第四单元 用字母表示数（一） 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

第四单元 用字母表示数（一） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、用字母表示数量关系 2 1. 意义与作用 2 2. 代数式书写规范 2 3. 常见数量关系类型 2 二、用字母表示规律 3 1. 用字母表示运算定律 3 2. 用字母表示图形计算公式 3 3. 用字母表示数列与图形规律 3 4. 化简含有字母的式子 3 三、等式中的规律（等式的性质） 3 1. 等式的意义 3 2. 等式的性质 1（加减规律） 4 3. 等式的性质 2（乘除规律） 4 4. 等式性质的作用 4 四、易错点总结 4 考点讲练 4 考点一：用字母表示数量关系与书写规范 4 考点二：用字母表示规律与代入求值 6 考点三：等式的性质与应用 8 综合训练 10 知识梳理 一、用字母表示数量关系 1. 意义与作用 用字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的数量，能够简洁、概括地表达数量之间的关系，是从算术思维过渡到代数思维的基础。 优势：用字母表示的数量关系具有普遍性，可以代表一类问题的规律，不需要逐个列举具体数字。 2. 代数式书写规范 含有字母的数学式子叫做代数式，书写时需遵循统一规则： 数字与字母相乘：乘号可以记作 “・”，也可以省略不写；省略乘号时数字必须写在字母前面。 例： 写作 ，不能写成 。 字母与字母相乘：乘号直接省略，一般按字母表顺序书写。 例： 写作 。 数字 1 与字母相乘：数字 1 可以省略不写。 例： 写作 ，不写作 。 相同字母相乘：写成平方形式。 例： 写作 ，读作 “a 的平方”，表示两个 a 相乘。 带单位的加减式子：如果代数式是加法或减法关系，必须把整个式子用括号括起来，再写单位。 例：苹果有千克，梨比苹果多 5 千克，梨有 千克。 3. 常见数量关系类型 相差关系：甲数比乙数多，乙数为，则甲数 = ；甲数比乙数少，则甲数 = 。 倍数关系：甲数是乙数的倍，乙数为，则甲数 = 。 经典公式关系： 路程：（路程 = 速度 × 时间） 总价：（总价 = 单价 × 数量） 工作总量：（工作总量 = 工作效率 × 工作时间） 年龄规律：两个人的年龄差永远不变，用字母表示时，年龄差为固定数值，不随时间变化。 二、用字母表示规律 1. 用字母表示运算定律 用字母可以简明地表示四则运算的通用定律，适用于所有整数、小数和分数运算。 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 减法的性质： 2. 用字母表示图形计算公式 长方形：长，宽 周长：；面积： 正方形：边长 周长：；面积： 3. 用字母表示数列与图形规律 对于有规律的数列、图形排列，可以用字母表示第项的通用结果，也就是通项规律。 例：摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个三角形用 6 根小棒…… 摆个三角形用 根小棒。 核心方法：先找出数量随序号变化的关系，再用含字母的式子概括规律。 4. 化简含有字母的式子 合并同类项：含有相同字母的式子相加减，把字母前的数字相加减，字母保持不变。 例：； 连乘化简：数字与字母连乘，先计算数字的乘积，再写字母，省略乘号。 例： 三、等式中的规律（等式的性质） 1. 等式的意义 表示相等关系的式子叫做等式。等式左右两边相等，就像一架平衡的天平。 例：、 都是等式。 2. 等式的性质 1（加减规律） 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 字母表示：如果 ，那么 。 天平类比：天平两边同时放上或取下相同重量的砝码，天平依然平衡。 3. 等式的性质 2（乘除规律） 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立。 字母表示：如果 ，那么 ；如果 且，那么 。 注意：除数不能为 0，0 做除数没有意义。 4. 等式性质的作用 等式的性质是解方程的核心依据，通过对等式两边进行相同的运算，可以逐步求出未知数的值。 四、易错点总结 数字与字母相乘时顺序颠倒，误将字母写在数字前面；漏写或多写乘号。 混淆 和 ： 表示两个相乘， 表示两个相加，意义完全不同。 加减关系的代数式带单位时，忘记给式子加括号。 合并同类项时漏掉字母，误将 算成 3。 运用等式性质时，只对等式一边进行操作，另一边没有同步变化。 等式两边同时除以一个数时，忽略 “0 除外” 的前提条件。 考点讲练 考点一：用字母表示数量关系与书写规范 【典例精讲】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1） 可以写作 。（ ） （2） 写作 。（ ） （3） 表示 2 个相加。（ ） （4）小明身高厘米，小红比小明矮 8 厘米，小红身高 厘米。（ ） 【分析】 根据代数式的书写规范、平方的意义、数量关系的表达逐一判断，重点关注带单位的加减式子的书写要求。 【详解】 （1）数字与字母相乘，数字在前，省略乘号，写作，说法正确。 （2）1 与字母相乘时，1 要省略，应写作，不是，说法错误。 （3） 表示两个相乘，2 个相加是，说法错误。 （4） 是减法式子，带单位时应该加括号，即 厘米，说法错误。 【答案】（1）√；（2）×；（3）×；（4）× 【变式训练】 下列各式中，书写完全规范的是（ ）。 A. B. C. D. 【分析】 根据代数式书写规范：数字在前、字母在后，乘号省略，逐一排查选项。 【详解】 A 选项：数字应写在字母前面，应为，不规范； B 选项：数字与字母相乘应省略乘号，应为，不规范； C 选项：字母与字母相乘省略乘号，书写规范； D 选项：数字连乘应先计算结果，应为，不规范。 【答案】C 【变式训练】 填空。 （1）比多 25 的数是（ ）；比的 3 倍少 6 的数是（ ）。 （2）学校买来个足球，买来篮球的数量是足球的 4 倍，篮球有（ ）个，篮球比足球多（ ）个。 （3）每支钢笔元，买 5 支钢笔一共（ ）元，付 100 元，应找回（ ）元。 【分析】 根据数量关系列式：求多几用加法，求几倍用乘法，求找回的钱用减法；加减式子带单位要加括号。 【详解】 （1）比多 25：；的 3 倍是，少 6：。 （2）篮球数量：；篮球比足球多：。 （3）总价：元；找回：元。 【答案】（1）； （2）； （3）； 【变式训练】 爸爸今年 35 岁，儿子今年岁，10 年后爸爸比儿子大（ ）岁。 A. B. C. 10 【分析】 两人的年龄差是固定不变的，今年的年龄差就是 10 年后的年龄差，与经过的年数无关。 【详解】 今年爸爸比儿子大 岁，10 年后两人年龄同时增加 10 岁，年龄差保持不变，还是 岁。 【答案】A 考点二：用字母表示规律与代入求值 【典例精讲】 （1）用字母表示乘法分配律：（ ）。 （2）正方形边长是分米，它的周长是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。 （3）当时，求的值。 【分析】 前两题考查运算定律和图形公式的字母表达，第三题先代入数值，注意平方的计算顺序，再按四则运算计算。 【详解】 （1）乘法分配律： （2）正方形周长 = 边长 ×4，即；面积 = 边长 × 边长，即。 （3）当时， 【答案】（1） （2）； （3）50 【变式训练】 化简下面各式。 （1） （2） （3） 【分析】 前两题合并同类项，系数相加减，字母不变；第三题先计算数字乘积，再写字母。 【详解】 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【变式训练】 摆 1 个正方形需要 4 根小棒，摆 2 个正方形需要 7 根小棒，摆 3 个正方形需要 10 根小棒…… 按照这样的规律： （1）摆个正方形需要多少根小棒？ （2）当时，一共需要多少根小棒？ 【分析】 先找出规律：每增加 1 个正方形，增加 3 根小棒，推导出通用式子，再代入数值计算。 【详解】 （1）摆 1 个： 摆 2 个： 摆 3 个： 规律：摆个正方形需要 根小棒。 （2）当时， 答：一共需要 61 根小棒。 【答案】（1）根；（2）61 根 【变式训练】 当，时，求的值。 【分析】 把和的数值代入式子，还原乘号后先算乘法，再从左往右依次计算。 【详解】 当，时， 【答案】14.5 考点三：等式的性质与应用 【典例精讲】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。（ ） （2）等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。（ ） （3）等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。（ ） （4）如果 ，那么 。（ ） 【分析】 根据等式的两条性质逐一判断，重点关注除以一个数时必须满足 “0 除外” 的前提。 【详解】 （1）符合等式的性质 1，说法正确。 （2）符合等式的性质 2，乘任何数等式都成立，说法正确。 （3）没有说明 “0 除外”，除以 0 没有意义，说法错误。 （4）等式两边同时加 5，符合等式性质 1，等式仍然成立，说法正确。 【答案】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√ 【变式训练】 填空。 （1）如果 ，那么 （ ）。 （2）如果 ，那么 〇（ ）。 （3）如果 ，那么 〇（ ）。 【分析】 根据等式的性质：等式两边同时加或减、乘或除以同一个数（0 除外），等式仍然成立，对应填空。 【详解】 （1）等式左边减 8，右边也要减 8，填 8； （2）等式左边减 6，右边也要减 6，填、6； （3）等式左边除以 3，右边也要除以 3，填、3。 【答案】（1）8 （2）；6 （3）；3 【变式训练】 下列等式变形中，错误的是（ ）。 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 【分析】 根据等式的性质判断，重点注意除数不能为 0。 【详解】 A 选项：等式两边同时加 3，符合性质 1，变形正确； B 选项：等式两边同时乘 0，等式仍然成立，变形正确； C 选项：0 不能做除数，等式两边不能同时除以 0，变形错误。 【答案】C 【变式训练】 一架天平保持平衡，左盘放了 2 个重量相同的苹果，右盘放了 6 个重量相同的橘子。如果从左盘拿走 1 个苹果，右盘需要拿走几个橘子，天平仍然保持平衡？ 【分析】 根据等式的性质：等式两边同时除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立。先推出 1 个苹果对应几个橘子，再判断拿走的数量。 【详解】 由题意可知：2 个苹果的重量 = 6 个橘子的重量 等式两边同时除以 2，得：1 个苹果的重量 = 3 个橘子的重量 拿走 1 个苹果，相当于左边重量除以 2，右边也要同时除以 2，（个） 答：右盘需要拿走 3 个橘子，天平仍然平衡。 【答案】3 个 综合训练 1．已知某运算中，A#B＝3A＋2B，若2#（N#3）＝42，则N等于（    ）。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】首先根据自定义运算规则，A#B＝3A＋2B，先计算括号里面的N#3，得出结果3N＋6，再将其代入2#（N#3）即可求解。 【详解】N#3＝3N＋2×3＝3N＋6 2#（N#3）＝2#（3N＋6）＝3×2＋2×（3N＋6） 即3×2＋2×（3N＋6）＝42 6＋6N＋12＝42 6N＝42－12－6 6N＝24 N＝24÷6 N＝4 即N等于4。 2．一套餐桌由1张桌子和4把椅子组成，其中1张桌子的价格是元，1把椅子的价格是元，这套餐桌的价格是（    ）元。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该套餐桌由1张桌子和4把椅子组成。用椅子的单价乘数量算出椅子的总价；再把桌子钱和椅子的总价相加即可。 【详解】m＋n×4＝（m＋4n）元 这套餐桌的价格是（m＋4n）元。 3．一个两位小数，十位上的数字是a，十分位上的数字是b，百分位上的数字是c，其余数位上是0，能表示这个两位小数大小的式子是（    ）。 A．a＋b＋c B．a＋0.1b＋0.01c C．10a＋0.1b＋0.01c D．10a＋b＋0.1c 【答案】C 【分析】整数部分通常是一、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿……等，数字在哪个数位上，就表示有几个对应的计数单位； 计数单位就是数字计量单位，小数部分通常是0.1、0.01、0.001、……等，数字在哪个数位上，就表示有几个对应的计数单位； 十位上的数字是a，表示有a个10，也就是10×a＝10a；十分位上的数字是b，表示有b个0.1，也就是0.1×b＝0.1b；百分位上的数字是c，表示有c个0.01，也就是0.01×c＝0.01c；将3个数相加，可以表示出这个两位小数；据此解答。 【详解】根据分析： 十位上的数字是a，表示10×a＝10a； 十分位上的数字是b，表示0.1×b＝0.1b； 百分位上的数字是c，表示0.01×c＝0.01c； 所以能表示这个两位小数大小的式子是（10a＋0.1b＋0.01c）。 故答案为：C 4．梨每千克a元，苹果每千克10元。妈妈买了6千克梨和5千克的苹果，一共花了多少元，以下列式正确的是（    ）。 A．（a＋10）×（5＋6） B．a×5＋10×6 C．（a＋10）×5＋10 D．a×6＋10×5 【答案】D 【分析】总价＝单价×数量。由题意得，可以用梨的单价乘梨的数量算出梨的总价，再用苹果的单价乘苹果的数量算出苹果的总价。最后再把两部分相加即可算出一共花了多少元，列式为：a×6＋10×5。 【详解】求一共花了多少元，正确的列式为：a×6＋10×5。 故答案为：D 5．龙华区土地面积比福田区土地面积的2倍还多18.28平方千米。关于龙华区土地面积与福田区土地面积的数量关系描述正确的是（    ）。 A．福田区土地面积龙华区土地面积 B．龙华区土地面积福田区土地面积 C．福田区土地面积龙华区土地面积 D．龙华区土地面积福田区土地面积 【答案】A 【分析】本题考查用含有字母的式子表示数量关系或根据文字描述列出等量关系式。解题关键是找准单位“1"的量，根据“比……的几倍多（或少）几”的句式确定运算方法。题干中“龙华区土地面积比福田区土地面积的 2 倍还多 18.28 平方千米”，是以福田区土地面积为标准量，龙华区土地面积是比较量，关系为：福田区土地面积乘 2 加 18.28 等于龙华区土地面积。 【详解】分析题干中的数量关系：题干描述为“龙华区土地面积比福田区土地面积的2倍还多18.28平方千米”。其中，“福田区土地面积”是单位“1”的量。“比……的 2 倍”表示乘法运算，即福田区土地面积。“还多18.28”表示加法运算，即在乘积的基础上加上18.28。结果等于“龙华区土地面积”。所以，等量关系式为：福田区土地面积龙华区土地面积。 A．福田区土地面积龙华区土地面积，符合上述推导的等量关系式，此选项正确； B．龙华区土地面积福田区土地面积，将比较量与标准量位置颠倒，此选项错误； C．福田区土地面积龙华区土地面积，题干中是“多 18.28"，应使用加法，此处使用减法，此选项错误； D．龙华区土地面积福田区土地面积，既颠倒了位置又错误使用了运算符号，此选项错误。 6．如图所示，天平中的物体a、b、c使天平处于平衡状态，则物体a与物体c的质量关系是（    ）。 A．2a＝3c B．a＝9c C．a＝2c D．a＝c 【答案】B 【分析】两个天平都处于平衡状态，由左边的天平可知，a＝3b，由右边的天平可知，b＝3c，结合两个天平得出的结果可知：a＝（3×3）c。 【详解】根据分析： 3×3＝9 则a＝9c。 7．如果◇－★＝8，◇＋★＝12，△＝◇＋◇＋★，那么◇＝( )，△＝( )。 【答案】 10 22 【分析】观察已知的两个等式，发现左边分别是◇与★的差和和。根据等式的性质，将两个等式左边相加、右边相加，可以消去★，从而求出◇的值。求出◇后，观察△的表达式，发现其中包含◇＋★，可直接利用已知条件进行整体代入计算，求出△的值。 【详解】◇－★＋（◇＋★）＝8＋12 ◇－★＋◇＋★＝20 2◇＝20 2◇÷2＝20÷2 ◇＝10 因为◇－★＝8，★＝10－8＝2， △＝◇＋◇＋★＝10＋10＋2＝22。 8．少先队员参加植树活动，一共种植了175棵苹果树，比桃树的3倍多25棵。本题中的等量关系式可以表示为：( )的棵数×3＋25＝( )的棵数。 【答案】 桃树 苹果树 【分析】种植苹果树的棵数比种植桃树的3倍多25棵，求倍数，用乘法，即桃树的棵数×3＋25＝苹果树的棵数，据此解答。 【详解】根据分析可知，少先队员参加植树活动，一共种植了175棵苹果树，比桃树的3倍多25棵。本题中的等量关系式可以表示为：桃树的棵数×3＋25＝苹果树的棵数。 9．如图中的等量关系用含有字母的式子表示为__________。 【答案】 【分析】天平的左边表示x千克加上0.9千克，天平的右边表示2.7千克，天平平衡，即天平左边的质量等于右边的质量，据此列式即可。 【详解】图中的等量关系用含有字母的式子表示为： 10．每千克桃子a元，每千克梨b元，买3.6千克桃子和1千克梨一共需要( )元。 【答案】 【分析】桃子单价元每千克，梨单价元每千克，求千克桃子加千克梨的总价钱，单价×数量＝总价，两种物品总价相加得到总花费，分别算出桃子总价、梨总价，再求和。 【详解】千克桃子总价： 千克梨总价： 总价钱： 11．四年级学生植树棵，五年级植树的棵数是四年级的1.6倍。四、五年级一共植树( )棵。 【答案】 【分析】根据五年级植树的棵数是四年级的1.6倍，用四年级植树的棵树乘1.6，可求得五年级学生植树的棵树，再用四年级和五年级学生植树的棵树相加，即可求得四、五年级一共植树多少棵。 【详解】因为四年级学生植树棵，五年级植树的棵数是四年级的1.6倍，所以五年级植树的棵数为1.6y棵。因为y＋1.6y＝2.6y，所以四、五年级一共植树棵。 12．排球的价格是a元，篮球的价格比排球的3倍少5元，篮球的价格是( )元。 【答案】3a－5 【分析】根据题意可知，排球的价格乘3，再减去5元，等于篮球的价格，据此用字母表示出篮球的价格。 【详解】a×3－5＝（3a－5）元 13．修一条a千米长的公路，每天修2.5千米，修了x天，还剩( )千米没修。 【答案】 【分析】。已经修的部分的工作总量可以根据每天修的长度（工作效率）和修的天数（工作时间）来计算，然后用公路的总长度减去已经修的长度，就能得到没修的长度。 【详解】已知每天修2.5千米，修了x天，根据上述工作总量的计算方法，已经修的长度就是每天修的长度乘以修的天数，即已经修了（千米）。 又已知公路总长度是a千米，那么没修的长度就等于公路的总长度减去已经修的长度，所以还剩（）千米没修。 14．仓库里有m吨粮食，如果每天运出4.5吨，运了n天，还剩余( )吨粮食；已知，，则剩余( )吨粮食。 【答案】 【分析】（1）仓库里有m吨粮食，如果每天运出4.5吨，运了n天，运走（）吨，求还剩余多少吨粮食，用m－，化简式子即可； （2）把代入（1）中求得的式子里，求得结果即可。 【详解】求还剩余多少吨粮食： 吨 把代入（1）中求得的式子里： （吨） 所以还剩余吨粮食，已知，，则剩余52.5吨粮食。 15．1897年美国科学家多贝尔通过实验得出雪树蟋蟀测温公式：，T代表气温，代表蟋蟀每分钟鸣叫次数。当蟋蟀每分钟鸣叫215次时，此时的气温是( )。 【答案】35 【分析】将N＝215代入公式T＝10＋（N－40）÷7，按运算顺序先算括号里的减法，再算除法，最后加10。 【详解】T＝10＋（215－40）÷7 ＝10＋175÷7 ＝10＋25 ＝35（℃） 16．多彩的课后社团活动丰富了学校的延时服务。某小学的剪纸社团中，男生有x人，女生的人数是男生的3.5倍，女生比男生多( )人，这个社团一共有( )人。 【答案】 2.5x 4.5x 【分析】根据“求一个数的几倍是多少，用乘法计算”，用男生人数乘倍数得到女生人数；求女生比男生多的人数，用女生人数减去男生人数即可；求社团总人数，用女生人数加上男生人数即可。 【详解】x×3.5＝3.5x（人） 3.5x－x＝2.5x（人） x＋3.5x＝4.5x（人） 因此，女生比男生多2.5x人，这个社团一共有4.5x人。 17．果园里有苹果树x棵，桃树的棵数是苹果树的3倍。 (1)用含有字母的式子表示苹果树和桃树一共有多少棵？ (2)当时，苹果树和桃树一共有多少棵？ 【答案】(1)棵 (2)棵 【分析】（1）苹果树有棵，桃树棵数是苹果树的倍，求一个数的几倍是多少，用乘法计算，桃树有棵。求总棵数需将苹果树和桃树的棵数相加，利用乘法分配律化简含有字母的式子； （2）将代入化简后的式子，按照运算顺序计算出具体数值即可。 【详解】（1）（1） （棵） 答：苹果树和桃树一共有棵。 （2）（2）当时 （棵） 答：苹果树和桃树一共有棵。 18．如图，1张桌子可坐4人，2张桌子拼起来可坐6人，3张桌子拼起来可坐8人…… 1张桌子      2张桌子         3张桌子 （1）12张桌子拼起来可坐多少人？ （2）如果一共有58人，那么需要多少张桌子拼起来才够坐？ 【答案】（1）26人        （2）28张 【分析】（1）结合题意可知，第一张桌子坐的人数是4人，第二张桌子坐的人数是6人，第三张桌子坐的人数是8人，观察发现每增加一张桌子，可以坐的人数就增加了2人，再进一步观察，2张桌子在第一张的基础上增加了1张桌子，人数增加了2×1人，3张桌子在第一张的基础上增加了2张桌子，人数增加了2×2人，按照此规律，第n张桌子在第一张桌子的基础上增加了（n－1）×2人，把n＝12代入，再加上第一张桌子的人数，就是12张桌子拼起来可坐多少人。 （2）结合（1）分析， 如果一共有58人，先减去第一张桌子固定不变的人数，剩下的人数再除以2就可以得出在第一张桌子的基础上拼出的桌子数，再加上第一张桌子，就是总的桌子数。 【详解】（1）4＋（12－1）×2 ＝4＋2×11 ＝4＋22 ＝26（人） 答：12张桌子拼起来可坐26人。 （2）（58－4）÷2 ＝54÷2 ＝27（张） 27＋1＝28（张） 答：如果一共有58人，那么需要28张桌子拼起来才够坐。 19．坪房小学开展“废品回收助力环保”活动。六一中队45名同学回收塑料瓶，每人回收a个。 （1）用含有字母的式子表示这个中队回收塑料瓶的总个数。 （2）根据这个式子，当a＝30时，这个中队共回收了多少个塑料瓶？ 