黑龙江牡丹江市第三高级中学2025-2026学年高一下学期期末数学试卷

**基本信息** 高一数学期末试卷融合生活情境（如垃圾分类竞赛统计）与数学创新（如“等腰四面体”“新运算‘’”），覆盖向量、概率、立体几何等，注重空间观念、推理能力与数据意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数共轭、向量垂直、解三角形、古典概型|基础概念辨析，如向量投影向量求解| |多选|3/18|统计量、解三角形、等腰四面体性质|创新概念应用，如判断等腰四面体结论| |填空|3/15|女生概率、分层抽样平均身高、球体积|实际问题解决，如分层抽样求总体平均| |解答|5/77|正方体异面直线角、解三角形周长、频率分布直方图、新运算|综合能力考查，如垃圾分类统计分析、新运算坐标表示与最值|

2025-2026学年度第二学期期末考试高一数学答案 一、选择题（单选题和多选题） 单选 2 3 5 6 8 答案 B D C D B B A D 多选 9 10 11 答案 BC ACD ABC 三、填空题 9 12、 10 13、163 14、 53 四、解答题 15、解：(1) 3 (2)0 16、解：(1)因为 2a-b)cosC=c·cosB (2sinA-sinB).cosC sinCcosB 由正弦定理得 所以2 sinAcosC=sin BcosC+sin CcosB=sin(B+C). 因为A+B+C=元，所以2 sin AcosC=sin(B+C)=sinA, 因为1e(0,小sm4#0:所以2cosC=1,即0C= , 又因为CeQ列.所以C-骨 (2)由山知C-号，又ABC的面积为4W5, 则3 absinC-abx5-=4w5 2 2 ,可得ab=16, 因为c=4,由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC, 16=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-3×16 则(a+b)'=4,解得a+b=8, 所以△ABC的周长为a+b+c=8+4=12, 17、(1)根据题意可得出BC⊥AC,PA⊥BC,利用线面垂直的判定定 理得BC⊥平面PAC,再利用线面垂直的性质定理即可证明： (2)方法一：如图，过点A作AH⊥PC,交PC于点H, 由(I)知BC⊥平面PAC,又AHC平面PAC,所以BC⊥AH, 又PCn BC=C,PCC平面PBC,BCC平面PBC,所以AH⊥平面 PBC, 则AH的长度即是点A到平面PBC的距离. PAC 在 中，PC=VPA2+AC2=V82+62=10, 2 PG.AH-TPA·AC,即2×10×AH=×8x6, 24 解得AH=24 ,即点A到平面PBC的距离为5. H B 方法二：由题可得PC=PA2+AC2=V82+62=10. 设点A到平面PBC的距离为h, 1 由题意知Vp-Aac=VA-FC,即S△Aac×PA= SPx×h, 24 即点A到平面PBC的距离为5· 18、解：(1)由频率分布直方图可知，各组的组距都是10， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以 10(a+0.020+0.025+0.035+a)=1 化简得 0(2a+0.08)=1,即20a+0.8=1,即20a=0.2,即a=001 所以图中a=0.01 (2)由(1)知a=0.01, 因此各组的频率分别为10×0.01=0.10,10×0.020=0.20， 10×0.025=0.25,10×0.035=0.35,10×0.01=0.10 对应这100名学生各组的人数分别为10,20,25,35,10， 成绩在[80,90)内的人数为35， 成绩在[90,100]内的人数为10， 所以成绩在[80,100]内的总人数为35+10=45， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在90,100内被抽取的人数为27×0=6 45 所以这100名学生这次竞赛成绩在[90,100]内被抽取的人数为6. (3)由(2)知，各组的人数分别为10,20,25,35,10， 各组的组中值分别为55,65,75,85,95 则xs 55×10+65×20+75×25+85×35+95×10 =76.5 100 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5分. 由01+02+025=05>05可得中位数位于70,80中间，设为 则01+0.2+5-70×025=05→x=78 10 19、解：1)由a=(2,,可得同=V2+P=5 则a86=a5例sina,6=5x2x5-5 (2)(由a=(,6=(）,可得 cosa,6= a.b x x2+yiy2 Vx+Vx好+好， 因 a,5e[0,可.故 sin,B=1-cosa,B= xx2+yy2 xy2-Yx2 ++月 √x+听V+贤 故 a®6=sna,6=+听x居+巧× xy2-yx2 =xy2-x2 Vx+×V好+好 由421，B(-12),C0,4可得B=(-3,,Bc=,2) B⑧BC=|-3×2-1×1=7 故 /12 2 a= ,b= (3)由 cosa sina (sina’cosa,结合(2)的结论可知： a⑧b= 1 41+4=1+ 4 cos2a sin2a cos2a'sin2a cos2a'sin2a (cos2a+sin2a) =5+sim2a+4cosa≥5+2 sin'a 4cos'a=9 cos2a sin2a V cos2 a sin2a sin2a 4cos2a π 当且仅当cos'asina,等号成立，结合“C0 故tana=V2时 取等号， 因此⑧6 的最小值为9. 2025—2026学年度第二学期期末考试 高一 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：郑连友 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。） 1．复数的共轭复数为（    ） A．2i B． C． D． 2．已知向量，，若，则（    ） A．4 B．1 C．2 D．4 3．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（   ） A． B． C． 或 D． 4．掷一枚质地均匀的骰子一次，掷到点数为4的概率为（     ） A． B． C． D． 5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（   ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 6．已知向量，且与的夹角为。若与垂直，则实数的值是（ ） A．3 B． C． D． 7．已知向量与的夹角为 ，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。） 9．有一组样本数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的（    ） A．极差为4 B．中位数为6.5 C．平均数为7 D．方差为3.5 10．在ΔABC中，，， ，则（    ） A． B．ΔABC的面积为 C． D． 11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一。所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体。关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A．长方体中含有两个相同的等腰四面体 B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形 C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到 D．三组对棱长度分别为a,b,c 的“等腰四面体”的外接球直径为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。) 12. 从2名男生和3名女生中随机选出2人参加某项活动，则选出的2人中至少有1名女生的概率为______． 13．高一学年有男生300人，女生700人。小明按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样方法，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm。如果小明从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70 ，则高一年级全体学生的平均身高约为______cm． 14．已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若ΔABC为正三角形，且，则__________． 四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15．（本小题满分13分） 在正方体中， (1) 求异面直线和所成的角的大小； (2) 求二面角的余弦值； (3) 求直线和平面所成的角。 16．（本小题满分15分） 在ΔABC中，角的对边分别为，且 (1)求角的大小； (2)若，ΔABC的面积为，求该三角形的周长。 17．（本小题满分15分） 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． (1) 求证：； (2) 求点A到平面的距离。 18．（本小题满分17分） 2026年5月25日至5月31日是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周。为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”。为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图。 (1)求图中的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数。 (3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数。 19．（本小题满分17分） 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)（i）若，用坐标表示； （ii）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，求的最小值。 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $