >2可化为f >f -f(x)=f 由(2)知，不等式等价于 解得<x<1， ∴不等式f(x)+f >2的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $