山东聊城市2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题

保密★启用并使用完毕前 2026年全市高三年级9月学习质量综合评估 数学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则 A． B． C． D． 2．点到抛物线的焦点的距离为 A． B． C． D． 3．已知表示集合中的元素个数，若，，，则 A．5 B．6 C．3 D．4 4．若，均为非零向量，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线与曲线和均相切，则 A． B． C． D． 6．不全相等的正整数，，，构成一组数据，若它们的平均数和中位数均为2，则该组数据的极差为 A．1 B．2 C．3 D．4 7．由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为的液体，在正方体自由旋转的过程中，液面形成图形记为，液体形成的几何体记为，则下列说法错误的是 A．可能是正三棱锥 B．不可能为直角三角形 C．当时，的面积最大值为 D．当为三棱锥时，的体积最大值为 8．若，则关于的方程的实数根的个数为 A．2 B．3 C．4 D．不确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在锐角中，则 A． B． C． D．存在， 10．已知点，，，均在半径为1的球的表面上，且平面，则下列结论正确的有 A．三棱锥为正三棱锥 B．若，则平面平面 C．面积的最大值为 D．三棱锥体积的最大值为 11．将1，2，3，…，这个连续正整数随机分成，两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，则下列结论正确的有 A．若，则的概率为 B．若，则的概率为 C．的概率为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则的离心率为________． 13．已知函数，若的最小值为，则的最小值为________． 14．已知集合，，任取，，，，都有，则集合中元素个数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）判断的奇偶性并给出证明； （2）讨论在区间上的零点个数． 16．（本小题满分15分） 在三棱柱中，，且棱长均为1． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正切值． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，下顶点为，的短轴长为4，离心率为．点是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点． （1）求的方程； （2）证明：四边形的面积为定值． 18．（本小题满分17分） 盒内装有张相同的卡牌，编号分别为，，，…，．从盒内每次不放回地取出一张卡牌，直至卡牌全部取出．具体规则如下： ①第1次取卡：从盒内随机取出1张卡牌； ②第次取卡（）：若号卡牌仍在盒内，则取出号卡牌；否则，从盒内随机取出1张卡牌． （1）若． （i）求第2次取出的是2号卡牌的概率； （ii）设第3次取出的卡牌编号为，求的分布列与数学期望； （2）求最后一次取出的是号卡牌的概率． 19．（本小题满分17分） 已知数列：，，…，的各项均为正整数，且，，，…，．定义变换，将数列变换为数列：，，…，，其中，为数列中不小于的项的个数． （1）若数列：，，，，求，并求一个数列，满足（直接写出结果即可）； （2）记为数列的各项之和，若，． （i）求的最小值； （ii）求的最大值，并求出取得最大值时的所有满足条件的数列． 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级9月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 6 8 答案 B C 二、选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 AC BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2:14.8 12.2;13. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (1)f(x)为偶函数. …2分 证明：f(x)的定义域为(-m,+w),关于原点对称： f(-x)=cos(-x)+(x)sin(-x)-1=cosx+xsinx-1=f(x), 所以f(x)为偶函数. …5分 (2)xe(0,列，令f")=xCOS=0,得x=刀 …7分 所以当xe0f)>0,当xex,f0: 所以f)在0，乃上单调递增，f)在()上单调递减。 …9分 因为f0)=0f9)>0,f()=-2<0, 所以f(x)在(0，)上只有一个零点. …11分 又因为f(x)为偶函数，且f(0)=0， 所以函数(x)在区间(-兀，)上有3个零点· …13分 16.【解析】 (1)取AC中点为M,连接BM,A1M,AB, 数学试题答案第1页（共5页） 由△ABC和△4AC为正三角形可知MB⊥AC,MA⊥AC,…2分 又MB,MAc平面MBA,且MB∩MA=M. 故AC⊥平面MBA.… …4分 又ABC平面MBA,故AC⊥BA.…6分 (2)由题意可知A1ABC为正四面体，所以点A在平面ABC上的射影ABC的中心，记该 点为H, …8分 所以∠AMH为二面角A-AC-B的平面角，记为日.…9分 在△ABC中，解得4H=S 所以4H=VA4-4-y6 A …11分 又因为M=1HA= 21 6 则m0=4g:25. HM 所以平面AAC与平面ABC夹角的正切值为2√2 15分 17.【解析】 (1)由题意：2b=4,所以b=2. 因为e=c= 2,所以a=3,c=V5, 所以E的方程为，+=1 …4分 (2)证明：由(1)可知A(-3,0),B(0,-2) 直线PA的方程为y=”,c+3),令x=0,得M0,3% x+3 +3 直线PB的方程为y=十2x-2,令y=0,得N 2x0 ,0 …6分 +2 因为四边形ABMN的对角线互相垂直，所以SAsw= 1 |AN|川BM|.…8分 因为1AWF26。+3=2+3%+6 %+2 %+2 IBM作3%+2=2+3%+6 +3 +3 …12分 数学试题答案第2页（共5页） 所以1ANBM=2+3%+O_4+9+126+24+36,+36 (+3)(6+2) xg+2x+3%+6 _12(06+2x+3+) 0+2x+3%+6 =12 1 所以Saw:-2X12=6. 所以四边形ABM的面积为定值，…I5分 18.【解析】 (1)(i)第2次取出的是2号卡牌等价于第1次取出的不是2号卡牌， 所以P= 6… …3分 (i)X的取值为1,3,4,5,6.…4分 当X=3时，可分为第1次取1,4,5,6号卡牌和第1次取2号卡牌两类情况： 所x=)器品动 …6分 因为P(X≠3)=1- 5=,且1,4,5,6四张卡牌等可能被抽取到 所以P(X=1)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)= 111 5420 1 1 1 20 20 20 20 B(X)=1x+3x4+4x} 4 16 +5X +6× …9分 20 5 20 20 205 (2)记盒中装有编号1,2，，n的n张卡牌时，最后一次取出的是n号卡牌的概率为n. 第1次取卡分为三类互斥事件： ①第1次取出1号卡牌，概率为号，后续依次取出2,3，，n-1号卡牌，则最后一次取出 的是n号卡牌； ②第1次取出n号卡牌，概率为二，最后一次取出的不可能是n号卡牌： ③第1次取出m号卡牌，2≤m≤n-1,概率为二：第2，.，m-1次按规则取出2，，m-1, 第m次在剩余n-m+1张卡牌中等概率抽取，该子问题等价规模为n-m+1的原型. n-1 所以2=+∑，整理得21+B, …13分 2 1-2 同理对n-1:(n-1)P-1=1+∑乃， i=2 数学试题答案第3页（共5页） 两式相减nn-(n-1)-1=n-1,nPn=nPn-1→n=卫n-1,所以{n}是常数列， 又=2，片行放对任意整数以≥2，月 2 所以最后一次取出的是n号卡牌的概率为 …17分 2 19.【解析】 (1)TA):4,4,3,1: …1分 B:4,4,3,1.… …3分 (2)由题意知，T(A)中的最大项即为A的项数， 结合T(A)=A,得a1=n, 。。。。。。。。。。 …2分 ∑a≤∑a=n%=4，即4 注意到g∈N,故a1≥46.… …5分 注意到数列4：464545,451①。 44个 满足S(A)=2027,且T(A)=A.存在数列①式满足要求， 故41的最小值为46. …8分 (3)设a=,a=s,则数列A共有r项，且有S项不小于2， 故S(A)=∑g=4+a+∑4+∑4≥r+5+26-2)+0-5)=20+s)-4,…10分 1=1 13 由题意ak≤ak-1,k=2,3,…,n,故r≥g, 从而S(A)≥20+s)-4≥4-4， 注意到seN,故S≤507， …12分 若a≥509，且a2=507,则数列A有且仅有两个1，则 S(4)≥509+507+505×2+2×1=2028，不符合题意；…13分 若a1=508,且a2=507,则数列A有且仅有一个1，则 S(A)=508+507+a3+…+as07+1=1016+a3+…+a507, 故a3+…+as07=1011,注意到a≥2，故只能a3=3,a4=a5=…=a57=2, 此时数列4508,507,32-21满足要求：…15分 504个 数学试题答案第4页（共5页) 若41=507，且a2=507,则数列每一项均不小于2， 此时S(A)=507+507+a3+…+as07=1014+a3+…+a507’ 故3十…+a507=1013,从而a6=a=…=a07=2, 此时数列可能为4507,507,5,2,2 ，4507,507,432…2, 504个 503个 307,507,3.3,3,2,,2,验证只有A507,507,4,2符合题目要求. 503个 故a2取最大值507时，可能的数列有 4:508,507,3,2,21,4507,507.4,3,2…2两种可能.…17分 504个 503个 数学试题答案第5页（共5页）