2.1.2两条直线平行和垂直的判定课件—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线平行和垂直的判定，从已学的倾斜角、斜率知识切入，通过问题引导建立新旧知识联系，搭建学习支架帮助学生自然过渡到位置关系的代数判定。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光，引导学生从几何现象抽象斜率关系，通过正切函数、方向向量推导强化数学思维，结合实例（如判断四边形、三角形形状）提升数学语言应用能力。资料题型丰富，助力学生发展推理与实践能力，教师可直接用于高效教学。

2.1.2两条直线平行和垂直的判定 第二章直线和圆的方程 人教A版 (2019) 选择性必修第一册 1.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直； 2.能根据两条直线平行或垂直来解决实际问题. 学习目标 新课导入 为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线 位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点 的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x 轴的倾 斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，下面， 我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系. 我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条 直线l₁ 与直线l₂ 平行时，它们的斜率 k₁ 与 k₂ 满足什么关系? 注意：若没有特别说明，说“两条直线l₁,l₂” 时，指两条不重合的直线 . 探究 探索新知 如图若l₁//l₂ 则L₁与l₂ 的倾斜角α₁ 与α₂相等由α₁=α2,可得tanα₁ = tana₂ , 即k₁=k₂. 因此，若l₁//l₂ , 则k₁ =k₂ . 反之，当k₁ =k₂ 时 ，tana₁ = tana₂ , 由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，α₁=α2,因此l₁//l₂ l₂ α2 x 可 α 1 对于斜率分别为k₁,k₂ 的两条直线l₁,l₂ , 有l₁//l₂⇔k₁=k₂ . 直线平行的判定 显然，当α₁=α₂=90°时，直线的斜率不存在，此时l₁//l₂ 若直线l₁,l₂ 重合，此时仍然有k₁= k₂ . 用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论. 探索新知 例题 例2 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系，并证明你的结论. A 3 x 解 ：如图，由已知可得直线 BA的斜率 Q P B -4-3-2-10 因为kBA=kpo, 所以直线AB//PQ. 直线PQ 的斜率 例题 例题 例3 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(O ,0),B(2,-1),C(4,2) D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. B 因为kAB=kcD,kBc=kDA, 所以AB//CD,BCI/DA. 因此四边形ABCD是平行四边形. CD 边所在直线的斜率 BC边所在直线的斜率 DA边所在直线的斜率 解 ：如图，由已知可得AB边所在直线的斜率 3 D, C 例题 探究 显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线 的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情 形.当直线l₁,l₂ 垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的 数量关系? 探索新知 设两条直线l₁,l₂ 的斜率分别为k₁,k₂ , 则直线l₁,l₂ 的方向向量分别是 a= (1,k₁), b=(1,k₂), 于是l₁⊥l₂⇔a⊥b⇔a·b=0⇔1×1+k₁k₂=0 即 k₁ k₂ =-1. 也就是说，l⊥l⇔k₁ k₂ =-1. 当直线l₁ 或 l₂ 的倾斜角为90°时，若 l₁ ⊥l₂ , 则另一条直线的倾斜角为0° 反之亦然. 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1; 如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.即l₁ ⊥l₂ ⇔k₁ k₂ =-1. 直线垂直的判定 例题 例4 已知A(-6,0),B(3,6),P(O,3),Q(6,-6), 试判断直线AB 与PQ的位置关系. 解 ：直线AB的斜率， ,直线PQ的斜率 因为 所以直线AB⊥PQ. 例题 例5 已知A(5,-1),B(1 ,1),C(2,3)三点，试判断△ABC的形状 3 分析：如图，猜想AB⊥BC,△ABC 是直角三角形. B C x A 解 ：边AB所在直线的斜率 ,边BC所在直线的斜率kBc=2 由kABkBc =-1, 得AB⊥BC, 即∠ABC=90° . 所以△ABC是直角三角形. 例题 当堂检测 1. 若直线l 经过点(a-2,-1) 和(-a-2,1), 且与斜率为 的直线垂直， 则实数a 的值为( ) A B. C D 答案：A 解析 由题意得a=0 时不符合题意，a≠0 时直线1的斜率： ,解得： .本题正确选项：A 当堂检测 当堂检测 2.“直线I 与l₂ 平行”是“直线↓与l₂ 的斜率相等”的( )条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 当堂检测 答案：D 解析：充分性：直线l 与l₂ 平行，但是l 和l₂ 都没有斜率，即当L和l₂ 都 垂直于x 轴时，I 与l₂ 仍然平行，但是，此时不满足直线l 与l₂ 的斜率相 等，故充分性不成立；必要性：若直线I 与l₂ 的斜率相等，则直线I 与l₂ 平 行或重合，故必要性不成立；综上，“直线l 与l₂ 平行”是“直线l 与l₂ 的斜 率相等”的既非充分又非必要条件.故选：D. 当堂检测 3. (多选)已知 ，l₂ 为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有( ) A.若l,l₂ 斜率相等，则 ，l₂ 平行 B.若l,l₂ 平行，则 ，l₂ 的斜率相等 C.若l,l₂ 的斜率乘积等于- 1,则 ，l₂ 垂直 D.若l,l₂ 垂直，则 ，l₂ 的斜率乘积等于-1 当堂检测 答案：AC 解析：根据两直线的位置关系可知，若l,l₂ 斜率相等，则↓,l₂ 平行； 若l,l₂ 平行，则当1,l₂ 与y 轴平行或重合时，1,l₂ 的斜率不存在，即 可得A 正确，B 错误.易知若l,l₂ 的斜率乘积等于-1,则 ，l₂ 垂直； 若l,l₂ 垂直，则当l 与x 轴平行或重合，l₂ 与y 轴平行或重合时，↓的 斜率为0,l₂ 的斜率不存在，即可得C 正 确 ，D 错误.故选AC. 当堂检测 4. (多选)若A(-4,2), B(6,-4),C(12,6),D(2,12), 下面结论中正 确的是( ) A.AB//CD B.AB⊥AD C.AC = BD D.AC//BD 当 堂 检 测 答案：ABC 解析： ,且C不在直线AB上 ∴AB/ICD, 故A 正确；又Q , ∴kAB·kAD=-1,∴AB⊥AD, 故B正确； QAC=(16,4),BD=(-4,16), AC=4√ 17,BD=4√ 17,∴AC=BD, 故C 正确；又Q , ∴kAc·kBD=-1 ∴ AC⊥BD, 故D 错误.故选：ABC. 当堂检测 5.已知直线↓经过点A(3,a),B(a-2,3), 直线l₂经过点C(2,3),D(-1,a-2), 若l⊥l₂ , 则a 的值为 . 当堂检测 答案：0 或5 解析：因为直线l 经过点C(2,3),D(-1,a-2), 且2≠-1,所以l₂ 的斜率存 在，而L经过点A(3,a),B(a-2,3), 则其斜率可能不存在，当l 的斜率不存在 时，a-2=3, 即a=5, 此时l₂ 的斜率为0,则l⊥l₂, 满足题意；当l 的 斜率存在时，a-2≠3, 即a≠5, 此时直线l,l₂ 的斜率均存在，由l⊥l₂ 得 k₁k₂ =- 1 , 即 ,解得a=0; 综上，a 的值为0或5 . 课堂总结 1.直线平行的判定 2.直线垂直的判定 $