第3章 幂、指数与对数单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 沪教版幂、指数与对数单元检测卷，以DeepSeek科技、《增广贤文》等为情境，覆盖指对运算、方程求解等核心知识，梯度设计合理，注重数学运算与建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|指数对数运算、定义域、指对互化|新定义“贺数”考查对数换底| |选择题|4/18|指对函数性质、实际应用|天文学距离计算、古文进步率模型| |解答题|5/78|化简求值、方程求解、数学建模|AI数据处理时间建模，结合基本不等式求最值|

【原卷版】 【沪教版】《第3章 幂、指数与对数》单元检测卷 （本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．计算： 2．若有意义，则实数x的取值范围为______． 3．将指数式化为对数式，其中正确的结果为 4．若，则的取值范围为 5．化简：____________ 6．若要使有意义，则取值范围是 7．幂的基本不等式是：当，时，________1恒成立 8．方程的解是_______. 9．十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝_____． 10．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是______天（四舍五入精确）（参考数据：）. 11．已知集合，若，则______. 12．把满足，为整数的叫做“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13．下列式子中成立的是（     ） A． B． C． D． 14．天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等M，目视星等m和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为﹣5.53，在地球某地测得天狼星的目视星等为﹣1.45，老人星的目视星等为﹣0.73，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为（     ）（100.54≈0.288，101.54≈34.67） A．0.288 B．0.0288 C．34.67 D．3.467 15．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 16．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（     ）天参考数据：，， A．18 B．30 C．51 D．69 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 化简：（1） （2） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． （1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 19．（本题满分14分）本题共有4个小题，第1小题满3分，第2小题满分3分，第3小题满分3分，第4小题满分5分． 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 近日，DeepSeek火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效的算法和工程技术，显著降低了AI模型的训练成本，同时也代表着我国在AI技术方面的迅速发展和进步.相关数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N（单位：字节）的数据时，处理时间t（单位：秒）满足关系式（其中，均为常数）．已知当时，；当时，． （1）求，的值； （2）若该程序利用后台算法处理一份数据量的数据，求所需的处理时间； （3）若将（2）中的数据分为两份，数据量分别为和，其中，，，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值； 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． （1）试利用对数运算性质计算的值； （2）已知为正数，若，求的值；3 （3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【解析版】 【沪教版】《第3章 幂、指数与对数》单元检测卷 （本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．计算： 【提示】根据指数和对数的运算性质计算可得； 【答案】； 【解析】原式. 【说明】本题考查了指数幂的运算、对数的运算； 2．若有意义，则实数x的取值范围为______． 【提示】根据根式的定义求解； 【答案】； 【解析】因为，根指数为6，所以，，所以，； 故答案为：． 【说明】本题主要考查了偶次方根有意义与根式的化简求值； 3．将指数式化为对数式，其中正确的结果为 【提示】根据指对数的关系，直接写出对应的对数式即可； 【答案】； 【解析】由有，结合题设，则有. 【说明】本题主要考查了指数式与对数式的互化； 4．若，则的取值范围为 【提示】化简方程左边根式，解绝对值方程，即可求出的取值范围； 【答案】； 【详解】由题意，因为，， 由可知，所以，； 故a的取值范围为； 【说明】本题主要考查了根式的化简求值，与绝对值化简进行了简单交汇； 5．化简：____________ 【提示】注意指数幂运算性质； 【答案】； 【解析】原式. 【说明】本题考查了指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化； 6．若要使有意义，则取值范围是 【提示】由题可得，由即得； 【答案】； 【解析】因为，， 要使有意义，则，即， 所以，， 故答案为：； 【说明】本题考查了分数指数幂与根式的互化、求与幂有关的代数式有意义的取值范围； 7．幂的基本不等式是：当，时，________1恒成立 【提示】根据函数的性质，直接判断符号； 【答案】； 【解析】根据指数函数的性质可知当时，. 故答案为： 【说明】本题主要考查了定理：幂的基本不等式； 8．方程的解是_______. 【提示】注意先将“”视作整体，然后结合对数知识求解； 【答案】； 【解析】，，，； 【说明】本题主要考查了简单的指数方程； 9．十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝_____． 【提示】利用指数与对数的关系、对数的运算性质、换底公式运算即可得解； 【答案】2； 【解析】由题意，，时，， 所以，，， 所以， . 故答案为：2； 【说明】本题综合考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化； 10．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是______天（四舍五入精确）（参考数据：）. 【提示】根据已知条件，推得，再结合对数公式，即可求解； 【答案】； 【解析】设经过天“进步”的是“退步”的1000倍， 则，即， 故. 故答案为：； 【说明】本题考查了对数运算性质与运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化； 11．已知集合，若，则______. 【提示】根据集合的性质和相等进行求解即可； 【答案】； 【解析】由集合，可得或， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性； 当时，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以则. 故答案为：； 【说明】本题根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性，结合指数幂运算求参数； 12．把满足，为整数的叫做“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是 【提示】利用换底公式计算可得，即可判断； 【答案】4； 【解析】因为 ， 又，，，，，……， 所以当，，，时，为整数， 所以在区间内“贺数”的个数是． 故答案为：； 【说明】本题通过新定义，综合考查了对数的运算、运用换底公式化简计算； 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13．下列式子中成立的是（     ） A． B． C． D． 【提示】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解； 【答案】C； 【解析】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 【说明】本题考查了根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化； 14．天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等M，目视星等m和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为﹣5.53，在地球某地测得天狼星的目视星等为﹣1.45，老人星的目视星等为﹣0.73，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为（     ）（100.54≈0.288，101.54≈34.67） A．0.288 B．0.0288 C．34.67 D．3.467 【提示】利用题中的数据，设出地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2，即可解出； 【答案】B； 【解析】设地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2， 由题意可得， 所以， 所以， ， 故选：B； 【说明】本题考查了对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题； 15．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【提示】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项； 【答案】C； 【解析】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 【说明】本题考查了运用换底公式证明恒等式、指数式与对数式的互化； 16．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（     ）天参考数据：，， A．18 B．30 C．51 D．69 【提示】结合已知条件，利用对数运算即可求解； 【答案】D； 【解析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的4倍，则 ， 所以， 故选：D. 【说明】本题主要考查数学阅读理解与对数的运算性质的应用； 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 化简：（1） （2） 【提示】（1）根据根式与指数幂的互化公式，以及指数幂的运算法则，直接计算，即可得出结果； （2）根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果； 【答案】（1）；（2）2； 【解析】（1）原式； （2）原式 ； 【说明】本题考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值； 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． （1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【提示】注意指数幂与对数的灵活转化； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）方法1：因为，，则，， 所以； 方法2：因为，， 则， 所以． （2）方法1：因为，，则，， 则， 所以； 方法2：由，，则，． 所以． 【说明】本题考查了对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值； 19．（本题满分14分）本题共有4个小题，第1小题满3分，第2小题满分3分，第3小题满分3分，第4小题满分5分． 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【提示】（1）两边取对数，结合对数运算法则计算出答案； （2）先得到，进而求出，求出答案； （3）先根据真数大于0，得到，由对数运算法则得到，得到答案； （4）由题意知且，令，得到方程，解得或，故或． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或； 【解析】（1）由，两边取常用对数得，则， 解得． （2）由，得，得，故方程的根是． （3）由真数大于0，得解得， 由原方程得， 所以， 所以，即， 整理得，解得或（舍去），故方程的根是． （4）由题意知且，令，易知，则， 整理得，解得或，所以或， 故或． 【说明】本题综合考查了简单的对数方程、简单的指数方程、指数式与对数式的互化、对数的运算； 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 近日，DeepSeek火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效的算法和工程技术，显著降低了AI模型的训练成本，同时也代表着我国在AI技术方面的迅速发展和进步.相关数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N（单位：字节）的数据时，处理时间t（单位：秒）满足关系式（其中，均为常数）．已知当时，；当时，． （1）求，的值； （2）若该程序利用后台算法处理一份数据量的数据，求所需的处理时间； （3）若将（2）中的数据分为两份，数据量分别为和，其中，，，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值； 【提示】（1）由题干中的函数解析式以及给定的值，建立方程组，结合对数运算，可得答案； （2）由（1）所得函数解析式，代入给定值，可得答案； （3）由基本不等式，可得答案； 【答案】（1），；（2）所需的处理时间为秒；（3）所需的总处理时间的最小值为秒； 【解析】（1）由题意得，故， 两式相减可得，故， 故． （2）由（1）可知，当时，， 故所需的处理时间为秒. （3）， 当且仅当时取等号， 故所需的总处理时间的最小值为秒； 【说明】本题考查了利用对数运算性质解决实际问题； 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． （1）试利用对数运算性质计算的值； （2）已知为正数，若，求的值； （3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【提示】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果； 【答案】（1）；（2）；（3）610； 【解析】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 【说明】本题考查了对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化； 第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $