第十九章 实数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年八年级上册数学第十九章实数单元能力提升卷，通过选择、填空、解答题（6/12/8题，18/24/58分），融合抽象能力、几何直观、运算能力，适配单元复习，强化知识应用与素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|平方根、立方根、无理数概念|如第3题结合数轴考查无理数估值，体现几何直观| |填空题|12/24|科学记数法、数轴距离、新定义（“数”组）|第17题定义“数”组，培养创新意识与推理能力| |解答题|8/58|实数运算、实际应用（场地改造、篱笆围场）、数轴变换|第24题剪拼正方形探究无理数，第25题对比圆形与长方形面积，发展应用意识与模型观念|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十九章 实数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共22分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C A C A 二、填空题（本大题共11小题，每小题2分，共24分） 7．5.40007×106 -6.3×10-5 8． 9．5 10． 11． 12． 13．或 14．< 15． 16．0.1 10 17.32 0.01732 560 17． 18. 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题4分）【答案】(1)2， (2)见详解 (3)． 【详解】（1）解：∵由题意知：一个小正方形的面积为1， ∴阴影部分的面积为：，边长为． 故答案为：2，；..................................2分 （2）解：，， 则在数轴上表示如下： ；..................................4分 （3）解：由（2）可知：．..................................6分 20．（本题6分）【答案】(1)； (2)2； ． （1）解：， 故答案为：；..................................2分 （2）解：∵， 则，， ∴； 答：的值为2；..................................4分 （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 即且， 解得：，，或，， ①当，时， 所以，无平方根． ②当，，时， ∴， ∴的平方根为， 答：的平方根为．..................................6分 21．（本题6分）【答案】(1)， (2) （2）（1）解：∵的平方根是，的立方根是， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴整数部分；..................................3分 （2）解：∵，， ∴， ∴其平方根为：．..................................6分 22．（本题6分）（1）解：原正方形场地的周长为， 故答案为：120；..................................3分 （2）解：这些金属板不够用，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意得， ， 解得，（负值已舍） ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴，..................................6分 ∴这些金属板不够用． 23．（本题6分）（1）解：中，， 中，， 中，， 中，， …… ∵， ∴．..................................4分 故答案为：15． （2）解：由（1）中发现的规律可得 ． 故答案为：．..................................8分 24．（本题8分）（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间；.................................3分 （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或；..................................5分 （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为．..................................8分 25．（本题9分）解：当围成正方形场地时：面积，..................................4分 当围成圆形场地时：面积， ∵，..................................8分 ∴围成圆的面积较大，最大面积是．..................................9分 26．（本题9分）（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：；..................................4分 （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为．..................................9分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十九章 实数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列语句中，说法正确的个数是（     ） ① 4 的平方根是； ② 0 的平方根和立方根都是 0 ； ③的平方根是； ④倒数是它本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．64的立方根是 D．的算术平方根是5 3．如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 4．关于“”，下面说法不正确的是（ ） A．它是10的平方根 B．它是一个无理数 C．若a<<a+1，则整数a为3 D．它表示面积为10的正方形的边长 5．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 6．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．用科学记数法表示：（1）5400070= ；（2）-0.000063= 8．将和化成分数： ．和 ． 9．在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有 个． 10．已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 11．点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是7．若点A对应的数是－2，则点B对应的数是 ． 12．已知：与互为相反数（其中），则 ． 13．已知是1的平方根，3是的立方根，的整数部分为，则的值为 ． 14．比较大小： 7．（用“>”或“<”填空） 15．如图是一个数值转换程序，当输入的x值为时，输出的y值为 ． 16．观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 17．定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4． (1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ； (2)请在数轴上表示下列各数：，，； (3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来． 20．（本题6分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 21．（本题6分）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 22．（本题6分）某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 23．（本题6分）先阅读理解： （1）； （2）； （3）； （4）． 根据你找到的规律，解决问题： (1)________； (2)________．（用含n的式子表示） 24．（本题8分）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 25．（本题9分）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 26．（本题9分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十九章 实数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列语句中，说法正确的个数是（     ） ① 4 的平方根是； ② 0 的平方根和立方根都是 0 ； ③的平方根是； ④倒数是它本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根和倒数的概念．逐个判断每个语句的正确性即可．注意正数的平方根有正负两个值，0的平方根和立方根都是0，倒数是它本身的数有1和． 