3.1.1 函数及其表示方法（第二课时）教学设计——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的表示方法、分段函数及图象作法，通过水电费明细、植物生长规律、通话费用等生活实例导入，引导学生分析列表法、解析法、图象法的适用场景，衔接函数概念与实际应用，搭建知识支架。 资料以现实情境为载体，如阶梯水价实例帮助理解分段函数，通过“尝试与发现”探究狄利克雷函数、高斯取整函数，培养数学抽象与逻辑推理能力，例题结合生活问题提升用数学语言表达现实的能力，为教师提供结构化流程与丰富实例，助力学生思维发展与高效教学。

3.1.1 函数及其表示方法（第二课时） 【课程基本信息】 年级 高一 课题 函数及其表示方法 课时 2课时 授课教师 【教学目标】 1.掌握函数的表示方法. 2.掌握分段函数. 3.掌握函数图象的作法. 【教学重点】 函数的表示方法. 【教学难点】 函数图象的作法 【教学过程】 思考一下：应该用哪种函数表示方法，并说明理由： 1.学校公布本学期每个月的水电费明细； 2.科学家研究某植物的生长高度随时间的变化规律； 3.手机套餐中，每月通话费用与通话时长的关系. 列表法适合展示有限的具体数据，解析法适合精准描述普遍规律，图象法适合直观呈现变化趋势.在实际生活中，我们可以根据需求选择合适的表示方法，甚至结合使用.那么这三种表示方法，它们有什么特点和应用场景？ 解析式法的定义：函数y=f(x)中，绝大多数f(x)都是用代数式（或解析式）来表示的.例如：f(x)=2x+1，这种表示函数的方法称为解析式法. 列表法的定义：前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法. 思考一下：通过下表，你可以得到什么？ 年度 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 中国创新指数 116.5 125.5 131.8 139.6 148.2 152.6 158.2 171.5 如果将这个函数记为i=f(y)，则从表格中可以看出f(2013)=152.6，f(2015)=171.5. 另外，如果将这个函数的定义域记为D，值域记为S，则有D={2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，S={116.5，125.5，131.8，139.6，148.2，152.6，158.2，171.5}. 函数图象定义：前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系.一般地，将函数y=f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F={(x，y)|y=f(x)，x∈A}. 图象法的定义：如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y=f(x)；反之，满足函数关系y=f(x)的点(x，y)都在函数的图象F上.用函数的图象表示函数的方法称为图象法. 描点作图法的定义：从理论上来说，要作出一个函数的图象，只需描出所有点即可.但是，很多函数的图象都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实. 因此，实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这称为描点作图法. 例如：一次函数y=-x+1的图象是一条直线，又易知图象过点(0，1)和(1，0)，所以容易作出其图象，如图所示. 分段函数的定义：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 尝试与发现：函数被称为狄利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗？你能作出这个函数的图象吗？ 可以看出，狄利克雷函数的定义域为R，值域为{0，1}，但它的图象不能形象地展示出来. 尝试与发现：依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数. x 6.89 5 π -1.5 -2 y 6 5 3 -2 -2 高斯取整函数的定义：例5中的函数通常称为取整函数，记作y=[x]，其定义域是R，值域是Z.这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数. 常数函数的定义：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等. 例如：f(x)=7，x∈R是一个常数函数，它的值域是{7}，图象是一条垂直于y轴的直线. 尝试与发现：求出f(0)，f(1)，f(2)的值，再求出f(a)，f(a-1)． 由已知可得f(0)=0，f(1)=1，f(2)=4，f(a)=a2，f(a-1)=(a-1)2=a2-2a+1. 探索与研究：已知f(x-1)=x2，你能求出f(x)的解析式吗？试总结f(x)与f(x-1)的关系． 令x-1=t，则x=t+1，所以f(t)=(t+1)2，所以f(x)=(x+1)2．f(x-1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位得到． 【课堂例题】 例4：北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过180m3的部分，水价为5元/m3；超过180m3但不超过260m3的部分，水价为7元/m3．如果北京市一居民年用水量为xm3，其要缴纳的水费为f(x)元．假设0≤x≤260，试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象． 解：如果x∈[0，180]，则f(x)=5x； 如果x∈[180，260]，按照题意有f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360，因此注意到f(x)在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y=f(x)在每个区间上的图象都是直线的一部分，又因为f(180)=5×180=900，f(260)=7×260-360=1460，由此可作出函数的图象，如图所示. 例5：设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关系是否是函数.如果是，作出这个函数的图象；如果不是，说明理由． 解：因为当n∈Z且x∈[n，n+1)时，有y=n，又因为任何一个实数x，都必定在某个形如[n，n+1)的区间内.因此，给定一个x，有唯一的y与之对应，所以这种对应关系是函数.由上可看出，在每一个区间[n，n+1)内，函数的图象是直线的一部分，由此可作出这个函数的图象，如图所示. 例6：已知函数y=，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图象. 解：函数的定义域为[0，+∞).由y=在y≥0时有解可知，函数的值域为[0，+∞).通过描点作图法，可以作出这个函数的图象，如图所示. 结论：由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析式也具有多种形式.在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，使用待定系数法完成. 例7：已知二次函数的图象过点(-1，4)，(0，1)，(1，2)，求这个二次函数的解析式． 解：设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为y=2x2-x+1. 例8：已知f(x)=x²，求f(x-1). 解：由已知可得f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1. 如果设g(x)=f(x-1)，则有g(x)=x2-2x+1，因此g(x)与f(x)是不同的函数. 【课堂巩固】 1.根据列表中的数据选择合适的模型，则( ) x 1 2 3 4 5 2 0 A. B. C. D. 2.以下形式中，不能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 3.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 【小结作业】 93页的课后习题 【板书设计】 3.1.1 函数及其表示方法（第二课时） 1.函数的三种表示法：解析式法、列表法、图象法 2.分段函数的定义 3.高斯取整函数的定义 4.常数函数的定义 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $