第十九章 实数重难点检测卷-2026-2027学年沪教版（五四版）八年级数学上册

**基本信息** 上海地区八年级实数单元重难点检测卷，整合多区期末/期中真题，覆盖平方根、无理数、估算等全章核心，梯度设计适配单元复习，提升运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|平方根（第1题）、估算（第2题）、数轴表示（第3题）|结合图形考查几何直观，如数轴遮挡数判断| |填空题|12/24|无理数识别（第7题）、科学记数法（第12题）、古代近似公式（第15题）|融入数学文化，如公元3世纪近似计算方法| |解答题|7/64|方程求解（第19题）、规律探究（第23题）、实际应用（第24题画板问题）|突出模型意识，如手提袋容纳画板的几何应用，培养创新思维|

第十九章 实数重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级上·上海长宁·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴的平方根是． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期末）估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 3．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形边长最大不超过长方形的宽，需先根据长方形的面积与长宽比求出宽，再对比选项． 【详解】解：设长方形的长为，宽为（）. ∵ ∴ ∴ 长方形的宽为 ∵ 裁出的正方形边长最大不超过长方形的宽 又∵，，， ∴ 边长为的正方形符合要求． 5．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 6．（25-26八年级上·上海闵行·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题根据给定的变换规则，对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为，对三个说法逐一分类讨论验证，统计正确说法的个数即可得到结果． 【详解】解：变换规则为：对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为， 判定说法①： 是有理数，一次变换得；是无理数， 二次变换得；是有理数， 三次变换得，因此说法①正确． 判定说法②： 对二次变换得， 设一次变换结果为，即对变换得． 若为有理数，则，解得； 再对分类：若为有理数，得； 若为无理数，得（负根舍去）． 若为无理数，则，解得（负根舍去），是有理数，矛盾舍去． 满足条件的和为，因此说法②正确． 判定说法③： 三次变换得， 设二次变换结果为，一次变换结果为， 从后往前推导：对变换得，得（有理）或（无理），共2个； 对变换得，得、、，共3个； 对变换得且要求：得2个符合的，得1个符合的，没有符合的， 共3个符合条件的，说法③认为有4个，因此说法③错误． 综上，正确的说法共有2个，选C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级上·上海松江·期末）在、、、中，无理数有__________个． 【答案】2 【分析】根据无理数的定义，逐个判断给出的数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数． 对各数逐一判断： 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数共有个． 8．（25-26八年级上·上海崇明·期中）的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的性质化简已知式子，再根据平方根的定义计算最终结果．解题时需注意审题，不要混淆化简结果与待求的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 9．（25-26八年级上·上海松江·期中）若，则= _______ ． 【答案】 【分析】因为，所以直接开平方求解即可，注意舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵， ∴，或， ∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，本题开平方后注意是非负的形式，所以要舍去负值，此为易错点，也是解题关键． 10．（25-26八年级上·上海闵行·期末）若，则的算术平方根为_______． 【答案】或 【分析】先根据平方根的定义求出的所有可能值，再代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 当时，，此时的算术平方根为， 当时，，此时的算术平方根为， 综上所述，的算术平方根为或． 11．（25-26八年级上·上海长宁·期中）把精确到得到的近似数是_______，近似数表示精确到_______位． 【答案】 千 【分析】本题考查了求近似数，求精确度． 第一部分根据四舍五入法，将精确到（十分位），需看百分位数字；第二部分根据科学记数法近似数的有效数字，确定的精确位． 【详解】解：精确到：百分位数字为4，且，∴根据四舍五入法，舍去百分位及以后数字，得； 近似数：，有效数字为1、2、5，最后一位有效数字5位于千位，∴精确到千位． 故答案为：，千． 12．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）人体中大约有个红细胞，用科学记数法表示的数，原来是__________ 【答案】 【详解】解：对于，将的小数点向右移动位，得． 13．（25-26八年级上·北京·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 14．（25-26八年级上·上海金山·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 【答案】 【分析】根据程序流程图，先取729的立方根为9，再取9的算术平方根为3，然后取3的立方根即可． 【详解】解：若开始输入的的值是729，取立方根为，是有理数， 取算术平方根为，是有理数， 取立方根为，是无理数，则输出． 15．（2025·上海青浦·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【分析】将整理为的形式，根据要求确定和的值，代入给定近似公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴中，，． ∴． 16．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 【答案】 【分析】根据表格数据确定的取值范围，得到其整数部分的值，计算后，根据立方根的定义求解结果． 【详解】解：由表格可得，，， 的整数部分为 的立方根为，即的立方根为． 17．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据题意得，点对应的数为该半圆的周长，即可． 【详解】解：点对应的数是半圆周长，为直径半圆弧长，即． 18．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 【答案】 【分析】先求出每个小正方体的边长，再求出魔方侧面的面积，则可得正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵8个同样大小的正方体组成的魔方的体积为8， ∴每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的边长为， ∴魔方侧面正方形的边长为， ∴魔方侧面的面积为， 又∵正方形的面积是魔方侧面面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级上·上海宝山·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【详解】（1）解：由， ∴； （2）解：由， ， ； （3）解：由， ∴， ∴或． 20．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）科学记数法的一般形式为，其中，据此求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 21．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 22．（25-26八年级上·上海松江·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握估算无理数大小． （1）先估算的大小，求出整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，然后根据不等式的性质求出的大小，求出整数部分和小数部分，然后代入所求代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：，即， ， ， ， 的整数部分是3，小数部分是， ，， ． 23．（25-26八年级上·上海静安·阶段检测）【初步感知】 (1)直接写出计算结果． ①___________； ②_______； ③________； ④________； … 【深入探究】观察下列等式． ①； ②； ③； ④； … 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容． (2)_________； (3)_______， 【拓展应用】计算： (4)； (5)． 【答案】(1)①1  ②3  ③6  ④10 (2) (3) (4)5050 (5)41075 【分析】（1）直接计算即可； （2）根据前4个式子的规律填空即可； （3）根据规律可得1+2+3+⋯+n+（n+1）=； （4）根据（1）的计算可得原式=1+2+3+…+100； （5）根据规律可得原式=（13+23+33+⋯+193+203）-（13+23+33+⋯+93+103），再根据规律计算即可． 【详解】（1）解：①1； ②3； ③6； ④10； 故答案为：①1  ②3  ③6  ④10 （2）解：由规律可得：1+2+3+…+2022=， 故答案为：1+2+3+…+2022； （3）解：1+2+3+⋯+n+（n+1）=． 故答案为：； （4）解：原式=1+2+3+…+100==5050； （5）解：原式=（13+23+33+⋯+193+203）-（13+23+33+⋯+93+103） =（）2-（）2 =（1+2+…+20）2-（1+2+…+10）2 =（）2-（）2 =2102-552 =41075． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，能够根据式子的变化得到规律是解题关键． 24．（24-25八年级上·上海虹口·阶段检测）某中学美术活动小组准备去郊外进行写生活动，学校为每一位同学准备了一个正方形画板（不可折叠），为了方便同学们携带，每一个画板需要放进手提袋内．（假设手提袋是一个长方体，画板的厚度与手提袋的宽相等） 【课题探究】探究画板能否直接放进手提袋内 【物品图例】 【相关数据】正方形画板的面积为，手提袋的长与高的比为，面积为，请你通过计算，判断画板能否直接放进手提袋内． 【答案】 画板能放进手提袋内．理由如下： 设手提袋的长为，高为， 则， 解得或（舍去）， ∴手提袋的长为， 由题知，画板的边长为， ∵， ∴， ∴画板能放进手提袋内． 【分析】本题主要考查几何图形的面积与算术平方根的计算，无理数的估算，实数大小比较，设手提袋的长为，高为，根据手提袋面积求出手提袋长和画板的边长比较即可． 【详解】略 25．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】(1) (2)1；13； (3)小思说得对，小明说得不对；说明见解析 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算、比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵， ∴， 由于面积为的正方形纸片边长为， ∴ ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 实数重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级上·上海长宁·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期末）估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 3．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海闵行·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级上·上海松江·期末）在、、、中，无理数有__________个． 8．（25-26八年级上·上海崇明·期中）的平方根是______． 9．（25-26八年级上·上海松江·期中）若，则= _______ ． 10．（25-26八年级上·上海闵行·期末）若，则的算术平方根为_______． 11．（25-26八年级上·上海长宁·期中）把精确到得到的近似数是_______，近似数表示精确到_______位． 12．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）人体中大约有个红细胞，用科学记数法表示的数，原来是__________ 13．（25-26八年级上·北京·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 14．（25-26八年级上·上海金山·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 15．（2025·上海青浦·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 16．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 17．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 18．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级上·上海宝山·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3) 20．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 22．（25-26八年级上·上海松江·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值． 23．（25-26八年级上·上海静安·阶段检测）【初步感知】 (1)直接写出计算结果． ①___________； ②_______； ③________； ④________； … 【深入探究】观察下列等式． ①； ②； ③； ④； … 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容． (2)_________； (3)_______， 【拓展应用】计算： (4)； (5)． 24．（24-25八年级上·上海虹口·阶段检测）某中学美术活动小组准备去郊外进行写生活动，学校为每一位同学准备了一个正方形画板（不可折叠），为了方便同学们携带，每一个画板需要放进手提袋内．（假设手提袋是一个长方体，画板的厚度与手提袋的宽相等） 【课题探究】探究画板能否直接放进手提袋内 【物品图例】 【相关数据】正方形画板的面积为，手提袋的长与高的比为，面积为，请你通过计算，判断画板能否直接放进手提袋内． 25．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 学科网（北京）股份有限公司 $