辽宁省重点高中2026-2027学年高一数学上学期9月培优练习（二）

**基本信息** 以集合、逻辑用语、不等式为核心，通过数学史情境（笛卡尔积）、现实问题（运动会参赛）及新定义（最小整数符号）设计，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合交并补、不等式比较|基础巩固，如第1-4题集合运算| |多选题|3/18|集合关系、新定义函数|能力提升，如第10题最小整数符号应用| |填空题|3/15|命题否定、集合个数、不等式范围|简洁考查核心概念，如第12题命题否定| |解答题|5/77|充分条件、不等式恒成立、笛卡尔积、函数综合|创新应用，如第17题结合数学史，第19题分层设计|

绝密★启用前 辽宁省重点高中2026-2027学年上学期9月培优练习（二） 高一数学 考试范围：【必修一】集合、常用逻辑用语、不等式； 命题人：MathChris97 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 1. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、单选题 1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 3．设全集，则（   ） A． B． C． D． 4．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 6．已知，设：不等式对任意恒成立；：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 7．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 8．已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 1. 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 10．已知，符号表示不小于的最小的整数，例如，，则（    ） A．对于，都有 B．函数的值域为 C．不等式的解集是 D．若，且方程有且仅有两个相异实根，则的取值范围是 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 第II卷（非选择题） 1. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．命题“任意，则”的否定为_________． 13．满足条件的集合A的个数为______． 14．设实数，，满足，则的取值范围是_________． 1. 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 16．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 17．笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． (1)若，，求与； (2)若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 18．已知函数和，定义集合 . (1)设 ，求； (2)设，当 时，求的取值范围； (3)设 ，若 ，求的取值范围. 19．设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值；(3)若，求关于的不等式的解集． 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 辽宁省重点高中2026-2027学年上学期9月培优练习（二） 高一数学 考试范围：【必修一】集合、常用逻辑用语、不等式； 命题人：MathChris97 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 1. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、单选题 1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，所以. 2．已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以. 3．设全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 4．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解一元二次不等式得集合，求解分式不等式结合整数条件得集合，再计算两集合的交集即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，因为，所以或或， 所以，所以. 5．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 6．已知，设：不等式对任意恒成立；：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据题意先求解的范围，再根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，即，又在单调递减， 所以，所以，所以，故是的充要条件. 7．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 【答案】B 【分析】对原方程进行变形，判断方程有解时代数式是奇数还是偶数，根据指数运算，判断有多少种情况. 【详解】由题可得，变形为，得， 令，则，， 因为，所以为偶数，则为奇数，与一奇一偶， 由得， 可得， 当为奇数，则，，此时为偶数，有2027种情况； 当为偶数，则，，此时为奇数，有2027种情况； 所以共有4054种情况，即集合的元素个数为4054. 8．已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】设，则，，代入可得，，可证，进而得出答案． 【详解】设，则， 可得，， 因为，即， 且，，可得，所以. 1. 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 【答案】BCD 【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得 解得， 若，将代入方程得 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 10．已知，符号表示不小于的最小的整数，例如，，则（    ） A．对于，都有 B．函数的值域为 C．不等式的解集是 D．若，且方程有且仅有两个相异实根，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】利用符号的定义表示不小于的最小的整数，对于A：使用特殊值即可判断；对于B：，使得时，，，即可判断；对于C：先求解不等式可解得，再根据，判断的取值范围；对于D：当时，考虑函数和函数的图象的交点即可判断． 【详解】对于A：当时，，，，选项A错误； 对于B：，时，，所以，即的值域为，选项B正确； 对于C：由可解得，又因为，所以或者，所以，选项C正确； 对于D：当时，方程，函数的图象如图所示，当，两个函数图象仅有一个公共点，故选项D错误. 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．命题“任意，则”的否定为_________． 【答案】存在，使得 【详解】命题“任意，则”的否定为：“存在，使得” ． 13．满足条件的集合A的个数为______． 【答案】3 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，共个. 14．设实数，，满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先把条件转化为关于的方程，再用柯西不等式把与联系起来，消去变量，得到只含的不等式，最后解二次不等式确定范围. 【详解】设，原条件可化为. 由基本不等式，对任意实数均有. 将代入得. 若，则，满足； 若，将代入上述不等式. 令，上式可整理为关于的一元二次不等式. 存在实数使此不等式成立，当且仅当该二次函数的判别式且对称轴，. 即，解得. 此时对称轴恒成立. 故取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由知，解得，   当时，， 故或，   ∴. （2）∵“”是“”的充分不必要条件，∴B是A的真子集，                          ∴当时，，解得，显然成立；   当时，，且及中等号不能同时取得， 解得，                              综上，m的取值范围是． 16．回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 17．笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． (1)若，，求与； (2)若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由新定义即可直接求解； （2）通过定义确定，或，，再分两类情况讨论即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， ； （2），，且为质数， ，或，， 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号， 又为质数，，所以等号不成立； 所以此时． 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号； 综上可知. 18．已知函数和，定义集合 . (1)设 ，求； (2)设，当 时，求的取值范围； (3)设 ，若 ，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）解不等式即可； （2）转化为对任意恒成立求解； （3）分别求解不等式与，转化为不等式组有解求解即可. 【详解】（1）已知 ， 由即 ， 解得 ， 则； （2）已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即 恒成立， 当时，恒成立； 当时，由， 解得； 综上，当时，的取值范围为； （3）已知 ， 由 得，不等式组有解， 由 ， 又 ， 当 ，即时，对任意 恒成立， 则满足 ； 当 ，即时， 或， 要使 ，则 或 ， 解得，则有； 当 ，即时， 或 ， 要使 ，则 或 ， 解得，则有 ； 综上所述，的取值范围是 19．设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为 (3)或时，解集为 时，解集为 时，解集为 【分析】（1）由题意得到，进而可求解； （2）通过，，讨论函数单调性，进而可求解； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】（1）时，， ； （2）， 时，，对称轴为， 时，，对称轴为， 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 当时，，的最小值为． 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 综上：时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为． （3）时，，即， ， 时，，即或，解集为， 时，，即， 方程有两个不等的实根， ，， ①时，则，解集为， ②时，则，解集为， ③时，则，解集为， 综上：当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $