黑龙江绥化市青冈县第一中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（A）

青冈一中2025-2026学年度第二学期高一期末考试 数学试卷(A) 分值：150分考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共计40分）》 1.已知向量a=(2,1),b=(←2,4)，则a-=() A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，AOAB是水平放置的△OAB的直观图，OA=3,OB=4,则△OAB的面积为() 3 145 O 4 A.4 B.6 C.8 D.12 3.已知向量b=(1,0),d.b=3,则向量在向量b方向上的投影向量为() A.(3,0) B.(1,0) c.(0,1) D.(0,3) 4.要得到函数y=sin 2x+6)】 的图象，需要把函数y=sin2x的图象() A.向左平移二个单位长度 B.向右平移个单位长度 6 6 C.向左平移 个单位长度 12 D.向右平移 2 个单位长度 5.如图，下列正方体中，M,N,P,Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线 的是() 0 M M B D M M 6.己知sina+sinB=0,cosa+cosB=√3，则cos(a-B)=() A.2 1 B. 2 c.3 D.1 2 试卷第1页，共5页 7.如图，已知正四棱台ABCD-AB,C1D的高h=46,且AB=2AB1=8,则此正四棱台的外接球表面积为() D B B A.80π B.91π C.128π D.182π 8.文峰塔建于清道光三十年(1850年)，具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广 益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六 角攒尖葫芦宝顶其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点.我校“文峰数智社”为了测量 其高度，设文峰塔高为AB,在与点B同一水平面且共线的三点C,D,E处分别测得顶点A的仰角为30°，45°，60°， 且CD=DE=22m,则文峰塔的高AB约为（) （参考数据：√6≈2.449，V3≈1.732) B 30°2C 450 60°x D A.24m B.27m C.30m D.33m 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9.在空间中，1，m是不重合的直线，x,阝是不重合的平面，则下列说法正确的是() A.若l/1m,lca,mCB,则a/1B; B.若m⊥1，m⊥a,l⊥B,则a⊥B; C.若a⊥B,a∩B=m,l⊥m,l11a,则l⊥B; D.若/1a,11B,⌒B=1,则m//l. 试卷第2页，共5页 10.已知函数fd)=4m(am+四(40>0-子<习的部分图象如图所示，则（） 5π 6 12 A.f(x)的最小正周期为π B.当x∈ 亚，T时，f(x)的值域为 √35 4’4 2’2 C.将函数f(x)的图象向右平移汇个单位长度可得函数g()=sim2x的图象 12 D,将函数∫(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 6 ,0对 称 11.如图所示的圆台OO2,在轴截面ABCD中，AB=BC=AD=二CD,CD=4,则() B 02 D A.该圆台的高为1 B.该圆台轴截面面积为3√3 C.该圆台的体积为V5n 3 D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12.已知a,b是夹角为60°的两个单位向量，若(2-kb⊥a,则实数k= 13.已知复数z=(2a-1)+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是 14.△ABC中，BC=2√5，A=60°，△ABC的面积等于2√3，则角平分线AD的长等于 试卷第3页，共5页 四、解答题（共5道题，共计77分） 15.(13分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，满足acosC+√3simC=b+c (1)求A; (2)若△ABC的周长为20，面积为10W5,求a. 16.Q5分尼知函数f)=sm2x+写)+sin2x写+2ox-lcA (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)函数f(x)的单调递增区间和对称轴方程. (3)求函数)在区间-44 上的最大值和最小值. 17.(15分)如图，在多面体ABC-ABC1中，AA⊥平面ABC,AB LAC,四边形AACC为矩形，ABAB, AB=AC=A4=3,AB=1,D为BC的中点. A B D (1)求证：AB∥平面AC,D: (2)求平面BCB,与平面AC,D夹角的余弦值； (3)求点B,到平面ACD的距离. 试卷第4页，共5页 18.(17分)如图1，五边形ABCEF中，AC/EF,AC⊥CE,AB⊥BC,AC=2BC=2CE=4.将三角形ABC沿AC翻 折，使得平面ABC⊥平面ACEF,如图2. y 图1 图2 (I)求证：AB⊥平面BCE: (2)i记直线AF与平面BEF所成角为0.若sin6=V2 求EF的长， 7 19.(17分)近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖 冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所 示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD,矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且 ∠M0N-号oM=30米，设<CoM=a D A BM (1)求扇形OMN的面积： F4,求矩形ABCD的面积S: (2)若&=亚. (3)若矩形ABCD的面积为S(),当a为何值时，S()取得最大值，并求出这个最大值 试卷第5页，共5页《A》参考答案 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 答案 0 0 0 B 0 & BCD ACD 题号 11 答案 BCD 1.D 【分析】先求得a-5,然后求得日- 【详解】因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以a-=√4+(-3)2=5. 故选：D 2.D 【详解】依题意，DOAB的边OB,OA分别在xy轴上，且OB=O'B'=4,OA=2O'A'=6, 所以TOAB的面积So6)0B.0A=12, 3.A 【分析】利用向量的数量积定义，可得向量a在向显万方向上的投影向量为。石，代入坐标计算即得 6F 【详解】因向量a在向量b方向上的投影向量为lcos(a,b. 6ab6, 6 15P 由b=(1,0),a.b=3,可得5=P+0-1, 故向量a在向量6方向上的投影向量为3b=(3,0), 4.C 【分析】直接利用函数y=sin(x+p)的图象变换规律，可得结论. 【详解】要相到函数=如2x+君)-n2+ 的图象， 要得到函数y=sin2x+ 的图象， 6 需要把函数y=si2x的图象向左平移2个单位长度 故选：C 5.D 【分析】由己知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A,如图，PQI1CD/1AB1IMN,M,N,P,2四点共面，A不是； 答案第1页，共11页 Q C B M 对于B,如图，MPIIGH IIEF IINQ,M,N,P,2四点共面，B不是： P G M H F ---W 对于C,如图，MPIIKLIINQ,M,N,P,Q四点共面，C不是； 对于D,如图，PQ∈平面MPQ,NE平面MPQ,M∈平面MPQ,ME直线PQ, 则MN与PQ是异面直线，D是. M O N 故选：D 6.B 【分析】将给定的两个等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得 【详解】由sina+sinB=0,cosa+cosB=√5，得(sina+sinB)2+(cosa+cosB)2=3, 整理得2+2 coscB+-sins)=3,所以cos(a-P)=) 故选：B 7.D 【分析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为O,点O距离下底面的高度为x. 答案第2页，共11页 根据题意列出方程，求解即可. 【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球 心为O,点O距离下底面的高度为x。 D B 因为h=4W6,AB=-8,AB=4,又上、下底面均为正方形，所以AC=82,AC,=4W2. 设棱台的外接球的半径为R,根据勾股定理可得R2=(46-x+(22=x2+(42,解得x-35 则R=广+(-}，所以正四棱台的外接球表面积为4=1S2元 故选：D 8.B 【分析】设AB=x,求出BC,BD,BE,利用余弦定理在VBEC和OBDE中，表示出cosDBEC和cosDBED,两者相 等即可解出答案。 【详解】由题知，设AB=x, 则BC=,X=V5x,BD=,x tan30° tan45=B=3 tan60°3t, 又CD=DE=22m, 所以在VBEC中，os∠BEC=BE+EC-BC=3x+44-3x2 2BEEC 2x6 一，0 -x×44 3 在DBDE中，cOS∠BED=BE2+ED2-BD: x2+222-x2 3 2BEBD 2x ，0 3x22 联立☐0，解得x=11V6≈26.939≈27. 故选：B. 9.BCD 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若l1mlca,mcB,则a/IB或相交，所以A错误； 对于B中，若m⊥l,m⊥a,则l/a或lc,又因为l⊥B,则a⊥B,所以B正确： 对于C中，因为l/1a,在平面x内存在直线n,使得l11n, 答案第3页，共11页 又因为l⊥m,所以n⊥m,因为a⊥B,a∩B=m,m⊥n,nca,所以n⊥B, 又因为l/1n,所以l⊥B,所以C正确： 对于D中，如图所示，因为m/1a,且mcY,∩y=a,所以m/1a, 又因为m11B,且mCY,BOy=b,所以m/1b,所以a/b, 因为a文B,bcB,所以a11p, 又因为aca,a∩B=l,所以a/l,所以m/1l,所以D正确， 故选：BCD. b m 10.ACD 【分析】先根据y=Asn(ox+p)中A,o,P的几何意义，求得f(x)的解析式，再结合正弦函数的图象与性质， 函数图象的变换，逐一分析选项即可. 【详解】由图可知，A=1,函数∫)的最小正周期T=4×5元，故A正确： (126 由72π w>0,知0=2-2红=2， T 因为得)-1，所以n2x君+-1，所以写p=2+经ez,即92+后kez, 又-<受所以0-石所以1=m2x+8, 对T8当引-斯以m2周 所以f(x)的值域为 故B错误； 对于C将函数f国的闲象向右平移号个单位长度，得到g=司引n2的图象，故C正确： 对于D,将函数)的图象上所有点的情华标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sm+君)的图象， 因为当x=5亚时，y=s血(+A)-sn元=0，所以得到的函数图象关于点 5 6 66 二，0对称，故D正确 6 故选：ACD. 11.BCD 答案第4页，共11页 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误：利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可 知C正确：利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A,在梯形ABCD中，OO,即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得O,O2=, w〔”8：25,4错误 对于B,轴截面梯形ABCD的面积为S=(AB+CD)O,O0,=(2+4)xV5=35,因此B正确： 对于C,易知下底面圆的面积为π×22=4π，上底面圆的面积为π×12=π； 所以该圆台的体积为V=(4r+π+4π元x5=75r,可得C正确： 3 对于D,将圆台侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如下图所示： D B'O“B 易知圆弧BB,CC的长度分别为2兀，4兀，设扇形圆心为O,圆心角为日，OB=r; 由弧长公式可知6r=2元，θ(r+2)=4π，解得0=兀r=2: 所以可得∠AOB=90°， 设E为AD的中点，连接EC,当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最短， 易知OE=3,OC=4,且OE⊥OC, 由勾股定理可知EC=√OE2+OC2=5,可知D正确. 故选：BCD 12.4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由a,6是夹角为60的两个单位向量，得a.i=a例cos60= 由(2a-k上a,得(2a-kd-a-2i-ka6=0,即2-k号0，所以k=4 故答案为：4 。1 13.02 【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得参数范围. 【详解】由复数z=(2a-1)+ai(aeR)在复平面内对应的点位于第二象限， 答案第5页，共11页 则/2a-1<0 .1 a>0 解得0<a<2, 故答案为： 14. 4545 33 【分析】先利用三角形面积公式求得bc=8,再由余弦定理求出b+c=6,根据题设条件和等面积列式求解即得 AD的长 【详解】设口ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 依题知Sc=)besine60°=25，则有bc=8, 2 由余弦定理，BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC, 即(2√3)2=b2+c2-2 bccos60°=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24解得b+c=6. 设AD,则由Sar5x+Sam可得方csn0=方sn30+方asn0, 化简得5bc=6+c,解得r=45. 4 4 3 即角平分线AD的长为4V5 故答案为：4V5 3 A 15.0ω肾 (2)7 【分析】(I)由正弦定理得sin4cosC+√3 BsinAsinC=sinB+sinC,得到V√③sinA-cosA=1,再由辅助角公式求出答 案 (2)根据题中条件得到a,b,c的关系式，结合余弦定理解得a的值 【详解】(l)由正弦定理得sinAcosC+√3 sinAsinC=sinB+sinC, 其中sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 故√3 sinAsinC=cosAsinC+sinC, 因为Ce(0,π)，所以sinC≠0，故，√3sinA-cosA=1 即2na-名=1，所以n4-爱=片： 答案第6页，共11页 因为A∈(0，)，所以A-亚∈亚，5m 6(6'6 放4-名名解得4-骨 (2)因为DABC的周长为20，面积为10W3, cin4-=10w6即+h+c=20 a+b+c=20 所以{1 2 bc=40 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA,即a2=(b+c)2-2bc-bc 结合方程化简得a2=(20-a)2-3×40,解得a=7 16.(1)元 回弹调道地区间为判行+元后+灯kEZ: 8 对称销方程为营+经e乙 (3)最大值是√2，最小值是-1 【分析】(1)展开利用辅助角公式化简即可求最小正周期 (2)根据复合函数整体法即可求单调递增区间和对称轴方程 (3)根据复合函数整体法即可最大值和最小值 【详解11)f0n2x+到tm2x哥引2awx1 3 π π π =sin 2xcos+cos2xsin+sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x 3 3 3 -si 2x+cos2x=six) π 函数f)的最小正周期T=2π=元 0 《2）令+2张趣x+年+2xkeZ 42 解得-3证+k知+k石，k∈乙 8 所以致的华楼区间为整-百标2 令2x+T=T+kr,解得x=石+kπ，k∈Z 42 82 所以f()对称轴方程为x=匹+红， 82kez 8当引2x-]fa+引号】 9)-1 答案第7页，共11页 =2x1=2 所以函数f()在区间一44】 ππ 上的最大值是√2，最小值是-1 17.(1)连接AC交AC于点E, 因为四边形AACC,为矩形，所以点E是AC的中点， 连接DE,又因为D为BC的中点，所以ABIIDE, 因为AB文平面ACD,DEc平面ACD,所以AB∥平面ACD B 2)V66 33 3)4v5 3 【分析】(1)使用三角形中位线的性质与线面平行判定定理证明； (2)使用向量法计算； (3)使用向量法计算. 【详解】(1)略 (2)由题知，AB⊥AC,AB⊥AA,AA⊥AC,以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A(O,0,0), B3,0.0.C0.30,B,03,G03,3),D(520, C B AC=0,3,3),AD=(G,,0,设平面ACD的一个法向量为 C D 答案第8页，共11页 n=(x,y,z),则 AC=3y+3=0 mAD=3xt3y=0令y，得x=1,2=-1,”=11,-0, 2 BC=(-3,3,0),BB=(-2,0,3),设平面BCB的一个法向量为m=(p,9,r),则 m.BC=-3p+3q=0 ,令p=3,得q=3,r=2,m=(3,3,2) m.BB=-2p+3r=0 m.n 平面BCB,与平面ACD夹角的余弦值为： 2√66 m√22√533 (3)AB,=(L,0,3),平面ACD的法向量为=(-1,1，-1)， 则点B,到平面ACD的距离为：d= AB·元443 18.(I)证明：因为平面ABC⊥平面ACEF,CEc平面ACEF,平面ABC∩平面ACEF=AC,AC⊥CE, 所以CE⊥平面ABC,又ABC平面ABC, 所以CE⊥AB,又BC⊥AB,CE∩BC=C,CE,BCC平面BCE, 所以AB⊥平面BCE. (2)4 【分析】(I)根据面面垂直的性质可得CE⊥平面ABC,结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； (2)建立空间直角坐标系，设EF=a,利用空间向量法求出平面BEF的法向量，求出线面角，建立关于a的方 程，解之即可求解. 【详解】(1)略 (2)如图，过点B作BO⊥AC于点O,则ABx BC=BOX AC, 在ABC中，A=NAC-C-25,所以B0-A8BC-5,得OC-VBC-BO=1 AC 过点C作z轴L平面ACEF,建立如图空间直角坐标系C-xz, 答案第9页，共11页 设EF=a,则A(4,0,0),B1,0,V5),E(0,2,0),F(a,2,0), 所以AF=(a-42,0),BF=(a-1,2,-V3),EF=(a,0,0), 设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z), i.BF=(a-1)x+2y-√3z=0 则 n.EF=ax=0 令y=√5，则x=0,z=2,所以=(0,3,2， AF.n 所以sin8=cos AF,n= 25 21 F同2+(a-42.万7 解得a=4,即EF=4. 19.(1)150m平方米。 (2)S=450-150W3平方米. 6,最大值为1505. 3)a= 【分析】(1)由扇形面积公式可得； (2)根据a=牙，求得AB和0C的长度，即可求得矩形的面积： (3)利用直角三角形利用半径与α分别表示出AB,BC,进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将S()化简 变形，结合角x的范围求S()最大值可得. 【详解】（①由题意，M0N-子层形半径即0M=30米。 则扇形ON的面积为)号×30-150m平方米 （2)因为a=至在R0BC中，Bc=30sn子-155,0B=30co年-15万， 在R△0AD中，AD=BC-155,则OA-A0-5×15W5=56, 53 所以AB=OB-OA=15V2-5√6. 则矩形ABCD的面积S=AB.BC=(15V2-5√6)x15√2=450-150W5. 所以当a=孕时，矩形A5CD的面积S=450-1505平方米 (3)在ROBC中，BC=30sin&,OB=30cosa, 在Rt△0AD中，AD=BC=30sina,则OA=AP-5 30sina, 答案第10页，共11页 所以AB=OB-OA=30cosa-10W3sina. 则矩形ABCD的面积S(a)=AB.BC=30 sina(30cosa-10N3sina) =3003(3sinacosa-sin2a) =150v3(3 sin 2a+cos2a-1) -305sm2a+8}1506,0<a<骨 所以sa)-30W5sn2a+君-1505，其中0<a<号 由于8<2a+ 兀5π 66 则当2a+亚=5时，即au=元时，S(amn=1505. 62 6 所以当u=严时，S(a)取得最大值，最大值为1505 6 答案第11页，共11页