【答案】（1）45a个 （2）1350个 【分析】（1）根据乘法的意义，用每人回收的个数乘这个中队的人数，即可表示这个中队回收塑料瓶的总个数。 （2）把a＝30代入（1）所得的式子中计算，即可求值。 【详解】（1）通过分析可得：这个中队回收塑料瓶的总个数是45a个。 （2）当a＝30时，45a＝45×30＝1350（个）。 答：这个中队共回收了1350个塑料瓶。 20．一辆客车每小时行驶60千米，从甲地到乙地，行驶了t小时。 （1）用含有字母的式子表示出客车从甲地到乙地行驶的总路程？ （2）当t＝4时，客车从甲地到乙地行驶的总路程是多少千米？ 【答案】（1）（60t）千米；（2）240千米 【分析】（1）速度×时间＝路程，据此表示出客车从甲地到乙地行驶的总路程； （2）将t＝4代入（1）得出的式子中，求出客车从甲地到乙地行驶的总路程是多少千米。 【详解】（1）客车从甲地到乙地行驶的总路程用字母表示为（60t）千米。 （2）60t ＝60×4 ＝240（千米） 答：客车从甲地到乙地行驶的总路程是240千米。 21．著名篮球运动员姚明的身高是226厘米。分别用画图和等式表示出妹妹的身高与姚明、笑笑身高的关系。 【答案】见详解 【分析】妹妹的身高乘2等于姚明的身高，妹妹的身高加20厘米等于笑笑的身高；先画一条线段表示妹妹的身高，再画一条线段是妹妹线段长度的2倍，用来表示姚明的身高，并用226厘米标出，再画一条线段比妹妹线段长一点的线段，长的部分表示20厘米，据此画出线段图和用等式表示出妹妹的身高与姚明、笑笑身高的关系。 【详解】 妹妹的身高＋20厘米＝笑笑的身高 妹妹的身高×2＝姚明的身高 【点睛】分析清楚三人身高之间的数量关系是解答本题的关键。 22． （1）小明买x本日本记和一个足球要用多少元？（用式子表示） （2）王老师买了a个排球，n个足球，共花了多少元？（用式子表示）当，时。求出总价。 【答案】（1）（2x＋36）元 （2）（42a＋36n）元；318元 【分析】（1）根据数量关系：日记本的本数×单价＋足球的单价即可解答； （2）根据数量关系：排球的个数×单价＋足球个数×单价即可列出一共花掉的钱数，再把a＝5，n＝3代入即可解答此类问题。 【详解】（1）x×2＋36＝（2x＋36）元 答：小明买x本日记本和一个足球要用（2x＋36）元。 （2）a×42＋n×36＝（42a＋36n）元 当a＝5，n＝3时， 42a＋36n ＝42×5＋36×3 ＝210＋108 ＝318（元） 答：共花了318元。 【点睛】本题需要先找清楚已知和要求的量，找出数量关系，用字母代替数字表示出来即可。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 用字母表示数（一） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、用字母表示数量关系 2 1. 意义与作用 2 2. 代数式书写规范 2 3. 常见数量关系类型 2 二、用字母表示规律 3 1. 用字母表示运算定律 3 2. 用字母表示图形计算公式 3 3. 用字母表示数列与图形规律 3 4. 化简含有字母的式子 3 三、等式中的规律（等式的性质） 3 1. 等式的意义 3 2. 等式的性质 1（加减规律） 4 3. 等式的性质 2（乘除规律） 4 4. 等式性质的作用 4 四、易错点总结 4 考点讲练 4 考点一：用字母表示数量关系与书写规范 4 考点二：用字母表示规律与代入求值 5 考点三：等式的性质与应用 6 综合训练 7 知识梳理 一、用字母表示数量关系 1. 意义与作用 用字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的数量，能够简洁、概括地表达数量之间的关系，是从算术思维过渡到代数思维的基础。 优势：用字母表示的数量关系具有普遍性，可以代表一类问题的规律，不需要逐个列举具体数字。 2. 代数式书写规范 含有字母的数学式子叫做代数式，书写时需遵循统一规则： 数字与字母相乘：乘号可以记作 “・”，也可以省略不写；省略乘号时数字必须写在字母前面。 例： 写作 ，不能写成 。 字母与字母相乘：乘号直接省略，一般按字母表顺序书写。 例： 写作 。 数字 1 与字母相乘：数字 1 可以省略不写。 例： 写作 ，不写作 。 相同字母相乘：写成平方形式。 例： 写作 ，读作 “a 的平方”，表示两个 a 相乘。 带单位的加减式子：如果代数式是加法或减法关系，必须把整个式子用括号括起来，再写单位。 例：苹果有千克，梨比苹果多 5 千克，梨有 千克。 3. 常见数量关系类型 相差关系：甲数比乙数多，乙数为，则甲数 = ；甲数比乙数少，则甲数 = 。 倍数关系：甲数是乙数的倍，乙数为，则甲数 = 。 经典公式关系： 路程：（路程 = 速度 × 时间） 总价：（总价 = 单价 × 数量） 工作总量：（工作总量 = 工作效率 × 工作时间） 年龄规律：两个人的年龄差永远不变，用字母表示时，年龄差为固定数值，不随时间变化。 二、用字母表示规律 1. 用字母表示运算定律 用字母可以简明地表示四则运算的通用定律，适用于所有整数、小数和分数运算。 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 减法的性质： 2. 用字母表示图形计算公式 长方形：长，宽 周长：；面积： 正方形：边长 周长：；面积： 3. 用字母表示数列与图形规律 对于有规律的数列、图形排列，可以用字母表示第项的通用结果，也就是通项规律。 例：摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个三角形用 6 根小棒…… 摆个三角形用 根小棒。 核心方法：先找出数量随序号变化的关系，再用含字母的式子概括规律。 4. 化简含有字母的式子 合并同类项：含有相同字母的式子相加减，把字母前的数字相加减，字母保持不变。 例：； 连乘化简：数字与字母连乘，先计算数字的乘积，再写字母，省略乘号。 例： 三、等式中的规律（等式的性质） 1. 等式的意义 表示相等关系的式子叫做等式。等式左右两边相等，就像一架平衡的天平。 例：、 都是等式。 2. 等式的性质 1（加减规律） 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 字母表示：如果 ，那么 。 天平类比：天平两边同时放上或取下相同重量的砝码，天平依然平衡。 3. 等式的性质 2（乘除规律） 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立。 字母表示：如果 ，那么 ；如果 且，那么 。 注意：除数不能为 0，0 做除数没有意义。 4. 等式性质的作用 等式的性质是解方程的核心依据，通过对等式两边进行相同的运算，可以逐步求出未知数的值。 四、易错点总结 数字与字母相乘时顺序颠倒，误将字母写在数字前面；漏写或多写乘号。 混淆 和 ： 表示两个相乘， 表示两个相加，意义完全不同。 加减关系的代数式带单位时，忘记给式子加括号。 合并同类项时漏掉字母，误将 算成 3。 运用等式性质时，只对等式一边进行操作，另一边没有同步变化。 等式两边同时除以一个数时，忽略 “0 除外” 的前提条件。 考点讲练 考点一：用字母表示数量关系与书写规范 【典例精讲】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1） 可以写作 。（ ） （2） 写作 。（ ） （3） 表示 2 个相加。（ ） （4）小明身高厘米，小红比小明矮 8 厘米，小红身高 厘米。（ ） 【变式训练】 下列各式中，书写完全规范的是（ ）。 A. B. C. D. 【变式训练】 填空。 （1）比多 25 的数是（ ）；比的 3 倍少 6 的数是（ ）。 （2）学校买来个足球，买来篮球的数量是足球的 4 倍，篮球有（ ）个，篮球比足球多（ ）个。 （3）每支钢笔元，买 5 支钢笔一共（ ）元，付 100 元，应找回（ ）元。 【变式训练】 爸爸今年 35 岁，儿子今年岁，10 年后爸爸比儿子大（ ）岁。 A. B. C. 10 考点二：用字母表示规律与代入求值 【典例精讲】 （1）用字母表示乘法分配律：（ ）。 （2）正方形边长是分米，它的周长是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。 （3）当时，求的值。 【变式训练】 化简下面各式。 （1） （2） （3） 【变式训练】 摆 1 个正方形需要 4 根小棒，摆 2 个正方形需要 7 根小棒，摆 3 个正方形需要 10 根小棒…… 按照这样的规律： （1）摆个正方形需要多少根小棒？ （2）当时，一共需要多少根小棒？ 【变式训练】 当，时，求的值。 考点三：等式的性质与应用 【典例精讲】 判断下列说法是否正确，对的画 “√”，错的画 “×”。 （1）等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。（ ） （2）等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。（ ） （3）等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。（ ） （4）如果 ，那么 。（ ） 【变式训练】 填空。 （1）如果 ，那么 （ ）。 （2）如果 ，那么 〇（ ）。 （3）如果 ，那么 〇（ ）。 【变式训练】 下列等式变形中，错误的是（ ）。 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 【变式训练】 一架天平保持平衡，左盘放了 2 个重量相同的苹果，右盘放了 6 个重量相同的橘子。如果从左盘拿走 1 个苹果，右盘需要拿走几个橘子，天平仍然保持平衡？ 综合训练 1．已知某运算中，A#B＝3A＋2B，若2#（N#3）＝42，则N等于（    ）。 A．6 B．5 C．4 D．3 2．一套餐桌由1张桌子和4把椅子组成，其中1张桌子的价格是元，1把椅子的价格是元，这套餐桌的价格是（    ）元。 A． B． C． D． 3．一个两位小数，十位上的数字是a，十分位上的数字是b，百分位上的数字是c，其余数位上是0，能表示这个两位小数大小的式子是（    ）。 A．a＋b＋c B．a＋0.1b＋0.01c C．10a＋0.1b＋0.01c D．10a＋b＋0.1c 4．梨每千克a元，苹果每千克10元。妈妈买了6千克梨和5千克的苹果，一共花了多少元，以下列式正确的是（    ）。 A．（a＋10）×（5＋6） B．a×5＋10×6 C．（a＋10）×5＋10 D．a×6＋10×5 5．龙华区土地面积比福田区土地面积的2倍还多18.28平方千米。关于龙华区土地面积与福田区土地面积的数量关系描述正确的是（    ）。 A．福田区土地面积龙华区土地面积 B．龙华区土地面积福田区土地面积 C．福田区土地面积龙华区土地面积 D．龙华区土地面积福田区土地面积 6．如图所示，天平中的物体a、b、c使天平处于平衡状态，则物体a与物体c的质量关系是（    ）。 A．2a＝3c B．a＝9c C．a＝2c D．a＝c 7．如果◇－★＝8，◇＋★＝12，△＝◇＋◇＋★，那么◇＝( )，△＝( )。 8．少先队员参加植树活动，一共种植了175棵苹果树，比桃树的3倍多25棵。本题中的等量关系式可以表示为：( )的棵数×3＋25＝( )的棵数。 9．如图中的等量关系用含有字母的式子表示为__________。 10．每千克桃子a元，每千克梨b元，买3.6千克桃子和1千克梨一共需要( )元。 11．四年级学生植树棵，五年级植树的棵数是四年级的1.6倍。四、五年级一共植树( )棵。 12．排球的价格是a元，篮球的价格比排球的3倍少5元，篮球的价格是( )元。 13．修一条a千米长的公路，每天修2.5千米，修了x天，还剩( )千米没修。 14．仓库里有m吨粮食，如果每天运出4.5吨，运了n天，还剩余( )吨粮食；已知，，则剩余( )吨粮食。 15．1897年美国科学家多贝尔通过实验得出雪树蟋蟀测温公式：，T代表气温，代表蟋蟀每分钟鸣叫次数。当蟋蟀每分钟鸣叫215次时，此时的气温是( )。 16．多彩的课后社团活动丰富了学校的延时服务。某小学的剪纸社团中，男生有x人，女生的人数是男生的3.5倍，女生比男生多( )人，这个社团一共有( )人。 17．果园里有苹果树x棵，桃树的棵数是苹果树的3倍。 (1)用含有字母的式子表示苹果树和桃树一共有多少棵？ (2)当时，苹果树和桃树一共有多少棵？ 18．如图，1张桌子可坐4人，2张桌子拼起来可坐6人，3张桌子拼起来可坐8人…… 1张桌子      2张桌子         3张桌子 （1）12张桌子拼起来可坐多少人？ （2）如果一共有58人，那么需要多少张桌子拼起来才够坐？ 19．坪房小学开展“废品回收助力环保”活动。六一中队45名同学回收塑料瓶，每人回收a个。 （1）用含有字母的式子表示这个中队回收塑料瓶的总个数。 （2）根据这个式子，当a＝30时，这个中队共回收了多少个塑料瓶？ 20．一辆客车每小时行驶60千米，从甲地到乙地，行驶了t小时。 （1）用含有字母的式子表示出客车从甲地到乙地行驶的总路程？ （2）当t＝4时，客车从甲地到乙地行驶的总路程是多少千米？ 21．著名篮球运动员姚明的身高是226厘米。分别用画图和等式表示出妹妹的身高与姚明、笑笑身高的关系。 22． （1）小明买x本日本记和一个足球要用多少元？（用式子表示） （2）王老师买了a个排球，n个足球，共花了多少元？（用式子表示）当，时。求出总价。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $