2.1.2　两条直线平行和垂直的判定课件-2026-2027学年高二上学期人教A版数学选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线平行和垂直的判定，核心内容包括斜率存在时k₁=k₂（平行）、k₁k₂=-1（垂直）及斜率不存在的特殊情况。课堂导入通过课前基础认知回顾倾斜角与斜率关系，微思考提出“平行是否斜率一定相等”等问题，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于以“问题链-典例-规律”为主线，微思考引导数学抽象（如辨析斜率不存在情况），典例剖析（如判断四点构成直角梯形）强化逻辑推理，学以致用和随堂训练提升数学运算。学生能深化判定条件的理解与应用，教师可借助分层资源和清晰流程实现高效教学。

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 目 标 素 养 1.理解两条直线平行或垂直的条件. 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直,提升数学抽象和逻辑推理等核心素养. 3.能利用两条直线平行或垂直的条件解决有关问题,提升数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.两条直线平行的判定 (1)对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有l1∥l2⇔　k1=k2　.  (2)对于倾斜角分别为α1,α2的两条不重合直线l1, l2,当α1=α2=90°时,直线l1和l2的斜率不存在,此时　l1∥l2　.  (3)若直线l1,l2重合,此时仍然有　k1=k2　.用斜率证明三点共线时,常常用到这个结论.  2.两条直线垂直的判定 (1)设两条直线l1l2的斜率分别为k1,k2,则直线l1,l2的方向向量分别是a=(1,k1),b=(1,k2),于是l1⊥l2⇔a·b=0⇔1×1+k1k2=0,即k1k2=-1,也就是说l1⊥l2⇔　k1k2=-1　.  (2)当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若l1⊥l2,则另一条直线的倾斜角为　0°　;反之亦然.  (3)如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于　-1　;反之,如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相　垂直　,即l1⊥l2⇔　k1k2=-1　.  微思考 (1)若两条直线平行,则斜率一定相等吗? (2)若两条直线垂直,则它们的斜率之积一定为-1吗? 提示:不一定,如果两条直线l1,l2中的一条直线与x轴平行(或重合),另一条直线与x轴垂直,即两条直线中一条直线的倾斜角为0°,另一条直线的倾斜角为90°,从而一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在,但这两条直线互相垂直. 提示:不一定,垂直于x轴的两条直线,虽然平行,但是斜率不存在. 课堂·重难突破 一 两条直线平行 典例剖析 1.根据下列给定的条件,判断直线l1与l2是否平行. (1)l1经过点A(2,3),B(-4,0),l2经过点M(-3,1),N(-2,2); (2)l1的斜率为- ,l2经过点A(4,2),B(2,3); (3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5); (4)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3). 解:设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2. (1)由斜率公式得k1=,k2==1,因为k1≠k2,所以直线l1与l2不平行. (2)由题意及斜率公式可得k1=-,k2==-,即k1=k2,故直线l1与l2平行或重合. (3)由题意知,直线l1的斜率不存在,且不是y轴,直线l2的斜率也不存在,恰好是y轴,故直线l1与l2平行. 规律总结　1.判断两条不重合的直线是否平行的步骤: 2.若没有说明给定的两条直线不重合,则还应判断其是否重合,再确定其是否平行 学以致用 1.已知在△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分别为AC,BC的中点,求直线EF的斜率. 解:因为E,F分别为AC,BC的中点,所以EF∥AB,由斜率公式得kEF=kAB==-2. 故直线EF的斜率为-2. 二 两条直线垂直 典例剖析 2.(多选题)下列说法正确的是(　　). A.若直线l1经过点A(3,4),B(3,10),直线l2经过点M(-10,40), N(10,40),则直线l1与l2垂直 C.若直线l1的斜率等于2,直线l2的一个方向向量的坐标为 (-2,-1),则直线l1与l2垂直 D.若直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为1 答案:AB 解析:对于A,直线l1的倾斜角为90°,所以直线l1的斜率不 斜角α=45°,故B正确.对于C,因为直线l2的一个方向向量的坐 学以致用 2.(1)若不同的两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为　　　　　.  答案:-1 解析:若a=3-b,则P,Q两点重合,不合题意.故PQ斜率存在,由斜率公式可得kPQ==1,故线段PQ的垂直平分线的斜率为-1. (2)已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(-1,1),C(0,2),求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角. 解:设BC边上的高所在直线的斜率为k, 则有k·kBC=-1. 故BC边上的高所在直线的倾斜角为135°. 三 直线平行与垂直关系的综合应用 典例剖析 3.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状. 解:A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示. ∵kAB=kCD,且由图可知AB与CD不重合, ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC,知AD与BC不平行. ∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 规律总结 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤: 学以致用 3.已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0)三点,求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形. 解:设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,∴kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC 不垂直,故AB,BC都不可作为直角梯形的 直角边. 若CD是直角梯形的直角腰,则BC⊥CD,AD⊥CD. ∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3. 又kAD=kBC,∴ =0,即y=3,此时AB与CD不平行,故所求点D的坐标为(3,3). 若AD是直角梯形的直角腰, 则AD⊥AB,AD⊥CD. 随堂训练　 1.若l1与l2是两条不同的直线,则“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的(　　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:当直线l1与l2的斜率都不存在时,直线l1与l2平行,但不满足l1与l2的斜率相等,反之,若直线l1与l2的斜率相等,则必有直线l1与l2平行,因此,“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的必要不充分条件. 2.已知点A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率k等于(　　). 答案:B 解析:因为直线l∥AB,所以k=kAB= =3. 答案:D 4.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),求顶点D的坐标. 解:设顶点D的坐标为(m,n),由题意,得AB∥DC,AD∥BC,则有kAB=kDC,kAD=kBC. $