精品解析：黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

黑龙江省哈师大青冈实验中学2025--2026学年度 高一学年下学期期末考试 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2. 设，则复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意得， 则复数在复平面内对应点的坐标为. 3. 如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】矩形中，，分别为，的中点，为中点， 故 . 4. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点为正方形的中心，由线面角的定义得直线与平面所成角即为，解直角三角形即可得解. 【详解】如图所示，设点为正方形的中心，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 不妨设正方体棱长为1，则， 所以. 故选：D. 5. 如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由侧面展开图可确定圆台的上下底面半径和母线长，利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， 从而圆台的高为，所以圆台的体积. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置的判定逐一判断即可. 【详解】对于A．若，则或，故A错误； 对于B．若，又，根据面面垂直的判定，即有， 若，由于，则，过任作一个面，使其和相交于直线，根据线面平行的性质定理，，又则，结合，即，故B错误． 对于C．若，则或，故C错误； 对于D．若，则垂直于平面内所有直线； 又，由线面平行性质定理可知：存在直线， 使得，则，所以；故D正确． 7. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 解得，即， 因为，， 所以，， 所以，解得，， 当时，，， ，， 则在方向上的投影向量的坐标是. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果. 【详解】因为在中， ，， 所以. 又因为为锐角三角形， 所以，解得. 又因为， 所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： . 又因为， 所以， 则. 故，即. 所以面积的取值范围是. 故选：B. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，可知平均数满足，故A正确． 方差在平移时不变，在乘以2时变为原来的倍，所以，故B错误，C正确． 因为变换是严格递增的一次函数，所以中位数也对应变为，故D正确． 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与所成角为，则的取值范围为 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行可知，点到平面的距离为定值，继而可判定； 对于B，根据题意画出截面图，计算即可； 对于C，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可； 对于D，作出图形，根据题意建立方程组，解出即可； 【详解】对于A，连接 因为，平面，平面，所以平面， 又是棱上的动点（含端点），所以到平面的距离为定值，设为， 则，为定值，A正确； 对于B， 如图，四边形为过的平面截正方体所得的截面图形， 因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以， 又因为分别是棱的中点，所以为的四等分点， 所以四边形的周长为，B错误； 对于C， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 所以， ， 当时，， 当时，， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，， ，，即 所以的取值范围为，C正确； 对于D，如图，连接，取的中点，连接， 设外接圆圆心为，外接球球心为，连接，则， 在中，设其外接圆半径为， 由正弦定理得，解得，即， 连接，因为 所以四点共圆，则， 设外接球半径为，过作，交于， 在中，，即①， 在中，，即②， 联立①②，解得，， 所以外接球的表面积为，D错误． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球.分别标有数字1,2,3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出基本事件空间，找出符合条件的事件，根据古典概率求法可得答案. 【详解】基本事件空间为共6种情况； 设事件“选到3号球”，事件A包含的基本事件有共3种情况， 所以. 故答案为： 13. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交于点，过点作交于点，即可求出、、、、、，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积与体积. 【详解】因为，所以，设圆的半径为， 又，解得（负值舍去）， 过点作交于点，过点作交于点， 则，， 所以，同理可得，， 将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥， 其中球缺的高，圆锥的高，底面半径， 则其中一个球冠的表面积，球的表面积， 圆锥的侧面积， 所以几何体的表面积， 又其中一个球缺的体积， 圆锥的体积，球的体积， 所以几何体的体积. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积、体积要合理转化. 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 16. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数） （2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】（1），平均数75分，中位数约为. （2） 【解析】 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以.该次测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为. （2）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在的有3人，编号为， 从这5人中选取2人的样本空间， 则，记事件“至少有一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 17. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，． （1）求及边的值． （2）若的面积为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系得到，利用正弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到即可. 【小问1详解】 在中，， 因为，所以由同角三角函数的基本关系得， 由正弦定理得，可得， 又，则，解得. 【小问2详解】 因为的面积为， 由（1）知，， 所以， 解得，已知， 由余弦定理得，解得. 18. 如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 由平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面， 由平面，则平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由平面，则， 由且，则， 所以，即为等腰三角形，又为等边三角形， 取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，， 所以，故， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 19. 错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. （1）若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； （2）若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，应用独立乘法公式、互斥事件加法求概率； 【小问1详解】 设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，， 已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为. 情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为. 情况三：甲做对1题，乙做对1题 甲做对1题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对0题，乙做对2题的概率为. 因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题. 【小问2详解】 设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，. 已知，，，，且各事件相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对1题 甲做对2题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为. 情况二：甲做对1题，乙做对2题 甲做对1题的概率为 乙做对2题的概率为 所以甲做对1题，乙做对2题的概率为. 由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈师大青冈实验中学2025--2026学年度 高一学年下学期期末考试 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 2. 设，则复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与所成角为，则的取值范围为 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球.分别标有数字1,2,3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为___________. 13. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________. 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数） （2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，． （1）求及边的值． （2）若的面积为，求． 18. 如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 19. 错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. （1）若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； （2）若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $