2.1 第1课时圆的标准方程同步练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕圆的标准方程，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念直接应用到复杂问题解决的递进，培养几何直观与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆的标准方程概念及直接应用|以选择填空为主，如给定圆心半径写方程（第1题）| |中档|与直线、点位置关系的综合应用|含多选与解答题，如拱桥实际问题（第4题）| |提升|动圆性质、最值及跨知识应用|复杂解答题，如矩形外接圆方程求解（第14题）|

第1课时　圆的标准方程 1.以（1，－1）为圆心，2为半径的圆的标准方程为（　　） A.（x－1）2＋（y＋1）2＝4 B.（x－1）2＋（y＋1）2＝2 C.（x－1）2＋（y－1）2＝2 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4 2.若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的值为（　　） A.－1　　　B.1　　C.0　　　D.2 3.已知圆M过点O（0，0），A（2，0），B（2，－2），则圆M的标准方程是（　　） A.（x－1）2＋（y＋1）2＝2 B.（x－1）2＋（y－1）2＝2 C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D.（x＋1）2＋（y－1）2＝2 4.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则拱桥的直径为（　　） A.15 m　　 B.13 m C.9 m　　 D.6.5 m 5.（多选）以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（　　） A.x2＋（y－4）2＝20　　 B.（x－4）2＋y2＝20 C.x2＋（y－2）2＝20　　 D.（x－2）2＋y2＝20 6.（多选）已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线y＝0上，则（　　） A.点M1（2，3）在圆内　　 B.点M1（2，3）在圆外 C.点M2（2，4）在圆内　　 D.点M2（2，4）在圆外 7.写出符合条件：圆心在直线y＝x＋1上，且与x轴相切的一个圆的标准方程为　　　　. 8.若点（a，2a＋1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，则实数a的取值范围是　　　　. 9.圆（x－1）2＋（y－1）2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是　　　　. 10.已知圆过点A（1，－2），B（－1，4）. （1）求周长最小的圆的方程； （2）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程. 11.若圆C与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是（　　） A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1 B.（x－2）2＋（y－1）2＝1 C.（x－1）2＋（y＋2）2＝1 D.（x＋1）2＋（y－2）2＝1 12.（多选）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），则下列说法正确的是（　　） A.无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆Ck的面积均为4π 13. 已知三点A（3，2），B（5，－3），C（－1，3），以点P（2，－1）为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的标准方程为　　　　. 14.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的标准方程. 15.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，点A（0，－1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d＝PA2＋PB2，求d的最大值及最小值. 第1课时　圆的标准方程 1.A　由圆的标准方程知（x－1）2＋（y＋1）2＝4. 2.B　由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1. 3.A　由点O（0，0），A（2，0）在圆M上，故圆心在直线x＝1上，由点A（2，0），B（2，－2）在圆M上，故圆心在直线y＝－1上，即圆心M（1，－1），半径r＝＝，故方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2，故选A. 4.B　如图，设圆心为O，半径为r，则在Rt△OBD中，由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2，即r2＝（r－4）2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13 m. 5.AD　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），AB＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20. 6.AD　因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为（2，3），故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C（－1，0），半径r＝＝，故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋y2＝20.点M1（2，3）到圆心的距离为＝＜r，所以点M1在圆内，点M2（2，4）到圆心的距离为＝＞r，所以点M2在圆外，故选A、D. 7.（x－1）2＋（y－2）2＝4（答案不唯一）　解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，满足圆心（1，2）到x轴的距离等于半径，所以圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝4. 8.（－1，1）　解析：因为点（a，2a＋1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，则a2＋[（2a＋1）－1]2＜5，解得－1＜a＜1. 9.＋1　解析：圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的圆心为（1，1），则圆心到直线x－y＝2的距离为d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为＋1. 10.解：（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1），半径r＝AB＝. 则所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10. （2）法一　直线AB的斜率k＝＝－3， 故线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0. 由解得 即圆心的坐标是（3，2）. ∴r2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20. ∴所求圆的方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20. 法二　设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 则⇒ ∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20. 11.A　由两圆关于原点对称可知圆C的圆心坐标为（2，－1），半径为1，所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1. 12.ABD　易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确. 13.（x－2）2＋（y＋1）2＝13　解析：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是PA，PB，PC的中间值.因为PA＝，PB＝，PC＝5，所以PA＜PB＜PC，所以圆的半径r＝PB＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13. 14.解：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3. 又点T（－1，1）在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1）， 即3x＋y＋2＝0. （2）由解得点A的坐标为（0，－2）， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0）， 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心. 又r＝AM＝＝2， 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8. 15.解：设P（x，y）， 则d＝PA2＋PB2＝2（x2＋y2）＋2. ∵CO2＝32＋42＝25， ∴（5－1）2≤x2＋y2≤（5＋1）2， 即16≤x2＋y2≤36. ∴d的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $