2.1 第2课时 圆的一般方程课时练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，新授课场景下针对“圆的一般方程”设计，通过三级分层实现从概念理解到综合应用的进阶，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|圆的一般方程基础（圆心坐标、点与圆位置关系等）|选择、填空为主，如第1题直接考查圆心计算，夯实概念理解| |B级|圆的对称、实际应用（赵州桥、隧道问题）|解答题占比高，如第14题隧道截面建模，提升数学建模能力| |C级|曲线方程综合辨析、二次函数与圆的交汇|多选题与创新解答题，如第16题探究圆过定点，发展创新意识|

2.1第2课时　圆的一般方程 A级　必备知识基础练 1.若圆的方程为x2＋y2＋x＋2y－10=0，则圆心坐标为(　　) A．(1，－1) B．(，－1) C．(－1，2) D．(－，－1) 2.已知点A，圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋1=0，则点A与圆的位置关系是(　　) A．点A在圆外 B．点A在圆内且不是圆心 C．点A在圆上 D．点A是圆心 3. 若直线2x－y＋a=0始终平分圆x2＋y2－4x＋4y=0的周长，则a的值为(　　) A.4　　 B.6 C．－6　　 D．－2 4.方程x2＋y2－kx＋2y＋k2－2=0表示圆的一个充分且不必要条件是(　　) A．k∈(－∞，－2)⋃(2，＋∞) B．k∈(2，＋∞) C．k∈(－2，2) D．k∈(0，1］ 5.(多选题)(2025江宁高二质检)已知方程x2＋y2＋2x－m=0，下列叙述正确的是(　　) A．方程表示的是圆 B．当m=0时，方程表示过原点的圆 C．方程表示的圆关于直线x＋y＋1=0对称 D．方程表示的圆的圆心在x轴上 6.经过点A(1，)和B(2，－2)，且圆心在x轴上的圆的一般方程为　　　　　　　　　． 7.(2025海门高二月考)与圆C：x2＋y2－x＋2y=0关于直线l：x＋y=0对称的圆的标准方程是　　　　． 8.已知某隧道的截面是半径为4 m的半圆，且车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？ 9.已知点A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，D(a，2)四点共圆，求点D到坐标原点O的距离． B级　关键能力提升练 10. 若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 11.已知圆C1：x2＋y2＋2x－2y＋1=0，圆C2与圆C1关于直线x－y－1=0对称，则圆C2的方程为(　　) A．x2＋y2－4x＋4y＋7=0 B．x2＋y2－4x－4y＋7=0 C．x2＋y2＋4x＋4y＋7=0 D．x2＋y2＋4x－4y＋7=0 12.(多选题)(2025泰州高二月考)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3=0，圆心在直线x＋y－1=0上，且圆心在第二象限，半径为，则(　　) A．D=2　　 B．D=－2 C．E=－4　　 D．E=4 13.河北省赵县的赵州桥，是世界上现存最古老的石拱桥之一．赵州桥的跨度约为37.4 m，圆拱高约为7.2 m．试建立适当的直角坐标系，则这个圆拱所在的圆的方程为　 　．(半径保留小数点后一位) 赵州桥 14.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形(长、宽分别为8 m，4 m)和圆弧构成，截面总高度为6 m，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行车道总宽度|AB|=6 m． (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程． (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ C级　学科素养创新练 15.(多选题)已知曲线C：Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F=0，则(　　) A．若A=B=1，则曲线C是圆 B．若A=B≠0，D2＋E2－4AF＞0，则曲线C是圆 C．若A=B=0，D2＋E2＞0，则曲线C是直线 D．若A≠0，B=0，则曲线C是直线 16.已知二次函数f(x)=x2＋2x＋b(x∈R)的图象与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C，求圆C经过定点的坐标(其坐标与b无关)． 答案： 1.D　2.C　3.C 4.D　解析　方程x2＋y2－kx＋2y＋k2－2=0可化为(x－)2＋(y＋1)2=3－k2，若方程表示圆，则3－k2＞0，即k∈(－2，2)，因为(0，1]⊆(－2，2)，所以k∈(0，1]是方程x2＋y2－kx＋2y＋k2－2=0表示圆的一个充分且不必要条件，故选D． 5.BCD　解析　方程x2＋y2＋2x－m=0，配方得(x＋1)2＋y2=m＋1，若方程表示一个圆，则m＋1＞0，从而m＞－1，故A错，B正确；方程表示圆时，圆心为(－1，0)，在直线x＋y＋1=0上，故C，D正确．故选BCD． 6.x2＋y2－6x=0　解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)． 因为圆心在x轴上，所以－=0，即E=0. 又圆过点A(1，)和B(2，－2)， 所以 即解得 故所求圆的方程为x2＋y2－6x=0. 7.(x－1)2＋(y＋)2=　解析　圆C：x2＋y2－x＋2y=0的圆心C(，－1)，半径为，点C(，－1)关于直线l：x＋y=0对称的点的坐标为C′(1，－)，则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋)2=，故答案为(x－1)2＋(y＋)2=． 8.解　以截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，那么半圆的方程为x2＋y2=16(y≥0)． 将x=2.7代入，得y2=16－2.72=8.71＜9，即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，所以货车不能驶入这个隧道． 9.解　设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0， 则解得 所以点A，B，C所在圆的方程为x2＋y2－4y－1=0.又因为点D在此圆上，所以a2＋4－8－1=0，解得a2=5，所以点D到坐标原点O的距离d==3. 10.C　解析　由题意得，曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2=4，因此曲线C是圆心为(－a，2a)，半径为2的圆． ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴解得a＞2， ∴a的取值范围是(2，＋∞)． 11.A　解析　由题意，知两圆圆心关于直线x－y－1=0对称，且两圆半径相等．因为圆C1：x2＋y2＋2x－2y＋1=0，即C1：(x＋1)2＋(y－1)2=1，所以圆心C1(－1，1)，半径r=1.设圆心C1(－1，1)关于直线x－y－1=0的对称点为C2(m，n)，则解得m=2，n=－2，即C2(2，－2)，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2=1，即x2＋y2－4x＋4y＋7=0. 12.AC　解析　圆心C(－，－)，因为圆心在直线x＋y－1=0上，所以－－－1=0，即D＋E=－2，① 又r==，所以D2＋E2=20.② 由①②可得或 又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0，所以 13.x2＋y2=27.92　解析　根据题意，设圆的圆心为O，圆的半径为R． 如图，以圆心O为原点，以圆拱高所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 由题意，|AB|=37.4 m，|CD|=7.2 m，|AC|=|AB|=18.7 m， 在Rt△ACO中，R2=18.72＋(R－7.2)2，解得R≈27.9 m， 故所求圆的方程为x2＋y2=27.92. 14.解　(1)以圆弧的顶点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 故圆心在y轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为x2＋y2＋Ey=0， 易知，点(4，－2)在圆上，将(4，－2)的坐标代入圆的一般方程得16＋4－2E=0，E=10，则该圆弧所在圆的一般方程为x2＋y2＋10y=0. (2)令x=3，代入圆的方程得y2＋10y＋9=0，得y=－1或y=－9(舍)，由于隧道的总高度为6米，且6－1－0.5=4.5(米)，因此，车辆通过隧道的限制高度为4.5米． 15.BC　解析　对于A，当A=B=1时，曲线C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，若D2＋E2－4F＞0，则曲线C是圆；若D2＋E2－4F=0，则曲线C是点(－，－)；若D2＋E2－4F＜0，则曲线C不存在．故A错误． 对于B，当A=B≠0时，C：Ax2＋Ay2＋Dx＋Ey＋F=0，且D2＋E2－4AF＞0，则曲线C是圆，故B正确． 对于C，当A=B=0时，曲线C：Dx＋Ey＋F=0，且D2＋E2＞0，则曲线C是直线，故C正确． 对于D，当A≠0，B=0时，曲线C：Ax2＋Dx＋Ey＋F=0，若E=0，则曲线C：Ax2＋Dx＋F=0表示一元二次方程，若E≠0，则曲线C：Ax2＋Dx＋Ey＋F=0表示抛物线，故D错误． 16.解　二次函数f(x)=x2＋2x＋b(x∈R)的图象与坐标轴有三个不同的交点，记为M(m，0)，N(n，0)，B(0，b)，易知b≠0，m，n满足m＋n=－2，m≠n，m2＋2m＋b=0，n2＋2n＋b=0． 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0， 则 ①－②，得m2－n2＋D(m－n)=0，D=－(m＋n)=2，所以n2＋2n＋F=0，从而F=b，代入③，得E=－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b=0， 整理得x2＋y2＋2x－y＋b(－y＋1)=0， 由解得或 所以圆C过定点(0，1)和(－2，1)． 学科网（北京）股份有限公司 $