【详解】解：① ∵，∴ 4的平方根是，正确． ② ∵，，∴ 0的平方根和立方根都是0，正确． ③ ∵，∴，∴， ∵ 9的平方根是，∴ 不是，错误． ④ 设倒数是它本身的数为x，则，化简得 ，解得，∴ 不仅是1，还有，错误． ∴ 正确的语句是①和②，共2个． 故选：B 2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．64的立方根是 D．的算术平方根是5 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，关键是能准确地求一个数的平方根、算术平方根和立方根． 根据平方根、算术平方根和立方根的知识逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、负数也有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、64的立方根是4，原说法错误，故此选项不符合题意； D、∵，25的算术平方根是5，∴的算术平方根是5说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3．如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法得到，再由数轴可知被覆盖的数在3和4之间，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知被覆盖的数在3和4之间， ∴被覆盖的数可能为， 4．关于“”，下面说法不正确的是（ ） A．它是10的平方根 B．它是一个无理数 C．若a<<a+1，则整数a为3 D．它表示面积为10的正方形的边长 【答案】A 【解析】解：A、10的平方根是±，所以是10的一个平方根，或是10的算术平方根；符合题意； B、是一个无理数，题干的说法正确，不符合题意； C、∵3＜＜3+1，a＜＜a+1，∴整数a为3，题干的说法正确，不符合题意； D、表示面积为10的正方形的边长，题干的说法正确，不符合题意． 故选：A． 5．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 6．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．用科学记数法表示：（1）5400070= ；（2）-0.000063= 【答案】 5.40007×106 -6.3×10-5 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】（1）5400070=5.40007×106； （2）-0.000063=-6.3×10-5. 故答案为：5.40007×106；-6.3×10-5. 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 8．将和化成分数： ．和 ． 【答案】 【分析】可采用移动循环节的方法化循环小数为分数，纯循环小数化分数的方法：所求分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各位数字全是9，9的个数等于一个循环节里数字的个数；混循环小数化分数的方法是：所求分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差，分母的前几位数字是9，9后面的数字是0，9的个数和一个循环节中数字的个数相等，0的个数等于不循环部分的数字的个数． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了循环小数化分数的方法，解题方法独特，值得体会． 9．在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键． 根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于，且为整数，再利用无理数的估算即可求解． 【详解】解：设满足条件的数为a，由于在数轴上到原点的距离小于，则，且为整数， 则， 又∵，即， ∴a可以是或或0． 即在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有5个， 故答案为：5． 10．已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 11．点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是7．若点A对应的数是－2，则点B对应的数是 ． 【答案】/ 【分析】先求出AB的长，再设B点表示的数为，根据数轴上两点间的距离公式求出的值即可． 【详解】∵正方形的面积是7， ∴， 设B点表示的数为， ∵点A对应的数是， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 12．已知：与互为相反数（其中），则 ． 【答案】 【分析】由题意可得：与互为相反数，即，解得，代入求解即可． 【详解】解：由与互为相反数可得与互为相反数， 即，解得 将代入可得，原式 故答案为： 【点睛】此题考查了相反数的定义，立方根的性质，代数式求值，解题的关键是正确的得到． 13．已知是1的平方根，3是的立方根，的整数部分为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平方根的定义以及立方根的定义和估算无理数的大小；直接利用平方根的定义结合立方根的定义得出，的值，再利用估算无理数的大小的方法得出的值，进而得出答案． 【详解】解：是的平方根， ， 解得：或， 是的立方根， ， 解得：， ， 的整数部分为， 或． 故答案为：或． 14．比较大小： 7．（用“>”或“<”填空） 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，掌握实数的大小比较方法，算术平方根定义是解题的关键． 根据题意，由，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：<． 15．如图是一个数值转换程序，当输入的x值为时，输出的y值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，根据流程图逐个求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 输入时， ，是有理数，再次返回输入得到是无理数输出， 故答案为：． 16．观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 【答案】 0.1 10 17.32 0.01732 560 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义，是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义，求解即可； （2）根据被开方数中的小数点每移动2位，算术平方根的小数点相应的移动1位，计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：0.1，10； （2）①，． 故答案为：17.32；0.01732； ②． 故答案为：560． 17．定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的应用，平方差、完全平方公式，设大正方形的边长为，则有，，然后通过，则，所以，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设大正方形的边长为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴或（舍去）， ∴大正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4． (1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ； (2)请在数轴上表示下列各数：，，； (3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来． 【答案】(1)2， (2)见详解 (3)． 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，用数轴表示实数，以及利用数轴比较实数的大小． （1）由题意知一个小正方形的面积为1，则阴影部分的面积为：，边长为； （2）由，，在数轴上表示出各实数即可； （3）根据数轴比较实数的大小即可． 【详解】（1）解：∵由题意知：一个小正方形的面积为1， ∴阴影部分的面积为：，边长为． 故答案为：2，；..................................2分 （2）解：，， 则在数轴上表示如下： ；..................................4分 （3）解：由（2）可知：．..................................6分 20．（本题6分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据互为相反数的和为0列式，再根据非负数的意义求出c、d的值，然后分情况求平方根即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：；..................................2分 （2）解：∵， 则，， ∴； 答：的值为2；..................................4分 （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 即且， 解得：，，或，， ①当，时， 所以，无平方根． ②当，，时， ∴， ∴的平方根为， 答：的平方根为．..................................6分 【点睛】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义． 21．（本题6分）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平方和立方根的定义先求出，然后进行无理数的估算求出； （2）先把代入，求出其值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴整数部分；..................................3分 （2）解：∵，， ∴， ∴其平方根为：．..................................6分 22．（本题6分）某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1)120 (2) 解：这些金属板不够用，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意得， ， 解得，（负值已舍） ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴， ∴这些金属板不够用． 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，列一元二次方程解决几何问题，二次根式的大小比较，解题的关键是掌握二次根式的运算． （1）利用求一个数的算术平方根进行求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据面积相等列出方程求解得出，再求出周长和正方形周长比较即可． 【详解】（1）解：原正方形场地的周长为， 故答案为：120；..................................3分 （2）解：这些金属板不够用，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意得， ， 解得，（负值已舍） ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴，..................................6分 ∴这些金属板不够用． 23．（本题6分）先阅读理解： （1）； （2）； （3）； （4）． 根据你找到的规律，解决问题： (1)________； (2)________．（用含n的式子表示） 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了通过观察算式规律来解决问题． （1）先观察已知算式分析出每个算式的结果都是等于从1加到算式中最后一个数的和，根据上述规律可计算出对应的结果； （2）根据（1）中总结的规律，可推导出从1加到n的和用（首项+末项）×项数÷2可得出结论． 【详解】（1）解：中，， 中，， 中，， 中，， …… ∵， ∴．..................................4分 故答案为：15． （2）解：由（1）中发现的规律可得 ． 故答案为：．..................................8分 24．（本题8分）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间； （2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或； （3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间；.................................3分 （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或；..................................5分 （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为．..................................8分 25．（本题9分）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 【答案】选用圆形方案围成的场地面积较大，最大面积是． 【分析】本题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，若围成正方形场地，则边长为，面积为；若围成圆形场地，则圆的半径为，面积为，然后比较大小即可解决问题． 【详解】解：当围成正方形场地时：面积，..................................4分 当围成圆形场地时：面积， ∵，..................................8分 ∴围成圆的面积较大，最大面积是．..................................9分 26．（本题9分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，非负数的应用，算术平方根的性质，理解题意是解题的关键． （1）利用非负数的性质解答即可； （2）利用对称性求得折痕处对应的数为，则利用点A对应的数与点重合的点距离的长度相等解答即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：；..................................4分 （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为．..................................9分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十九章 实数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列语句中，说法正确的个数是（     ） ① 4 的平方根是； ② 0 的平方根和立方根都是 0 ； ③的平方根是； ④倒数是它本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．64的立方根是 D．的算术平方根是5 3．如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（   ） A． B． C． D． 4．关于“”，下面说法不正确的是（ ） A．它是10的平方根 B．它是一个无理数 C．若a<<a+1，则整数a为3 D．它表示面积为10的正方形的边长 5．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 6．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共11小题，每小题2分，共24分） 7．用科学记数法表示：（1）5400070= ______；（2）-0.000063=______ 8．将和化成分数：_______．和_________． 9．在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有______个 10．已知，则的值是______． (结果用含字母 的代数式表示) 11．点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是7．若点A对应的数是－2，则点B对应的数是______． 12．已知：与互为相反数（其中），则______． 13．已知是1的平方根，3是的立方根，的整数部分为，则的值为______． 14．比较大小：______7．（用“>”或“<”填空） 15．如图是一个数值转换程序，当输入的x值为时，输出的y值为______． 16．观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中______， ______； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则______，______； ②已知，则______． 17．定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________． 18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为____________． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4． (1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ； (2)请在数轴上表示下列各数：，，； (3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来． 20．（本题6分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 21．（本题6分）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 22．（本题6分）某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 23．（本题6分）先阅读理解： （1）； （2）； （3）； （4）． 根据你找到的规律，解决问题： (1)________； (2)________．（用含n的式子表示） 24．（本题8分）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 25．（本题9分）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 26．（本题9分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $