精品解析：山东省聊城市临清市第三高级中学2026届高三上学期摸底考试数学试题

2026届高三开学摸底考试 数学 本试卷共150分　考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2 3. 的展开式中项的系数为（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 45 4. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. 556π B. 900π C. 732π D. 588π 5. 已知直线与抛物线相交于两点，若直线OA与OB的斜率之和为4，O为坐标原点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，四个开关控制着五盏灯，其中开关控制着1，2，3号灯，开关控制着2，3，4号灯，开关控制着3，4，5号灯，开关控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动这四个开关中两个不同的开关，则其中2号灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知复数（）在复平面内对应的点在直线上，则a的值可以为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 9. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，，直线与月牙形只有两个交点，则（ ）（参考数据：） A. B. 圆的方程为 C. b的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 10. 如图，有一个直三棱柱容器，，，，，为棱上一动点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的外接球的半径为 D. 在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球的表面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合，若，则____. 12. 已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为____，直线MN的方程为____. 13. 已知等差数列满足且数列在区间中的项比在区间中的项多2项，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求B； （2）若的角平分线交AC于点D，且，求BD. 15. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点. （1）证明：点在平面内. （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 甲、乙两人进行游戏，且都有1个红色弹珠和1个黄色弹珠，每人每次独立地随机取出1个弹珠相互交换. （1）若只交换1次，求甲的弹珠的颜色相同的概率； （2）若只交换1次，记甲有红色弹珠的个数为X，求X的分布列及期望； （3）若一共交换3次，最后甲的2个弹珠颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜，试问这个游戏是否公平? 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性. （2）若，函数，当，且时，证明：. 18. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C. （1）求轨迹C的方程. （2）已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三开学摸底考试 数学 本试卷共150分　考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示结合向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为， 所以，解得. 故选：B. 2. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象求出周期，进而利用可得结果. 【详解】由题图知，即， 所以，又，则. 故选：A 3. 的展开式中项的系数为（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】将变形成，利用二项式定理，可得项的系数. 【详解】因为， 所以的展开式中项的系数为. 故选：C. 4. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. 556π B. 900π C. 732π D. 588π 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台、圆柱及球的体积计算公式可得. 【详解】由题图可知，半球和圆柱的半径为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9， 所以该瓷器的体积为, 故选：D 5. 已知直线与抛物线相交于两点，若直线OA与OB的斜率之和为4，O为坐标原点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】法一：联立抛物线与直线并整理得，根据已知及韦达定理列方程求参数即可；法二：设A，B，且，根据已知有，再联立抛物线与直线并整理得，应用韦达定理得到方程求参数. 【详解】法一：由，其中，得， 整理得，设， 因为直线OA与OB的斜率之和为4，由韦达定理，，解得. 法二：设A，B，且， 因为直线OA与OB的斜率之和为4， 所以， 可得，即（*）， 联立且，消去，得， 由韦达定理，， 代入（*），可得，解得. 故选：A 6. 如图，四个开关控制着五盏灯，其中开关控制着1，2，3号灯，开关控制着2，3，4号灯，开关控制着3，4，5号灯，开关控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动这四个开关中两个不同的开关，则其中2号灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由排列数确定总的基本事件个数，再分两类情况按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，或按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，讨论2号灯亮的情况，结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】先后按动这四个开关中两个不同的开关，有=12种方法. 2号灯亮有两类情形.第一类，按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，此时对应的方法有=2种（两个开关进行全排列）； 第二类，按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，此时对应的方法有=2种（两个开关进行全排列）. 故所求事件的概率为. 故选：B 7. 两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反函数的对称性可分析出倾斜角更大的直线的斜率是，设出该公切线在，的切点，根据导数的几何意义，用两种方式表达出切线方程，然后根据两个方程的截距相等列出等式，进而求解. 【详解】 由题易知，曲线与曲线关于直线对称， 由两条切线的夹角是，根据对称性知曲线的切线的倾斜角为， 即切线的斜率为. 设直线与曲线的切点坐标为， ，所以， 直线的方程为，即， 设直线和的切点坐标是， ，所以， 直线的方程为，即， 于是， 即，即 由，两边取对数可得， 由，得到，两边取对数得， 分别把上述条件代回原等式，得到， 即， 整理可得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知复数（）在复平面内对应的点在直线上，则a的值可以为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简得，然后利用复数的几何意义列方程计算即可. 【详解】，其对应的点为， 由题意得，解得或. 故选：AB 9. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，，直线与月牙形只有两个交点，则（ ）（参考数据：） A. B. 圆的方程为 C. b的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，可通过确定圆心坐标即可判断，对于C，设直线，分别计算直线过点时，直线与圆相切时，直线与圆相切时的取值，即可判断，对于D，连接，求得的面积为，通过向量夹角公式求得，结合图形对称性即可求解. 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上，,且中点坐标为 设坐标为，且， 所以， 解得，所以圆C的方程为，， 故选项A正确，选项B错误. 设直线，当直线过点时，，此时也过点， 当直线与圆相切时，，解得， 当直线与圆相切时，， 解得或， 因为直线与月牙形只有两个交点， 结合图象可知的取值范围为，故选项C正确. 连接， 直线方程为：， 点到的距离为， 又 所以的面积为， 设，，， 所以， 所以， 由对称性可知月牙形的面积约为： ，故选项D正确. 故选：ACD 10. 如图，有一个直三棱柱容器，，，，，为棱上一动点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的外接球的半径为 D. 在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球的表面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，把直线平移至，再利用余弦定理求解即可；对于B，将四边形绕顺时针旋转，使得三点共线，连接，交于点，再利用勾股定理计算即可；对于C，设分别为的中点过点分别作平面，平面的垂线，交点为，即为球心的位置，连接，根据球的半径和三角形外接圆半径以及三角形外接圆半径的关系列式求解；对于D，利用等面积法求出三角形的内切圆半径即可判断. 【详解】对于选项A，在平面中，过点作交的延长线于点，连接， 因为，，，， 所以， ，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B，如图所示，将四边形绕顺时针旋转，使得三点共线， 连接，交于点，此时的值最小， 最小值为，故选项B正确； 对于选项C，设分别为的中点， 过点分别作平面，平面的垂线，交点为，连接， 由题知，，， 设三棱锥的外接球的半径为， 所以，， 所以，即， 所以，解得，故选项C正确； 对于选项D，设的内切圆的半径为， 所以，解得， 因为，所以放入的1个小球的半径的最大值为=， 故小球的表面积的最大值为，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有，进而可得，再求出集合. 【详解】由，，则，故，可得， 所以. 故答案为： 12. 已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为____，直线MN的方程为____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 13. 已知等差数列满足且数列在区间中的项比在区间中的项多2项，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式，结合数据分析，进行推理，结合不等式估计范围，再进行取整推理，最后能解决问题. 【详解】因为数列为等差数列，所以相邻两项间的差的绝对值相等， 因为，且数列在区间中的项比在区间中的项多2项， 所以均为数列中的项. 设数列的公差为d，可知， 由四个数后一项与前一项的差依次为， 因为这三个数均为d的整数倍，所以是d的整数倍， 设，，因为 所以 则可得 又由可得， 解得，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又因为数列中存在， 即， 而当，此时不满足 当，此时满足， 而当，上时不满足， 故，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求B； （2）若的角平分线交AC于点D，且，求BD. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）已知条件结合余弦定理，求出，可得； （2）根据角平分线性质得，结合余弦定理解出的值，由三角形面积的分割关系列出等式，求解的长度. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为BD平分，所以，即， 由（1）知，，解得，， 因为，所以， 整理得. 15. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点. （1）证明：点在平面内. （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）设为的中点，连接. 由题易知所以 所以四边形为平行四边形，所以， 又，所以，且点在平面内，故点在平面内 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行，结合平行线的传递性可得，即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，根据向量的夹角公式求解向量的夹角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，则，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以，,. 设为平面的法向量， 所以即令，得， 所以平面的一个法向量为. 设为平面的法向量， 所以即令，得， 所以平面的一个法向量为. 因为==， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 甲、乙两人进行游戏，且都有1个红色弹珠和1个黄色弹珠，每人每次独立地随机取出1个弹珠相互交换. （1）若只交换1次，求甲的弹珠的颜色相同的概率； （2）若只交换1次，记甲有红色弹珠的个数为X，求X的分布列及期望； （3）若一共交换3次，最后甲的2个弹珠颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜，试问这个游戏是否公平? 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为 （3）这个游戏不公平 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲摸到红色乙摸到黄色或甲模得到黄色乙摸到红线，结合独立事件概率乘法公式和互斥概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）用分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色相同，用分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色不相同，结合全概率公式，分别求得甲、乙获胜的概率，即可得到答案. 【小问1详解】 解：若交换1次，要使得甲的弹珠的颜色相同，则甲摸到红色乙摸到黄色或甲模得到黄色乙摸到红色， 所以甲的弹珠的颜色相同的概率为. 【小问2详解】 解：由题意知，若只交换1次，则甲、乙两人取红色弹珠和黄色弹珠的概率均为， 则随机变量的所有可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以的期望. 【小问3详解】 解：用分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色相同， 用分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色不相同， 由（1）知，，则， 由全概率公式，得, 同理可得：，所以， 所以游戏不公平. 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性. （2）若，函数，当，且时，证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时,在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. （2）证明:当时，，则， 令，则，当时，， 当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以函数在上单调递减，且， 所以. 令，，则，， 令，， 则， 所以函数在上单调递增，所以，即. 所以函数在上单调递减，所以， 所以当时，，所以， 因为函数在上单调递减，所以，即. 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数分类讨论得到的单调性； （2）利用导数分析得到函数在上单调递减，且，从而，构造函数，求导并结合基本不等式得到在上单调递减，所以，结合即可证得结果. 【小问1详解】 ， 当时，由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由得或，由得， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时,恒成立，所以函数在R上单调递增； 当时，由得或，由得， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 略. 18. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C. （1）求轨迹C的方程. （2）已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值. 【答案】（1）+=1 （2）设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，如下图： 由题知，， 因为， 所以，即， 利用对称性，同理可得， 于是. 因为，所以， 所以===， 所以， 同理可得， 所以 （定值）. 【解析】 【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意写出等式，进而化简可得结果； （2）设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，由题意，可求，进而结合，把用的来表示，从而化简可得证明. 【小问1详解】 设动点P的坐标为， 因为动点P到点的距离与到定直线的距离之比为， 所以， 两边同时平方可得， ， ，即. 所以轨迹C的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $