2.1.2两条直线平行和垂直的判定课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线平行和垂直的判定”，系统梳理斜率关系（相等或乘积为-1）及特殊情况（斜率不存在），通过“自主学习通道”的填一填、练一练夯实基础，为“互动探究”中平行垂直判定及综合应用搭建学习支架。 其亮点在于采用分层设计，互动探究中通过直角梯形顶点坐标求解等实例，培养数学思维的推理与分类讨论能力，规范的解析过程强化数学语言表达。学生能提升几何问题解决能力，教师可直接利用分层资源实施高效教学。

第二章　直线和圆的方程 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 k1＝k2 l1∥l2 自主学习通道 自主学习通道 k1k2＝－1 l1⊥l2 自主学习通道 × × × √ 自主学习通道 B A 自主学习通道 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 AD 互动探究通道 互动探究通道 A 互动探究通道 0或1 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 ABD 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 A 巩固提升通道 C 巩固提升通道 0 20°，110° 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 CD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (－19，－62) 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1，8(答案不唯一) 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时斜率的关系解决相应的几何问题． 填一填 1．两平行直线的斜率间的关系 设两条不重合的直线l1，l2，斜率若存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如表： 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 图示 对应 关系 l1∥l2⇔ eq \o(□,\s\up4(1)) eq \o(□,\s\up4(2)) ⇔两直线斜率都不存在 【提醒】　(1)若没有特别说明，则两条直线l1，l2是指两条不重合的直线． (2)在判断两条不重合的直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等，则两条直线平行；若斜率都不存在，则两条直线也平行． 2．两垂直直线的斜率间的关系 两条直线l1，l2的斜率的对应关系如表： 图示 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔ eq \o(□,\s\up4(3)) l1与l2中的一条斜率不存在(倾斜角为90°)，另一条斜率为零(倾斜角为0°)，则l1与l2的位置关系是 eq \o(□,\s\up4(4)) 【提醒】　(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴，而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. 练一练 1．判断正误 (1)互相平行的两条直线的斜率一定存在且相等．(　　) (2)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直．(　　) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　) 2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　) A．－3　　 B．3　　 C．－ eq \f(1,3)　　 D． eq \f(1,3) 解析　kAB＝ eq \f(3－0,3－2)＝3，∵l∥AB，∴kl＝3. 3．如果直线l1的斜率为2，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ eq \f(1,2) B．2 C． eq \f(1,2) D．－2 解析　由于直线l1的斜率为2且l1⊥l2，所以直线l2的斜率为－ eq \f(1,2). 4．若经过点M(m，3)和N(2，m)的直线与斜率为－4的直线l互相垂直，则m的值是 ． eq \f(14,5) 解析　由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥l，所以kMN＝ eq \f(m－3,2－m)＝ eq \f(1,4)，解得m＝ eq \f(14,5). 类型一　两条直线平行的判定及应用　　　　　　自主探究 1．(多选)下列直线l1与直线l2平行的有(　　) A．l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7) B．l1的斜率为2，l2经过点G(1，1)，H(2，2) C．l1的倾斜角为30°，l2经过点M(1， eq \r(3))，N(－2，－2 eq \r(3)) D．l1经过点E(－3，2)，F(－3，10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5，5) 解析　A中，kAB＝ eq \f(5－1,－3－2)＝－ eq \f(4,5)，kCD＝ eq \f(－7＋3,8－3)＝－ eq \f(4,5)，∴kAB＝kCD，∴l1与l2平行或重合，∵kBC＝ eq \f(5＋3,－3－3)＝－ eq \f(4,3)≠－ eq \f(4,5)，∴A，B，C，D四点不共线，∴l1∥l2. B中，k2＝ eq \f(2－1,2－1)＝1≠k1＝2，∴l1与l2不平行． C中，k1＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3)，k2＝ eq \f(\r(3)＋2\r(3),1＋2)＝ eq \r(3)，∴k1≠k2，∴l1与l2不平行． D中，l1的斜率不存在，l2的斜率也不存在，又易知l1与l2不重合，∴l1∥l2. 2．经过点C(3，1)，D(－2，0)的直线l1与经过点M(1，－4)且斜率为 eq \f(1,5)的直线l2的位置关系为(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．无法确定 解析　直线l1的斜率为k1＝ eq \f(1－0,3－(－2))＝ eq \f(1,5)＝k2，直线CM的斜率为kMC＝ eq \f(1－(－4),3－1)＝ eq \f(5,2)，所以点M不在直线l1上，所以l1∥l2，故选A. 3．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 解析　当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m≠－2且m≠－1时， kAB＝ eq \f(4－m,m－(－2))＝ eq \f(4－m,m＋2)，kMN＝ eq \f(3－1,m＋2－1)＝ eq \f(2,m＋1). 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即 eq \f(4－m,m＋2)＝ eq \f(2,m＋1)，解得m＝0或m＝1. 经检验，当m＝0或1时两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 1．已知每条直线上的两点，判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看每条直线上的两点的横坐标是否相等，横坐标相等是特殊情况，应特殊判断． 2．在证明两直线平行时，必须强调两直线不重合才能确定平行，因为斜率相等也可以推出两条直线重合． 3．应用两条直线平行求参数值时，应分直线斜率存在与不存在两种情况讨论． 类型二　两条直线垂直的判定及应用 【例1】　已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 解　若角A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即 eq \f(m＋1,2－5)× eq \f(1＋1,1－5)＝－1，解得m＝－7； 若角B为直角，则AB⊥BC， ∴kAB·kBC＝－1， 即 eq \f(1＋1,1－5)× eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝3； 若角C为直角，则AC⊥BC， ∴kAC·kBC＝－1， 即 eq \f(m＋1,2－5)× eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 判断两直线是否垂直的策略 在两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． [跟踪训练1]　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　 　) A．l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B．l1的斜率为－ eq \f(2,3)，l2过点P(1，1)，Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))) C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3， eq \r(3))，Q(4，2 eq \r(3)) D．l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3) 解析　A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；B中，l2过点P(1，1)，Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，kPQ＝ eq \f(3,2)，故两条直线垂直；C中，k1＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3)，kPQ＝ eq \r(3)，故l1与l2不垂直；D中，l1过点M(1，0)，N(4，－5)，kMN＝－ eq \f(5,3)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)，kPQ＝ eq \f(3,5)，故两条直线垂直． 类型三　平行、垂直的综合应用 【例2】　已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). 解　设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． ①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC＝0， ∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， ∴ eq \f(y－3,x)＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3，3). ②若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝ eq \f(y－3,x)，kCD＝ eq \f(y,x－3)， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x)·3＝－1，,\f(y－3,x)·\f(y,x－3)＝－1，))解得x＝ eq \f(18,5)，y＝ eq \f(9,5)， ∴D点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5))). 综上，D点坐标为(3，3)或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5))). 1．利用直线的斜率判定平面图形的形状时，一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定． 2．由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． [跟踪训练2]　已知四边形ABCD的四个顶点为A(0，0)，B(3，－2)，C(5，1)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状． 解　如图，∵kAB＝ eq \f(－2－0,3－0)＝－ eq \f(2,3)，kAD＝ eq \f(3－0,2－0)＝ eq \f(3,2)，kCD＝ eq \f(3－1,2－5)＝－ eq \f(2,3)，kBC＝ eq \f(1－(－2),5－3)＝ eq \f(3,2)， ∴kAB＝kCD，kBC＝kAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD为平行四边形． 又kADkAB＝ eq \f(3,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－1，∴AD⊥AB，∴平行四边形ABCD为矩形． ∵A(0，0)，B(3，－2)，D(2，3)，∴由勾股定理得|AB|＝ eq \r(32＋(－2)2)＝ eq \r(13)，|AD|＝ eq \r(22＋32)＝ eq \r(13)， ∴|AB|＝|AD|，∴矩形ABCD为正方形． 因此四边形ABCD为正方形． 1．知识清单 (1)两直线平行的判定． (2)两直线垂直的判定． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线平行、垂直关系时容易忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 1．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1， eq \r(3))，B(－2，－2 eq \r(3))，则直线l1，l2的位置关系是(　　) A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 解析　由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝ eq \r(3)， 直线l2的斜率k2＝ eq \f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝ eq \r(3). 所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合． 2．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(3),3) C．－ eq \r(3) D． eq \r(3) 解析　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋ 90°＝120°，∴l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－ eq \r(3). 3．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝ ． 解析　∵kl2＝ eq \f(2－1,0－1)＝－1，l1∥l2， ∴kl1＝ eq \f(4－1,－3－m)＝－1，∴m＝0. 4．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是 ． 解析　因为l1∥l，所以l1的倾斜角为20°.因为l2⊥l，所以l2的倾斜角为20°＋ 90°＝110°. 基础巩固 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若直线l1∥l2，则k1＝k2 B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C．直线l1∥l2的充要条件是倾斜角α1＝α2 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 解析　对于A，当l1∥l2时，k1＝k2或两直线的斜率不存在，A项错误；对于B，当l1⊥l2时，k1与k2可以一个不存在，另一个为0，B项错误；C、D两项明显正确．故选CD. 2．(2024·青岛一中月考)已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(3),3) C．－ eq \r(3) D． eq \r(3) 解析　由题意可得直线l1的斜率为 eq \f(\r(3),3)，又直线l1⊥l2，所以直线l2的斜率为－ eq \r(3). 3．过A(m，1)，B(－1，m)两点的直线与斜率为3的直线垂直，则m＝(　　) A． eq \f(1,2) B．2 C．－ eq \f(1,2) D．－2 解析　由题意得kAB＝－ eq \f(1,3)＝ eq \f(m－1,－1－m)，解得m＝2. 4．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是(　　) A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 解析　kAB＝ eq \f(3－5,－4－2)＝ eq \f(1,3)＝kCD＝ eq \f(3－0,6－(－3))，kAD＝ eq \f(3－0,－4＋3)＝－3，kCB＝ eq \f(5－3,2－6)＝－ eq \f(1,2)，则kAD≠kCB，所以AB∥CD，AD与BC不平行，又kAD·kAB ＝－1，所以AD⊥AB，故构成的图形为直角梯形． 5．已知点A(－2，－5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为(　　) A．(0，－6) B．(0，7) C．(0，－6)或(0，7) D．(－6，0)或(7，0) 解析　设P(0，y)，因为∠APB＝90°，且直线AP与直线BP的斜率都存在，所以kAP·kBP＝ eq \f(y＋5,2)· eq \f(y－6,－6)＝－1，即y2－y－42＝0，解得y＝－6或y＝7， 即点P的坐标为(0，－6)或(0，7). 6．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 解析　kAB＝ eq \f(1－(－1),－1－2)＝－ eq \f(2,3)，kAC＝ eq \f(4－1,1－(－1))＝ eq \f(3,2). ∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC， ∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形． 7．若两条直线l1，l2的方向向量分别为(1，2)和(1，k)，当l1∥l2时，k的值为 ． 解析　l1∥l2时k1＝k2或斜率均不存在，由条件可知k＝2. 8．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为 . 解析　因为H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC，又kBC＝ eq \f(3－1,－6－2)＝－ eq \f(1,4)，kBH＝ eq \f(2－1,－3－2)＝－ eq \f(1,5)，所以直线AH，AC斜率存在且kAH＝4，kAC＝5.设A(x，y)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kAH＝\f(y－2,x＋3)＝4，,kAC＝\f(y－3,x＋6)＝5，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－19，,y＝－62，)) 所以A(－19，－62). 9．已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4). (1)求点D的坐标； (2)试判定▱ABCD是否为菱形． 解　(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6.)) 所以D(－1，6). (2)因为kAC＝ eq \f(4－2,3－1)＝1，kBD＝ eq \f(6－0,－1－5)＝－1，所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 10．已知△ABC的顶点A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)，求△ABC的边BC上的高AD所在直线的斜率和垂足D的坐标． 解　因为B(－1，－1)，C(2，1)， 所以kBC＝ eq \f(1＋1,2＋1)＝ eq \f(2,3)， 所以BC边上的高AD所在直线的斜率kAD＝－ eq \f(3,2). 设D(x，y)，由kAD＝ eq \f(y－3,x－1)＝－ eq \f(3,2)， 及kBD＝ eq \f(y＋1,x＋1)＝kBC＝ eq \f(2,3)， 得x＝ eq \f(29,13)，y＝ eq \f(15,13)，则D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,13)，\f(15,13))). 能力提升 11．将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，点(2 023，2 024)与点(m，n)重合，则m＋n＝(　　) A．1 B．2 023 C．4 047 D．4 046 解析　设A(2，0)，B(－2，4)，则A，B所在直线的斜率为kAB＝ eq \f(4－0,－2－2)＝－1，由题知过点(2 023，2 024)与点(m，n)的直线与直线AB平行，所以 eq \f(n－2 024,m－2 023)＝－1，整理得m＋n＝2 023＋2 024＝4 047. 12．(多选)已知点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下面四个结论中正确的是(　 　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．PR⊥QS 解析　由斜率公式知，kPQ＝ eq \f(－4－2,6＋4)＝－ eq \f(3,5)，kSR＝ eq \f(12－6,2－12)＝－ eq \f(3,5)，kPS＝ eq \f(12－2,2＋4)＝ eq \f(5,3)，kQS＝ eq \f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝ eq \f(6－2,12＋4)＝ eq \f(1,4)，所以PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，所以直线PS与QS不平行，A、B、D正确，故选ABD. 13．(2023·北京丰台区质检)已知过点(0，2)的直线l的方向向量为(1，6)，点A(a，b)在直线l上，则满足条件的一组a，b的值为 ． 解析　由题易知 eq \f(b－2,a－0)＝ eq \f(6－0,1－0)，整理得6a－b＋2＝0，令a＝1，得b＝8.故a，b的值可以为1，8. 多元数学 14．(直观想象)在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明． 解　四边形OPQR是矩形．证明如下： OP边所在直线的斜率kOP＝t， QR边所在直线的斜率kQR＝ eq \f(2＋t－2,1－2t－(－2t))＝t， OR边所在直线的斜率kOR＝－ eq \f(1,t)， PQ边所在直线的斜率kPQ＝ eq \f(2＋t－t,1－2t－1)＝－ eq \f(1,t)，所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ， 所以OP∥QR，OR∥PQ， 所以四边形OPQR是平行四边形． 又kQR·kOR＝t× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,t)))＝－1， 所以QR⊥OR，所以四边形OPQR是矩形． 又kOQ＝ eq \f(2＋t,1－2t)，kPR＝ eq \f(t－2,1＋2t)，令kOQ·kPR＝－1，即 eq \f(2＋t,1－2t)· eq \f(t－2,1＋2t)＝－1，无解，所以OQ与PR不垂直，故四边形OPQR是矩形． $