2.2.3用因式分解法求解一元二次方程 课时练习 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦因式分解法解一元二次方程，分层设计从基础运算到综合应用，梯度合理，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一因式分解法（提公因式、十字相乘）|直接考查解方程步骤，如单选1-3、解答15| |中档|结合实际问题与换元法|融入直角三角形边长（单选4）、新定义运算（填空9）| |提升|几何应用与规律探究|涉及平行四边形周长计算（单选8）、方程解规律分析（解答18）|

2.2.3用因式分解法求解一元二次方程 课时练习 一、单选题 1．方程 的根是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（　　） A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1 3．方程 的解是（　　） A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0 4．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（　　） A．6或8 B．10或 C．10或8 D． 5．方程 的解为（　　） A． B． C． ， D． ， 6．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4 （x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　） A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5 7．已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy-y2=0的，则 （　　） A．1 B．1或 C．1或﹣ D．﹣ 8．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．12-6 B．6 +12 C．4+2 D．4-2 二、填空题 9．对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为　 　. 10．如图是一张长 ，宽 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　 　 ． 11．当x=　 　时，代数式x2+4x的值与代数式2x+3的值相等. 12．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）． 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0， 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解． 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　 　． 13．已知实数 ， ， ， 满足 ，若 ，则 　 　. 14．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式 的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当a＝b时，a的值是　 　． （2）当a≠b时，代数式 的值是　 　． 三、解答题 15．解方程： （1） ． （2） ． （3） . （4）2（x﹣3）=3x（x﹣3）． （5）x2﹣1＝3（x+1）. 16．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 17．阅读例题，解答下题． 范例：解方程：x2+∣x+1∣﹣1=0 解：⑴当x+1≥0，即x≥﹣1时， x2+x+1﹣1=0 x2+x=0 解得x1=0，x2=﹣1 ⑵当x+1<0，即x<﹣1时， x2﹣(x+1)﹣1=0 x2﹣x﹣2=0 解得x1=﹣1，x2=2 ∵x<﹣1，∴x1=﹣1，x2=2都舍去. 综上所述，原方程的解是x1=0，x2=﹣1 依照上例解法，解方程：x2﹣2∣x－2∣－4=0 18．如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程. 序号 方程 方程的解 1 x2+x﹣2﹣＝0 x1＝﹣2 x2＝1 2 x2+2x﹣8﹣＝0 x1＝﹣4 x2＝2 3 x2+3x﹣18＝0 x1＝ x2＝ … … … … （1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处； （2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解. （3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴x+7=0，x-8=0， ∴x1=-7，x2=8． 故答案为：C． 【分析】利用因式分解——十字相乘法解方程即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2， ∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x＝2或x＝1， 故答案为：C． 【分析】先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 或 ， 故答案为：B. 【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8 当8为直角边时，第三边 当8为斜边长时，第三边 故答案为：B. 【分析】先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果. 5．【答案】D 【解析】【解答】解： ， 故答案为：D． 【分析】将方程右边的式子移到方程的左边，再对方程左边的式子因式分解，解出x的值即可． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0， 因式分解，可得(a-1)(a+5)=0， ∴a=1或a=-5（舍去）， ∴x2-2x+1=1. 故答案为：C. 【分析】首先令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，然后对其因式分解就可得到a的值，最后进行取舍即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：3x2﹣2xy-y2=0 （3x+y）(x-y)=0 ∴3x+y=0或x-y=0 解得： 或 1， 故答案为：C． 【分析】运用因式分解法解出方程即可求出结论． 8．【答案】C 【解析】【解答】x2+2x－3=0， （x－1）（x+3）=0， 即x=1或－3， a=1， AE=EB=EC=1， 在Rt 中，AB= ，BC=2， 的周长=2（AB+BC）=4+ ． 故答案为：C． 【分析】先解方程求得a的值，再根据勾股定理求得AB的长度，从而计算出 的周长即可． 9．【答案】-1或2 【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ， 整理可得 ， 解得 ， ， 故答案为：-1或2. 【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可. 10．【答案】 【解析】【解答】设底面长为a，宽为b，正方形边长为x， 由题意得： ， 解得a=10－2x，b=6－x，代入ab=24中得： (10－2x)(6－x)=24， 整理得：2x2－11x+18=0． 解得x=2或x=9(舍去)． 故答案为2． 【分析】根据题意设出未知数，列出三组等式解出即可． 11．【答案】1或-3 【解析】【解答】x2＋4x＝2x＋3，整理得，x2＋2x−3＝0，解得，x1＝1，x2＝−3， ∴当x＝−3或1时，代数式x2＋4x的值与代数式2x＋3的值相等. 故答案为：1或-3. 【分析】根据两个代数式的值相等可得关于x的方程，解方程即可求解. 12．【答案】x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ 【解析】【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0， 解得x＝2或x＝﹣1 ， 故答案为：x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ． 【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得． 13．【答案】 或 【解析】【解答】解：根据题中的新定义得： ，即 ， 因式分解得： ， 解得： . 故答案为： 或 . 【分析】利用新定义可得到关于a的方程；再利用因式分解法求出方程的解. 14．【答案】（1）-2或1 （2）7 【解析】【解答】解：（1）当a=b时， a2+2a=a+2 a2+a-2=0 ∴（a+2）（a-1）=0 解之：a=-2或1. （2） 由①-②得 a2-b2+3（a-b）=0 （a-b）（a+b）+3（a-b）=0 ∴（a-b）（a+b+3）=0 ∵a≠b ∴a-b≠0 ∴a+b=-3； 由①+②得a2+b2+a+b=4 ∴a2+b2=7 ∵(a+b)2=9， ∴a2+b2+2ab=9 解之：ab=1 ∴ 【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值. （2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为 ，整体代入可求解. 15．【答案】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． 【分析】先求出 ， 再计算求解即可。 （2）解： ， ， ， 或 ， 解得： ， 【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。 （3）解：移项得： ， 提公因式x-1得： ， ∴ 或 ， 解得： ， . 【解析】【分析】观察方程的特点：左右两边含有公因式（x-1），由此先移项，再利用因式分解法求出方程的解. （4）解：2（x﹣3）=3x（x﹣3）， 移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0， 整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0， x﹣3=0或2﹣3x=0， 解得：x1=3或x2= 【解析】【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，再利用提公因式法将左边分解因式，根据两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次，解降次后的方程，即可得出原方程的解， （5）解： 整理得： 或 【解析】【分析】把方程整理为 再利用因式分解把方程化为： 从而可得答案. 16．【答案】解：小敏：×，小霞：×； 移项：得3（x-3）-（x-3）2=0， 提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0， 法括号，得(x-3)(3-x+3)=0， 则x-3=0或6-x=0， 解得x1=3，x2=6. 【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可. 17．【答案】(1)当x﹣2≥0，即x≥2时， x2﹣2（x﹣2）﹣4=0 x2-2x=0 解得x1=0，x2=2 ∵x≥2，∴x1=0 舍去 ⑵当x﹣2<0，即x<2时， x2+2（x﹣2）﹣4=0 x2+2x﹣8=0 解得x1=﹣4 ，x2=2 ∵x<2，∴x2=2舍去. 综上所述，原方程的解是x1=2，x2=﹣4. 【解析】【分析】根据题中所给的材料把绝对值符号内的x+2分两种情况讨论（x+2≥0和x+2＜0），去掉绝对值符号后再解方程求解． 18．【答案】（1）-6|3 （2）解：方程规律：x2+1•x﹣12•2＝0， x2+2•x﹣22•2＝0， x2+3•x﹣32•2＝0， 即第10个方程为：x2+10x﹣102•2＝0， 所以第10个方程为：x2+10x﹣200＝0， 解得x＝ ， ∴x1＝10，x2＝﹣20 （3）解：由（2）得：第n个方程为：x2+nx﹣2n2＝0， 方程的两根为：x1＝﹣2n，x2＝n 【解析】【解答】解：（1）∵x2+3x﹣18＝0 即（x+6）（x﹣3）＝0 ∴x+6＝0或x﹣3＝0 ∴x1＝﹣6，x2＝3； 故答案为：-6，3； 【分析】（1）观察表格中的方程和方程的解可知：方程的解分别为x1=-2n,x2=n，根据这个规律可求解； （2）观察表格中的方程可知：方程中的二次项系数为1，一次项系数为n,常数项为-2n2，结合（1）的规律和一元二次方程的求根公式x=可求解； （3）结合（1）和（2）的规律可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $