第四单元 用字母表示（一）（易错专项讲义）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学第四单元“用字母表示（一）”易错专项讲义通过框架图系统构建知识体系，涵盖用字母表示数量关系、运算定律及公式、规律、等式的性质四大易错题型，每个题型以核心要点（如字母指代唯一性、书写规范）为脉络，用思维导图呈现知识内在联系，清晰标注重难点分布。 讲义亮点在于“易错点深度剖析+分层实践设计”，如用字母表示数量关系强调字母与数值的定义边界，培养符号意识；用图形规律探究题（如小正方形摆图形）引导学生抽象递推逻辑，发展抽象能力。题型精讲结合实例（如三位数表示问题），巩固练习含选择、填空、解答题，基础学生可掌握规范表达，优秀学生能深化逻辑推理，助力教师实施精准化复习教学。

第四单元 用字母表示（一）易错专项讲义  易错题型01 用字母表示数量关系（1个未知数） 易错题型02 用字母表示运算定律及计算公式 易错题型03 用字母表示规律 易错题型04 等式的性质 易错题型01 用字母表示数量关系（1个未知数） 1、同时满足“字母的指代含义全程唯一、列出的关系式代入已知数值后能完全还原题干原始数量关系”的表达式，才是本单元认可的标准用字母表示数量关系结论，随意变更字母指代含义得到的关系式不能作为有效表达依据。 2、判定字母的属性时，要明确字母是用来替代某一固定未知量的符号，不能把字母和它代表的实际数值直接划等号，混淆二者的定义边界。 3、判定含字母式子的书写属性时，要明确数字和字母相乘时数字必须写在字母前面、乘号可以省略，不同的数量关系对应专属的规范书写形式，不能跨场景混用书写格式，违背代数表达的底层逻辑。 4、反向核验字母数量关系式时，把题干给出的已知数值代入表达式计算，最终得到的结果必须完全匹配题干隐含的逻辑结果，不能出现数量关系错位的逻辑矛盾。 5、标注含字母的数量关系式时，要准确对应字母的指代含义和式子的运算逻辑，避免出现字母指代错配、运算符号标注混乱的问题，导致数量关系的指代模糊。 6、处理含字母式子的单位标注场景时，要明确式子整体是和、差关系时必须先给整个式子加括号再标注单位，不能直接在加减关系的式子末尾直接写单位，得到不符合代数书写规范的错误结果。 7、同一道用字母表示数量关系的题目中，字母的指代对象、书写规范规则必须完全统一，不能中途随意切换字母的指代含义、更改式子的书写格式，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定“用字母表示运算结果”的场景时，要明确最终的含字母式子必须化简到最简形式，不能保留多余的乘号、也不能出现数字写在字母后面的不规范写法，违背代数化简的基本要求。 【题型精讲1】一个三位数，百位上的数字是a，个位上的数字是6，十位数字为0，能表示这个三位数的式子是（    ）。 A．a＋6 B．6×100＋a C．100a＋6 D．6a 【答案】C 【分析】根据数位的意义，百位上的数字表示几个100，个位上的数字表示几个1，十位是0，不用加对应的数值。 【解答】百位数字是a，对应数值为100a；十位为0；个位数字是6，对应数值为6；这个三位数是100a＋6。 【易错巩固1】今年明明岁，妈妈的年龄是他的3倍；再过5年，明明和妈妈相差（    ）岁。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个人的年龄差始终不变，算出今年的年龄差就是5年后的年龄差。 【解答】今年妈妈的年龄：岁，今年年龄差：（岁）。再过5年，两人的年龄差仍然为岁。 【易错巩固2】梨重x千克，西瓜的质量是梨的12倍，那么x＋12x表示的是（    ）。 A．西瓜重多少千克 B．梨和西瓜一共重多少千克 C．西瓜比梨重多少千克 D．梨重多少千克 【答案】B 【分析】12x是西瓜的重量，再加上x，求的是西瓜和梨的总重量。 【解答】根据分析可知：x＋12x表示西瓜和梨的总重量。 【易错巩固3】某工地运来a吨沙子，用了10天，还剩b吨，平均每天用（    ）吨。 A．a－b÷10 B．（a－b）÷10 C．a÷10－b D．10a－b 【答案】B 【分析】先算出10天一共用掉的沙子吨数，再除以使用天数，即可得到平均每天用的吨数。 【解答】10天一共用掉的沙子吨数：吨； 平均每天用的沙子吨数：吨 【易错巩固4】一辆汽车每小时行60km，行驶xkm需要（ ）小时；y小时行驶（ ）km。 【答案】x÷60 60y 【分析】根据路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，代入数据即可。 【解答】一辆汽车每小时行，行驶需要小时；小时行驶。 【易错巩固5】“小星星”小吃店共有38个座位。早上一开门，就进来了a位顾客入座就餐，服务员看到还有一些空座，这个小吃店目前有（ ）个空座。 【答案】38－a 【分析】根据题意，用小吃店共有座位数减去顾客入座就餐的人数，即可求出这个小吃店目前有多少个空座。 【解答】“小星星”小吃店共有38个座位。早上一开门，就进来了a位顾客入座就餐，服务员看到还有一些空座，这个小吃店目前有38－a个空座。 【易错巩固6】某小学10名老师带领6个年级的学生参观西安城墙，平均每个年级有x名学生。一共有（ ）人参观西安城墙。 【答案】/ 【分析】参观的总人数由两部分组成，分别是老师的人数和学生的人数。老师有10名；学生总人数为年级数乘每个年级的人数，即乘。在含有字母的式子里，数字和字母中间的乘号可以记作“”，也可以省略不写，省略乘号时通常把数字写在字母前面。将学生人数表达式与老师人数相加，即可得到总人数的表达式。 【解答】根据乘法的意义，学生总人数为：；总人数学生人数老师人数，列式为：。 【易错巩固7】学校大礼堂楼上有m排座位，每排有26个座位，楼下有n个座位。26m表示（ ）；学校大礼堂一共有（ ）个座位。 【答案】楼上座位的总数 【分析】已知楼上有m排座位，每排有26个座位，根据每排座位数×排数＝总座位数解答；大礼堂的座位分为两部分：楼上和楼下，楼上座位数是26m，楼下座位数是n，总座位数＝楼上座位数＋楼下座位数；据此解答。 【解答】学校大礼堂楼上有m排座位，每排有26个座位，楼下有n个座位。26m表示楼上座位的总数；学校大礼堂一共有（26m＋n）个座位。 【易错巩固8】某文具店出售的中性笔比圆珠笔贵1元钱，钢笔的价格是圆珠笔的4倍，用字母表示这三种笔的价格关系。 【答案】设圆珠笔的价格为a元，则中性笔的价格是（a＋1）元，钢笔的价格是4a元。（答案不唯一） 【分析】可以把圆珠笔价格设为字母a元，题目说中性笔比圆珠笔贵1元，则中性笔的价格等于圆珠笔价格加1元；钢笔价格是圆珠笔的4倍，则钢笔的价格等于圆珠笔的价格乘4，据此解决。 【解答】设圆珠笔的价格为a元。 则中性笔的价格是（a＋1）元，钢笔的价格是4a元。 【易错巩固9】甲、乙两位送奶工每天分别送奶a袋和b袋。 （1）3月份甲、乙两人一共送奶多少袋？ （2）如果a＞b，乙一周（7天）比甲少送多少袋？ 【答案】（1）31（a＋b）袋 （2）7（a－b）袋 【分析】本题考查用字母表示数以及数量关系的运用。 1.  首先明确时间条件：3月份是大月，共有31天；一周固定为7天。 2. 第（1）小题，求甲、乙两人3月份一共送奶的袋数。需要先求出两人每天送奶的总袋数，即袋，再乘3月份的天数31天。 3. 第（2）小题，求乙一周比甲少送多少袋。已知，即甲每天送的多。先求出甲每天比乙多送的袋数，即袋，再乘一周的天数7天。 4.  根据用字母表示数的书写规范，数字与字母相乘、数字与括号相乘时，乘号可以省略，数字写在字母或括号前面。 【解答】（1）3月份共有31天。 甲、乙两人每天一共送奶：袋 3月份一共送奶： （袋） （2）一周共有7天。 甲每天比乙多送奶：袋 乙一周比甲少送奶： ＝（袋） 易错题型02 用字母表示运算定律及计算公式 1、同时满足“完全匹配对应运算定律/公式的数学定义、字母指代含义全程唯一不冲突”的表达式，才是本单元认可的标准字母表达结论，随意篡改定律核心逻辑得到的表达式不能作为有效表达依据。 2、判定字母的属性时，要明确字母是运算定律/公式中固定参数的通用替代符号，不能把字母和它代表的具体数值直接划等号，混淆二者的定义边界。 3、判定字母表达式的书写属性时，要明确数字与字母、字母与字母相乘时乘号可省略且数字必须前置，不同定律/公式对应专属的规范书写形式，不能跨场景混用书写格式，违背代数表达的底层逻辑。 4、反向核验字母表达的运算定律时，代入任意符合条件的具体数值计算，定律左右两边的运算结果必须完全相等，不能出现运算结果前后矛盾的逻辑错误。 5、标注用字母表示的运算定律与公式时，要准确对应字母的专属指代含义，避免出现字母指代错配、运算符号标注混乱的问题，导致定律/公式的逻辑指代模糊。 6、处理正方形、长方形等几何图形的字母公式场景时，要明确面积单位的平方标记必须标注在字母右上角，不能把a2错误写成a×2或2a，得到不符合几何公式规范的错误结果。 7、同一道相关题目中，字母的指代对象、代数书写规范必须完全统一，不能中途随意切换字母的指代含义、更改公式的书写格式，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定用字母表示运算定律的场景时，要明确定律中的字母可以代表任意符合运算要求的数，不能人为给字母限定不符合定律定义的数值范围，违背运算定律的普适性要求。 【题型精讲2】小明用字母表示长方形的面积公式，正确的是（    ）。 A．S＝a＋b B．S＝a×b C．C＝2（a＋b） D．S＝a2 【答案】B 【分析】根据长方形面积＝长×宽，在用字母表示公式时，通常用表示面积，表示长，表示宽。所以长方形的面积公式用字母表示为：。 【解答】A．，表示长与宽的和，不是面积公式，此选项错误； B．，表示长与宽的积，是面积公式，此选项正确； C．，表示长方形的周长公式，不是面积公式，此选项错误； D．，表示正方形的面积公式，不是长方形的面积公式，此选项错误。 【易错巩固1】计算：am＋bm－cm＝m×______，横线上应填写（    ）。 A．（a＋m－c） B．（a＋b－c） C．（am＋b－c） D．（a＋bm－c） 【答案】B 【分析】观察算式am＋bm－cm，发现每一项都含有相同的因数m。根据乘法分配律的逆运算，可以将相同的因数m提取出来，将剩余的部分相加减写在括号内。 【解答】am＋bm－cm ＝m×a＋m×b－m×c ＝m×（a＋b－c） 计算：am＋bm－cm＝m×______，横线上应填写（a＋b－c）。 【易错巩固2】58a－16a＝（58－16）a，这里运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．加法结合律 【答案】A 【分析】A．乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。反过来同样适用； B．乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 C．乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 D．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 【解答】58a－16a ＝（58－16）a→逆用乘法分配律 ＝42a 58a－16a＝（58－16）a，这里运用了乘法分配律。 故答案为：A 【易错巩固3】9＋5＝（9＋5）运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．加法结合律 【答案】B 【分析】根据乘法分配律：a×b＋a×c＝a×（b＋c）；再根据用字母表示数中乘号的省略，9＋5＝9×a＋5×a，可根据乘法分配律写成（9＋5）×a，即为（9＋5）。据此解答。 【解答】由分析可得，9＋5＝（9＋5）运用了乘法分配律。 故答案为：B 【易错巩固4】可可画了一个边长是n厘米的正方形，那么它的周长是（ ）厘米。 【答案】4n 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，用这个正方形的边长乘4，即可算出它的周长。 【解答】n×4＝4n 可可画了一个边长是n厘米的正方形，那么它的周长是4n厘米。 【易错巩固5】23可以表示为10×2＋3，如果一个三位数百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c，那么这个三位数可以表示为（ ）。 【答案】100a＋10b＋c 【分析】23中，2在十位，代表2个10，也就是10×2；3在个位，代表3个1，直接写3。以此类推即可。 【解答】三位数的百位上的数字a，代表a个100，也就是100×a；十位上的数字b代表b个10，也就是10×b；个位上的数字c代表c个1，把三部分加起来，这个三位数就可以表示成100a＋10b＋c。 【易错巩固6】这是应用了（ ）律，用字母表示：（ ）。 【答案】乘法结合 【分析】三个数相乘的时候，先算前两个数的乘积，或者先算后两个数的乘积，最终的计算结果不变，这个规律就是乘法结合律。观察可知，等号左边的算式是先算61×45，改成先算括号里的45×20，符合乘法结合律的特点；用字母表示就是a×b×c＝a×（b×c）。 【解答】这是应用了乘法结合律，用字母表示： a×（b×c）。 【易错巩固7】一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是（ ）平方米。 【答案】2a＋2b ab b 【分析】根据长方形周长计算公式：2×（长＋宽），面积计算公式：长×宽，将长是a米、宽是b米分别代入公式列出式子即可； 从这个长方形上剪下最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，也就是b米；再根据正方形的面积计算公式：边长乘边长列出式子即可。 【解答】长方形的周长：2×（长＋宽）＝2×（a＋b）＝2a＋2b（米） 长方形的面积：长×宽＝ab（平方米） 正方形的面积：边长×边长＝b×b＝b2（平方米） 易错题型03 用字母表示规律 1、同时满足“完全匹配规律的递推逻辑、字母指代的变量含义全程唯一”的表达式，才是本单元认可的标准规律表达结论，随意篡改规律核心变化逻辑得到的表达式不能作为有效表达依据。 2、判定字母的属性时，要明确字母是规律中可变项的通用替代符号，不能把字母和某一组特定的数值直接划等号，混淆“通用规律”和“个例”的定义边界。 3、判定规律表达式的书写属性时，要明确数字与字母、字母与字母相乘时乘号可省略且数字必须前置，不同类型的规律对应专属的规范书写形式，不能跨场景混用书写格式，违背代数表达的底层逻辑。 4、反向核验字母表示的规律时，把题干给出的前几组已知数值代入表达式计算，得到的结果必须和题干给出的对应项数值完全相等，不能出现规律和已知项错位的逻辑矛盾。 5、处理数列类规律的判定场景时，要明确字母n代表正整数项数，不能给n代入0、负数等不符合实际项数意义的数值，得到不符合规律适用范围的错误结果。 6、同一道规律探究题目中，字母的指代对象、规律的递推逻辑必须完全统一，不能中途随意切换字母的指代含义、更改规律的变化规则，打乱判定逻辑的严谨性。 7、判定图形类规律的场景时，要明确字母代表的图形序号必须和图形的数量变化一一对应，不能只匹配前1-2组图形就直接下结论，必须验证至少3组已知图形都符合表达式，避免出现规律误判。 【题型精讲3】小军用小正方形卡纸摆图形（如下图），照这样摆下去，摆第n个图形要用（    ）个小正方形。 A．8n B．9n C．2n＋6 D．10n－9 【答案】C 【分析】观察图形可知，第1个有8个小正方形，第2个有10个小正方形，第3个有12个小正方形，后一个比前一个图增加2个小正方形，据此规律解答。 【解答】观察图形可知， 第1个有8个小正方形，8＝6＋2×1 第2个有10个小正方形，10＝6＋2×2 第3个有12个小正方形，12＝6＋2×3 第n个图形有（2n＋6）个正方形。 【易错巩固1】观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（    ）个。 A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察白色三角形个数的规律。第1个图有1个。第2个图在第一个图基础上增加3个，总数为1＋3＝4（个）。第3个图在第二个图基础上增加9个，总数为4＋9＝13（个）。增加的个数依次是3的0次方、3的1次方、3的2次方……即第n个图增加的个数是3n-1。第⑥个图白色三角形总数等于1加上前5次增加的和。 【解答】31＝3；32＝9；33＝27；34＝81；35＝243。 1＋3＋9＋27＋81＋243 ＝4＋9＋27＋81＋243 ＝13＋27＋81＋243 ＝40＋81＋243 ＝121＋243 ＝364（个） 【易错巩固2】观察下图，每一个黑色圆周围都有6个白色圆，照这样的规律继续画下去，当画第个黑色圆时，一共画了（    ）个白色圆。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当n＝1（1个黑圆）：白色圆＝6个 当n＝2（2个黑圆）：两个黑圆相邻，中间共用2个白圆，总数＝6＋4＝10个 当n＝3（3个黑圆）：再加4个白圆，总数＝6＋4＋4＝14个 每增加1个黑圆，只增加4个白色圆； 首项n＝1时为6，可拆分：6＝4×1＋2 n＝2：4×2＋2＝10 n＝3：4×3＋2＝14 因此通用式子：4n＋2。 【解答】A．6n：n＝2时得12，实际只有10，错误； B．6n－2：n＝1得4，实际6个，错误； C．4n＋2：符合题意，正确。 D．4n－2：n＝1得2，实际6个，错误。 【易错巩固3】如图，按照规律依次排下去，第9幅图有（    ）个。 …… A．27 B．28 C．29 【答案】B 【分析】 由图知第1幅图有4个，第2幅图有7个，第3幅图有10个，第4幅图有13个……依次多3个，由此推导出规律表达式，再求出第9幅图有的个数。 【解答】 第1幅图有4个，4＝3×1＋1； 第2幅图有7个，7＝3×2＋1； 第3幅图有10个，10＝3×3＋1； 第4幅图有13个，13＝3×4＋1； …… 依次多3个， 因此第n个图中的数量是3×n＋1＝（3n＋1）个。 将n＝9代入上述规律式3n＋1中，得到第9个图中的数量为： 3×9＋1 ＝27＋1 ＝28（个） 第9幅图有28个。 【易错巩固4】如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要（ ）张桌子，n张桌子并起来可以坐（ ）人。 【答案】6 4n＋2 【分析】我们还能把人数拆分来看：不管多少张桌子并起来，左右两端总共固定坐2人，剩下的人是每张桌子对应坐4人。 【解答】现在算26人需要的桌子数：先把两端固定的2人去掉，剩下26−2＝24（人）， 每张桌子对应安排4人，需要的桌子数就是24÷4＝6（张）。 每多并1张桌子，就多坐4个人。所以n张桌子能坐的人数就是4×n＋2＝（4n＋2）人。 【易错巩固5】妍妍发现许多中式建筑的窗格图案都是有规律的（如下图所示）。图1中有5个◇，图2中有8个◇，图3中有（ ）个◇，那么图n中有（ ）个◇。 【答案】11 3n＋2 【分析】观察图形：图1：5＝3×1＋2；图2：8＝3×2＋2；图3：11＝3×3＋2……规律：每往后一幅图，菱形数量增加3个，图n中有：3×n＋2。 【解答】图3： 3×3＋2 ＝9＋2 ＝11（个） 图n中有：3×n＋2＝3n＋2（或2＋3n） 【易错巩固6】围棋的起源可追溯到春秋中叶之前，在我国有悠久的历史。淘气和爸爸不仅是围棋高手，还喜欢利用围棋探索一些规律。星期天，爸爸在棋盘上摆出了如下图形，淘气好奇地研究起来：第7个图形中，黑棋有（ ）枚，第n个图形黑棋有（ ）枚。 【答案】16 2n＋2 【分析】第①个图形有5个棋子，1枚白棋，4枚黑棋； 第②个图形有8个棋子，2枚白棋，6枚黑棋； 第③个图形有11个棋子，3枚白棋，8枚黑棋； …… 第n个图形中一共有枚棋子，白棋有n枚，黑棋有枚。 【解答】第7个图形中，即时，黑棋有：（枚）； 第n个图形黑棋有枚。 【易错巩固7】观察下图中正方形的个数与直角三角形个数之间的关系。如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数用含有n的式子怎么表示？请写出思考的过程。 【答案】4（n－1）； 思考过程：观察图形可知，正方形的个数分别是2，3，4，……， 对应直角三角形的个数分别是4，8，12，……， 每增加一个正方形，就会增加4个直角三角形， 也就是4＝4×（2－1），8＝4×（3－1），12＝4×（4－1）……， 如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数为。 【分析】先观察图形，找正方形个数和直角三角形个数的对应关系： 当n＝2（2个正方形）时，直角三角形个数：4＝4×（2－1）； 当n＝3（3个正方形）时，直角三角形个数：8＝4×（3－1）； 当n＝4（4个正方形）时，直角三角形个数：12＝4×（4－1）； …… 可以发现规律：每增加1个正方形，就会增加4个直角三角形； 所以当正方形个数为n时，直角三角形的个数为：4（n－1）。 【解答】略 易错题型04 等式的性质 1、同时满足“等式左右两边执行完全相同的运算、运算后左右两边的大小关系仍保持相等”的变形结果，才是本单元认可的标准等式性质应用结论，随意在两边执行不同运算得到的变形结果不能作为有效变形依据。 2、判定等式的属性时，要明确等式是表示左右两边数值完全相等的数学式子，不能把含有不等号的式子和等式直接划等号，混淆二者的定义边界。 3、判定等式性质1的属性时，要明确等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等，不同的运算操作对应专属的性质适用场景，不能跨性质混用操作规则，违背等式变形的底层逻辑。 4、反向核验等式性质的变形结果时，对变形后的等式执行逆运算还原，最终得到的原始等式必须和初始给出的等式完全一致，不能出现等式两边数值错位的逻辑矛盾。 5、标注等式性质的变形过程时，要准确对应每一步变形所使用的性质编号和操作内容，避免出现性质名称错配、运算操作标注混乱的问题，导致等式变形的逻辑指代模糊。 6、处理等式性质2的判定场景时，要明确等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等，不能在两边同时除以0，得到不符合数学运算规则的错误结果。 7、同一道等式变形相关的题目中，等式的两边基准、性质的适用规则必须完全统一，不能中途随意改变一边的运算操作、更改性质的适用条件，打乱判定逻辑的严谨性。 【题型精讲4】已知3m＋5＝8n，下列等式依然成立的是（    ）。 A．（3m＋5）÷18＝8n×18 B．3m＋5×3＝8n×3 C．（3m＋5）÷9＝8n÷9 D．3m＋5＋6＝8n－6 【答案】C 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不是0的数，两边仍然相等。由此逐项判断即可。 【解答】A．因为，所以，，选项错误； B．因为，选项错误； C．因为，，选项正确； D．因为，，选项错误。 【易错巩固1】已知m＝n，则下面等式不成立的是（    ）。 A．9＋m＝n－9 B．1.5m＝1.5n C．m＋0.8＝n＋0.8 D．m÷2＝n÷2 【答案】A 【分析】依据等式的性质判断：等式两边同时加上或减去同一个数，或者同时乘、除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【解答】A．左边加9，右边减9，不符合等式的性质，等式不成立； B．等式两边同时乘1.5，可得，等式成立； C．等式两边同时加0.8，可得，等式成立； D．等式两边同时除以2，可得，等式成立； 所以等式不成立的是9＋m＝n－9。 【易错巩固2】已知，根据等式的性质，下面不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等式的性质：等式两边同时加或减同一个数，或同时乘、除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【解答】A．等式两边同时减3，可得，成立； B．等式两边同时除以2，可得，成立； C．等式左边乘5得，右边乘5得，与不相等，不成立； D．等式两边同时加，可得，成立。 【易错巩固3】如果a＝b（a、b不为0），根据等式的性质，则下列说法错误的是（    ）。 A．a＋c＝b＋c B．3a＝3b C．a－c＝b－a D．a÷4＝b÷4 【答案】C 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式； 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 根据等式的性质逐项验证各选项变形是否正确。 【解答】A．等式两边同时加上c，可得a＋c＝b＋c，符合等式的性质1，说法正确； B．等式两边同时乘3，可得，符合等式的性质2，说法正确； C．等式左边减去c，右边减去a，因为c与a不一定相等，不符合等式的性质1，说法错误； D．等式两边同时除以4，可得，符合等式的性质2，说法正确。 【易错巩固4】已知★＋50＝▲＋30，那么，▲－★＝（ ）。 【答案】20 【分析】我们可以根据等式的性质一，两边同时先减去30，再同时减去★，据此解答； 【解答】根据分析，解答如下： ★＋50＝▲＋30 解：★＋50－30＝▲＋30－30 ★＋20＝▲ ★＋20－★＝▲－★ ▲－★＝20 即★＋50＝▲＋30，那么，▲－★＝20 【易错巩固5】若80＋＝30＋（10＋），则－＝（ ）。 【答案】40 【分析】 先根据加法结合律去掉括号，原式化为：80＋＝30＋10＋，计算等式的右边，即30＋10＋＝40＋；再根据等式的性质1，等式两边分别减去和40，即可解答。 【解答】 80＋＝30＋（10＋） 80＋＝30＋10＋ 80＋＝40＋ 80＋－＝40＋－ 80＝40＋－ 80－40＝40＋－－40 40＝－ －＝40 若80＋＝30＋（10＋），则－＝40。 【易错巩固6】李华买了2个笔记本和5块橡皮，王强买了11块同样的橡皮，两人花的钱一样多。一个笔记本的价钱等于（ ）块橡皮的价钱。 【答案】3 【分析】根据题意，两人花的钱数相等，即李华购买物品的总价等于王强购买物品的总价。通过对比两人购买的物品清单，发现都有橡皮，可以利用等式的性质，从两边同时减去相同数量的橡皮，从而找出笔记本与橡皮价钱之间的倍数关系。 【解答】根据题意，两人花的钱一样多，可得等量关系： 2个笔记本的价钱＋5块橡皮的价钱＝11块橡皮的价钱 ， 根据等式的性质，等式两边同时减去5块橡皮的价钱，得： 2个笔记本的价钱＋5块橡皮的价钱－5块橡皮的价钱＝11块橡皮的价钱－5块橡皮的价钱， 即，2个笔记本的价钱＝6块橡皮的价钱 ， 则1个笔记本的价钱等于橡皮的块数为：，所以一个笔记本的价钱等于3块橡皮的价钱。 李华买了2个笔记本和5块橡皮，王强买了11块同样的橡皮，两人花的钱一样多。一个笔记本的价钱等于（3）块橡皮的价钱。 【易错巩固7】不计算，根据等式的规律，在圆圈里填写合适的运算符号，方框里填写正确的数。 38＋12＝50                               14×6＝84 38＋12＋7＝50                   14×6×3＝84 38＋12－15＝50                  14×6÷7＝84 38＋12＝50＋24                  14×6＝84÷3 【答案】＋，7；×，3； －，15；÷，7； ＋，24；÷，3 【分析】根据等式的性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立、等式的性质2：等式两边同时乘或者除以同一个不为0的数，等式仍然成立。据此解答。 【解答】38＋12＝50；14×6＝84 38＋12＋7＝50＋7；14×6×3＝84×3 38＋12－15＝50－15；14×6÷7＝84÷7 38＋12＋24＝50＋24；14×6÷3＝84÷3 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 用字母表示（一）易错专项讲义  易错题型01 用字母表示数量关系（1个未知数） 易错题型02 用字母表示运算定律及计算公式 易错题型03 用字母表示规律 易错题型04 等式的性质 易错题型01 用字母表示数量关系（1个未知数） 1、同时满足“字母的指代含义全程唯一、列出的关系式代入已知数值后能完全还原题干原始数量关系”的表达式，才是本单元认可的标准用字母表示数量关系结论，随意变更字母指代含义得到的关系式不能作为有效表达依据。 2、判定字母的属性时，要明确字母是用来替代某一固定未知量的符号，不能把字母和它代表的实际数值直接划等号，混淆二者的定义边界。 3、判定含字母式子的书写属性时，要明确数字和字母相乘时数字必须写在字母前面、乘号可以省略，不同的数量关系对应专属的规范书写形式，不能跨场景混用书写格式，违背代数表达的底层逻辑。 4、反向核验字母数量关系式时，把题干给出的已知数值代入表达式计算，最终得到的结果必须完全匹配题干隐含的逻辑结果，不能出现数量关系错位的逻辑矛盾。 5、标注含字母的数量关系式时，要准确对应字母的指代含义和式子的运算逻辑，避免出现字母指代错配、运算符号标注混乱的问题，导致数量关系的指代模糊。 6、处理含字母式子的单位标注场景时，要明确式子整体是和、差关系时必须先给整个式子加括号再标注单位，不能直接在加减关系的式子末尾直接写单位，得到不符合代数书写规范的错误结果。 7、同一道用字母表示数量关系的题目中，字母的指代对象、书写规范规则必须完全统一，不能中途随意切换字母的指代含义、更改式子的书写格式，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定“用字母表示运算结果”的场景时，要明确最终的含字母式子必须化简到最简形式，不能保留多余的乘号、也不能出现数字写在字母后面的不规范写法，违背代数化简的基本要求。 【题型精讲1】一个三位数，百位上的数字是a，个位上的数字是6，十位数字为0，能表示这个三位数的式子是（    ）。 A． a＋6 B．6×100＋a C．100a＋6 D．6a 【易错巩固1】今年明明岁，妈妈的年龄是他的3倍；再过5年，明明和妈妈相差（    ）岁。 A． B． C． D． 【易错巩固2】梨重x千克，西瓜的质量是梨的12倍，那么x＋12x表示的是（    ）。 A．西瓜重多少千克 B．梨和西瓜一共重多少千克 C．西瓜比梨重多少千克 D．梨重多少千克 【易错巩固3】某工地运来a吨沙子，用了10天，还剩b吨，平均每天用（    ）吨。 A．a－b÷10 B．（a－b）÷10 C．a÷10－b D．10a－b 【易错巩固4】一辆汽车每小时行60km，行驶xkm需要（ ）小时；y小时行驶（ ）km。 【易错巩固5】“小星星”小吃店共有38个座位。早上一开门，就进来了a位顾客入座就餐，服务员看到还有一些空座，这个小吃店目前有（ ）个空座。 【易错巩固6】某小学10名老师带领6个年级的学生参观西安城墙，平均每个年级有x名学生。一共有（ ）人参观西安城墙。 【易错巩固7】学校大礼堂楼上有m排座位，每排有26个座位，楼下有n个座位。26m表示（ ）；学校大礼堂一共有（ ）个座位。 【易错巩固8】某文具店出售的中性笔比圆珠笔贵1元钱，钢笔的价格是圆珠笔的4倍，用字母表示这三种笔的价格关系。 【易错巩固9】甲、乙两位送奶工每天分别送奶a袋和b袋。 （1）3月份甲、乙两人一共送奶多少袋？ （2）如果a＞b，乙一周（7天）比甲少送多少袋？ 易错题型02 用字母表示运算定律及计算公式 1、同时满足“完全匹配对应运算定律/公式的数学定义、字母指代含义全程唯一不冲突”的表达式，才是本单元认可的标准字母表达结论，随意篡改定律核心逻辑得到的表达式不能作为有效表达依据。 2、判定字母的属性时，要明确字母是运算定律/公式中固定参数的通用替代符号，不能把字母和它代表的具体数值直接划等号，混淆二者的定义边界。 3、判定字母表达式的书写属性时，要明确数字与字母、字母与字母相乘时乘号可省略且数字必须前置，不同定律/公式对应专属的规范书写形式，不能跨场景混用书写格式，违背代数表达的底层逻辑。 4、反向核验字母表达的运算定律时，代入任意符合条件的具体数值计算，定律左右两边的运算结果必须完全相等，不能出现运算结果前后矛盾的逻辑错误。 5、标注用字母表示的运算定律与公式时，要准确对应字母的专属指代含义，避免出现字母指代错配、运算符号标注混乱的问题，导致定律/公式的逻辑指代模糊。 6、处理正方形、长方形等几何图形的字母公式场景时，要明确面积单位的平方标记必须标注在字母右上角，不能把a2错误写成a×2或2a，得到不符合几何公式规范的错误结果。 7、同一道相关题目中，字母的指代对象、代数书写规范必须完全统一，不能中途随意切换字母的指代含义、更改公式的书写格式，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定用字母表示运算定律的场景时，要明确定律中的字母可以代表任意符合运算要求的数，不能人为给字母限定不符合定律定义的数值范围，违背运算定律的普适性要求。 【题型精讲2】小明用字母表示长方形的面积公式，正确的是（    ）。 A．S＝a＋b B．S＝a×b C．C＝2（a＋b） D．S＝a2 【易错巩固1】计算：am＋bm－cm＝m×______，横线上应填写（    ）。 A．（a＋m－c） B．（a＋b－c） C．（am＋b－c） D．（a＋bm－c） 【易错巩固2】58a－16a＝（58－16）a，这里运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．加法结合律 【易错巩固3】9＋5＝（9＋5）运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．加法结合律 【易错巩固4】可可画了一个边长是n厘米的正方形，那么它的周长是（ ）厘米。 【易错巩固5】23可以表示为10×2＋3，如果一个三位数百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c，那么这个三位数可以表示为（ ）。 【易错巩固6】这是应用了（ ）律，用字母表示：（ ）。 【易错巩固7】一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是（ ）平方米。 易错题型03 用字母表示规律 1、同时满足“完全匹配规律的递推逻辑、字母指代的变量含义全程唯一”的表达式，才是本单元认可的标准规律表达结论，随意篡改规律核心变化逻辑得到的表达式不能作为有效表达依据。 2、判定字母的属性时，要明确字母是规律中可变项的通用替代符号，不能把字母和某一组特定的数值直接划等号，混淆“通用规律”和“个例”的定义边界。 3、判定规律表达式的书写属性时，要明确数字与字母、字母与字母相乘时乘号可省略且数字必须前置，不同类型的规律对应专属的规范书写形式，不能跨场景混用书写格式，违背代数表达的底层逻辑。 4、反向核验字母表示的规律时，把题干给出的前几组已知数值代入表达式计算，得到的结果必须和题干给出的对应项数值完全相等，不能出现规律和已知项错位的逻辑矛盾。 5、处理数列类规律的判定场景时，要明确字母n代表正整数项数，不能给n代入0、负数等不符合实际项数意义的数值，得到不符合规律适用范围的错误结果。 6、同一道规律探究题目中，字母的指代对象、规律的递推逻辑必须完全统一，不能中途随意切换字母的指代含义、更改规律的变化规则，打乱判定逻辑的严谨性。 7、判定图形类规律的场景时，要明确字母代表的图形序号必须和图形的数量变化一一对应，不能只匹配前1-2组图形就直接下结论，必须验证至少3组已知图形都符合表达式，避免出现规律误判。 【题型精讲3】小军用小正方形卡纸摆图形（如下图），照这样摆下去，摆第n个图形要用（    ）个小正方形。 A．8n B．9n C．2n＋6 D．10n－9 【易错巩固1】观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（    ）个。 A．121 B．154 C．364 D．467 【易错巩固2】观察下图，每一个黑色圆周围都有6个白色圆，照这样的规律继续画下去，当画第个黑色圆时，一共画了（    ）个白色圆。 A． B． C． D． 【易错巩固3】如图，按照规律依次排下去，第9幅图有（    ）个。 …… A．27 B．28 C．29 【易错巩固4】如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要（ ）张桌子，n张桌子并起来可以坐（ ）人。 【易错巩固5】妍妍发现许多中式建筑的窗格图案都是有规律的（如下图所示）。图1中有5个◇，图2中有8个◇，图3中有（ ）个◇，那么图n中有（ ）个◇。 【易错巩固6】围棋的起源可追溯到春秋中叶之前，在我国有悠久的历史。淘气和爸爸不仅是围棋高手，还喜欢利用围棋探索一些规律。星期天，爸爸在棋盘上摆出了如下图形，淘气好奇地研究起来：第7个图形中，黑棋有（ ）枚，第n个图形黑棋有（ ）枚。 【易错巩固7】观察下图中正方形的个数与直角三角形个数之间的关系。如果正方形个数用n表示，那么直角三角形的个数用含有n的式子怎么表示？请写出思考的过程。 易错题型04 等式的性质 1、同时满足“等式左右两边执行完全相同的运算、运算后左右两边的大小关系仍保持相等”的变形结果，才是本单元认可的标准等式性质应用结论，随意在两边执行不同运算得到的变形结果不能作为有效变形依据。 2、判定等式的属性时，要明确等式是表示左右两边数值完全相等的数学式子，不能把含有不等号的式子和等式直接划等号，混淆二者的定义边界。 3、判定等式性质1的属性时，要明确等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等，不同的运算操作对应专属的性质适用场景，不能跨性质混用操作规则，违背等式变形的底层逻辑。 4、反向核验等式性质的变形结果时，对变形后的等式执行逆运算还原，最终得到的原始等式必须和初始给出的等式完全一致，不能出现等式两边数值错位的逻辑矛盾。 5、标注等式性质的变形过程时，要准确对应每一步变形所使用的性质编号和操作内容，避免出现性质名称错配、运算操作标注混乱的问题，导致等式变形的逻辑指代模糊。 6、处理等式性质2的判定场景时，要明确等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等，不能在两边同时除以0，得到不符合数学运算规则的错误结果。 7、同一道等式变形相关的题目中，等式的两边基准、性质的适用规则必须完全统一，不能中途随意改变一边的运算操作、更改性质的适用条件，打乱判定逻辑的严谨性。 【题型精讲4】已知3m＋5＝8n，下列等式依然成立的是（    ）。 A．（3m＋5）÷18＝8n×18 B．3m＋5×3＝8n×3 C．（3m＋5）÷9＝8n÷9 D．3m＋5＋6＝8n－6 【易错巩固1】已知m＝n，则下面等式不成立的是（    ）。 A．9＋m＝n－9 B．1.5m＝1.5n C．m＋0.8＝n＋0.8 D．m÷2＝n÷2 【易错巩固2】已知，根据等式的性质，下面不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固3】如果a＝b（a、b不为0），根据等式的性质，则下列说法错误的是（    ）。 A．a＋c＝b＋c B．3a＝3b C．a－c＝b－a D．a÷4＝b÷4 【易错巩固4】已知★＋50＝▲＋30，那么，▲－★＝（ ）。 【易错巩固5】若80＋＝30＋（10＋），则－＝（ ）。 【易错巩固6】李华买了2个笔记本和5块橡皮，王强买了11块同样的橡皮，两人花的钱一样多。一个笔记本的价钱等于（ ）块橡皮的价钱。 【易错巩固7】不计算，根据等式的规律，在圆圈里填写合适的运算符号，方框里填写正确的数。 38＋12＝50                               14×6＝84 38＋12＋7＝50                   14×6×3＝84 38＋12－15＝50                  14×6÷7＝84 38＋12＝50＋24                  14×6＝84÷3 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $