解答题 三角函数、三角恒等变换与解三角形（九大题型专项训练）（天津专用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦天津高考中档解答题，构建“公式转化-定理应用-综合拓展”三阶方法体系，系统整合三角恒等变换与解三角形核心考法，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角恒等变换与三角函数|2例+2题|降幂化角→辅助角公式→换元求性质|从公式应用到函数性质，形成“化简-转化-求解”链条| |正余弦定理解三角形|2例+2题|定理选择→边角互化→数形结合|以定理为核心，建立边与角的转化逻辑| |解三角形最值范围|3例+4题|边角互化转函数/基本不等式，锁定角范围|从定性分析到定量计算，培养模型观念| |综合应用（含向量/实际）|3例+6题|三角化简衔接正余弦定理，关注隐藏条件|多知识融合，提升数学语言表达与应用意识|

解答题 三角函数、三角恒等变换与解三角形 天津高考三角函数、三角恒等变换与解三角形解答题，一般处在试卷中档大题位置，分值 14 分，设置两小问，难度适中，属于必须拿分的题型。第一问常考查三角恒等变换，结合诱导公式、和差公式、二倍角完成化简，转化为正弦型函数，求解周期、单调区间、最值。第二问多为解三角形，以正、余弦定理为核心，结合内角和、面积公式求解边长、角度。 命题常将三角恒等变换与解三角形融合考查，会设置边角互化，侧重公式灵活选用，部分考题结合周长、面积建立不等式求范围。命题减少复杂公式堆砌，重视边角条件转化，强调审题挖掘隐含条件，如三角形内角范围。未来命题方向保持中档定位，注重通性通法，会适度结合实际情境，强化逻辑运算，注意多解情况检验，侧重考查转化与化归思想。 题型一 三角恒等变换与三角函数 （2026·天津河东·三模）在中，分别为三个内角的对边．且 (1)求角的大小； (2)若． （i）求； （ii）求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由余弦定理结合同角三角函数的商数关系计算即可； （2）（i）利用余弦定理求解；（ii）根据正弦定理可求的值，结合，利用三角函数恒等变换的应用可求，进而可求答案. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得，所以， 又，故. （2）（i）因为，，， 所以，故. （ii）由正弦定理可得， 因为，所以，故，所以， 所以，， 所以. 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1．（天津市滨海新区塘沽第一中学2026届高三毕业班十二校联考（三）模拟考数学试题）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）由余弦定理求出，结合正弦定理求解即可. （3）根据同角的三角函数关系、二倍角公式及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 即， 中，，，所以， 所以，所以. 若，则，不满足，故， 所以，所以. （2）在中，由余弦定理得，，所以. 由正弦定理得，，所以. （3）因为，，所以，则，所以为锐角. 所以. 则， . 故. 2．（2026·天津东丽·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系可求出，再利用正弦定理计算即可得解； （2）利用三角形内角和关系、诱导公式与两角和的正弦公式计算可得，再利用面积公式计算即可得； （3）借助二倍角公式求出、后，利用两角和的正弦公式计算即可得解. 【详解】（1）由，则，则， 由正弦定理，可得， 由，则，故； （2） ， 则； （3）， ， 则 . 题型二：正余弦定理解三角形的边与角 （2026·天津滨海新区·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若周长为，外接圆半径为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据正弦定理，同角三角函数的关系，及两角和的正弦公式即可求解； （2）（ⅰ）结合（1）及正弦定理得到的值，再结合题意及余弦定理得到的值，进而根据三角形的面积公式即可求解； （ⅱ）结合（ⅰ）及题意即可得到，的值，再根据正弦定理即可得到，从而得到，再根据二倍角公式得到，，进而根据两角和的正弦公式即可求解的值． 【详解】（1）因为， 则由正弦定理有， 在中，有，且， 则，则， 即，即，解得． （2）（ⅰ）结合（1），由正弦定理有，即，解得， 又周长为，即，所以， 由余弦定理有， 即，解得， 所以的面积为． （ⅱ）由，结合（ⅰ），有，解得，或（舍去）， 结合（1），则由正弦定理有， 解得， 又在中，有，且，则， 则， ， 所以． 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．（2026·天津武清·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，为的中点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先在中利用余弦定理求得，再在中，由余弦定理求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则， 又，则. （2）由，为的中点，则， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 则. 2．（2026·天津宝坻·三模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解； （2）根据余弦定理求解； （3）利用二倍角公式与两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以； （2）由（1）可知，所以， 即，即，解得（舍去）； （3）因为，， 所以，，， 所以. 题型三：解三角形中角度最值范围 （2026·河北沧州·一模）已知的内角所对的边分别为，. (1)若，，求； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边的等式转化为角的关系式，结合已知求出，再借助已知条件变形结合正弦定理求得边长； （2）把用与表达，代入化简得到，利用基本不等式确定的上界，进而推出的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. 因为，所以，又，所以. （2）因为，所以，因为， 所以. 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以的最小值为. 解三角形角度、三角函数取值范围 方法技巧 核心两条路径：边角互化转边、利用内角和转单角函数，优先确定角的定义域，三角形内角A+B+C=π，每个角属于(0,π)。 已知边条件，用正弦定理把边化为角，统一成三角函数；或余弦定理结合基本不等式，求角的余弦最值，余弦在(0,π)单调递减，余弦越大角越小。 多个角时利用B=π-A-C消元，化为单一角的函数，严格限定自变量范围，警惕锐角三角形隐藏条件：三个角都小于2π。 求SinA、CosB范围，转化为正弦型函数值域求解。注意正弦值相等时角有两解，要结合三角形条件取舍。若出现周长、面积条件，可建立不等式约束，最后检验端点能否取到，避免范围扩大。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求bc的最大值； (2)若的周长为11，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用余弦定理结合基本不等式计算求解最大值； （2）应用余弦定理结合周长得出，再应用正弦定理计算求解. 【详解】（1）由余弦定理得， 代入数据，得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为． （2）由（1）得． 又的周长为11，所以． 因为，所以， 所以，， 则． 2．（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正余弦定理转化为边的关系求解即可； （2）根据余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理及正弦定理可得，， 即，所以. （2）， 当且仅当时等号成立， 由知，，所以. 题型四：解三角形中边长或周长最值范围 （2026·陕西汉中·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2) 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间. （2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围. 【详解】（1）∵ ，， ∴ . ∴ . 函数的最小正周期. 令， 解得， 即的单调递增区间为. （2）∵ ，∴ ，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，则， ∴ ，得. 由正弦定理得， ∴ ，. 又，故. ∵ 为锐角三角形，∴ ，解得. 的周长， ∵， ∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即周长的取值范围为. 在解三角形中，求解边长及周长最值是常见的基本题型，其中边长类最值包括“和”、“差”、“积”、“商”类最值，需进行边角互化巧妙转化变量，进而结合三角函数的值域或基本不等式来求解. 1. 基本不等式 ，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数， 叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等” 基本不等式的推论 重要不等式 （和定积最大） 当且仅当时取等号 当且仅当时取等号 2. 辅助角公式及三角函数值域 形如，，其中， 对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 【答案】(1)递增区间，递减区间 (2) 【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的单调性即可求出； （2）先求出，再利用余弦定理和基本不等式即可求出. 【详解】（1）由题意得， 令，当时，， 当，即时，单调递增，单调递增； 当，即时，单调递减，单调递减； 当，即时，单调递增，单调递增. （2），，， ，，，即， ，， 由基本不等式得，解得， 当且仅当时等号成立， 此时为等边三角形，满足锐角三角形，周长的最大值为. 2．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 题型五：解三角形面积最值范围 （2026·河南开封·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理和三角形面积公式结合三角恒等变换可得，再利用为锐角三角形求得角的范围即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 所以，即， 因为为锐角三角形，所以，且， 所以，， 又，所以． （2）由正弦定理，得，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，，即， 由，得， 所以，，， 所以的面积S的取值范围为. 1、常用三角形的面积公式： （1）； （2）； （3）（为三角形内切圆半径）； （4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。 2、三角形面积公式是核心，主要两条解题思路：边角互化、结合基本不等式。 已知一边及其对角，用余弦定理建立边的关系式，借助基本不等式求出ab的最值，再代入面积公式求最值；注意等号成立条件，判断三边能否构成三角形。也可用正弦定理把边全部化为角，将面积整理为单一角的三角函数，求值域，务必锁定角的取值范围，警惕锐角三角形等隐藏限制。 已知周长条件，联立余弦定理构造不等式求解。遇到范围问题，要分析角的变化趋势，看清端点是否可取。若题目有锐角、钝角约束，要剔除不符合条件的情况。最后回代检验，避免出现边、角不满足三角形隐含条件的错解。 1．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 2．（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先利用余弦定理和三角形的面积公式求出，再根据即可得出结论； （2）先利用余弦定理求出，再根据四边形的面积结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及， 得：， 所以，即. 又因为，所以， 因为，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即， 所以是等边三角形； （2）如图，在中，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 则 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 即四边形的面积的取值范围是． 题型六：三角形的角平分线、中线、垂线 （2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为. （2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】（1） ； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以， 得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立； 故的最小值为. 1、涉及中线长的工具： 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： （2）角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 2、涉及角平分线的工具： 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， （1）内角平分线定理： 核心技巧：或 （2）等面积法 核心技巧 （3）角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 1．（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 2．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； （2）由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 题型七：三角函数与解三角形的综合 （2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换，特殊角的三角函数值得到，由正弦定理可得； （2）根据三角形面积和余弦定理可得方程组，联立可得，求出三角形周长 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， ， 又，，， 所以，，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， （2），故， 由三角形面积公式可得， ，， ，即，， 在中，由余弦定理可得， 即，故， 因为，所以，解得或（舍去）， 故的周长为. 三角函数与解三角形综合问题 解题技巧 这类题一般分为两小问，第一问三角恒等变换，第二问解三角形。解题第一步优先化简，利用和差、二倍角、辅助角公式，把解析式化为y=Asin(ωx+φ)形式，求解周期、角度、最值。 进入解三角形部分，灵活做边角互化：等式是齐次式优先正弦定理；出现平方、边长优先余弦定理。结合面积公式建立关系式。 遇到角度、边长、面积范围最值，要么转化为单角三角函数求值域，要么余弦定理搭配基本不等式。格外重视隐藏约束：三角形内角和、锐角三角形各角小于π/2，确定角的取值区间。 看清多解情形，正弦定理容易产生两解，要根据题意取舍。计算结束检验边角是否满足三角形条件，端点能否取到。综合题关键是做好三角化简与正余弦定理之间的衔接，不要混淆函数定义域与三角形内角范围。 1．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）30（ii） 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）（ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 2．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 (2) 【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得，再由正弦函数的单调性与对称性，即可得解； （2）根据正弦函数取值可得，再利用余弦定理求出b的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面积公式，即可得解． 【详解】（1）， . 所以. 由 ，得. 即 . 由 ， 得 ，即. 所以函数 的单调递增区间为 . 令 ，得 ， 此时 ，所以函数 的图象的对称中心为 . 综上所述，函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 （2）由（1）知 ，由 得 ， 因为 为锐角，所以，则 ， 所以，解得 . 由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 . 当 时，，，此时 ，由正弦定理得 ， 即 ，解得 ，所以 或 ， 若 ，则 ，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾; 若 ，则 ，此时三角形为钝角三角形，符合题意， 三角形面积 . 当 时，，，由余弦定理得 ， 所以，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去. 综上所述，三角形 的面积为 . 题型八：解三角形与平面向量的综合 （2026·浙江绍兴·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形面积为，已知． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式和向量数量积的定义化简即可求得； （2）利用正弦定理边化角，再由辅助角公式以及正弦函数的性质可求的最大值． 【详解】（1）由可得， 故，而为三角形内角，故． （2）由正弦定理，，故， 所以 ，其中， 当且仅当，即时，的最大值为． 核心第一步：把向量条件翻译成三角形边角关系。向量数量积a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ，若向量为三角形边向量，夹角务必看清是三角形内角还是其补角，这是高频易错点。 得到边角等式后，按解三角形思路处理：齐次式用正弦定理边角互化；含有边长平方，选用余弦定理。常结合面积公式、周长条件，求解边长、角度。 求最值范围时，转化为单角三角函数值域，或余弦定理搭配基本不等式。牢记三角形隐藏限制条件，锐角三角形要约束全部内角小于π/2。 注意向量方向，首尾向量与从同一点出发的向量夹角不一样。得到结果后回代，检验角度、边长是否符合三角形构成条件，排除增根。 1．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若点在边上，为的平分线且长度为1，求； (3)若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到，从而得到； （2）利用为及三角形的面积公式即可得到的关系式，变形得； （3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以， 因为，故． （2）因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． （3）因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 2．（2026·山东济南·模拟预测）的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求； (2)点满足，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面积公式与向量点积公式，代入已知条件化简，解得，结合得的大小； （2）用已知向量分解表示、，平方后利用得；再由余弦定理求出，代入即得结果. 【详解】（1）根据三角形面积公式，向量点积公式， 代入已知条件得， 约去得. 因为，故. （2）由于， 分别对和平方展开，代入得 ​； ​​. 由，得，代入化简得. 由余弦定理，，代入，得 . 因此. 题型九：解三角形的实际应用 （2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角的范围即可求解； （2）根据余弦定理可得，利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. （3）根据题意，结合余弦定理得，进而结合基本不等式得，再根据中线公式，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， 因为，即， 化简，解得（舍），，所以. 由， 则， 则，， 所以. （3）由（1）知，， 所以，由余弦定理得：， 因为，即，当且仅当时等号成立， 因为是边的中点，所以， 所以 ， 所以，即的最大值为. 1.把握解三角形应用题的四步： ①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图； ②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； ④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角. 1．（2026·天津河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）利用余弦定理直接求解. （2）利用正弦定理、二倍角公式及和角的正弦公式求解. （3）利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，得， 解得． （2）由正弦定理，得，即， 因为B为锐角，所以， 则，， 所以． （3）因为，即，所以， 则． 设点A到直线的距离为d， 因为，，所以． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）由三角形面积公式列方程求解； （2）由三角形面积公式求解即可；由余弦定理求即可. 【详解】（1）设，．则， 又， 由余弦定理，． 记，则， 因为为的平分线， 所以， 所以，又， 故，因此． （2）三角形面积：； 由（1）可知：． 1．（2026·天津滨海新区·三模）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)若，求的面积； (2)若． （i）求和的值； （ii）求的值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）已知三边边长，先用余弦定理求出，再求出，代入三角形面积公式即可求得面积； （2）（i）结合二倍角公式与正弦定理求出，再由二倍角余弦公式得，利用余弦定理列方程解出并根据角度关系舍去不合理解； （ii）利用三角形内角和将转化为，由诱导公式化简为，求出后借助正弦定理算出，进而得到所求三角函数值. 【详解】（1）已知，，，由余弦定理得： 因为 所以由同角三角函数关系得： 的面积. （2）（i）由正弦定理，且， 代入得，约去， 解得. 则. 由余弦定理， 代入得： 整理得，解得或. 当时，，则，，即， 此时，矛盾，舍去； 当时，，符合题意； 故. （ii）由三角形内角和，，得， 则，故. 由，得， 由正弦定理，得， 因此. 2．（2026·天津武清·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A的大小； (2)若， （i）求的面积； （ii）求的值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据正弦定理化简已知条件，求出，结合三角形内角的性质求出； （2）（i）根据余弦定理结合三角形面积公式求出三角形面积；（ii）利用正弦定理求出，结合三角形边角关系求出，进而利用二倍角公式求出，最后利用两角和的正弦公式求解． 【详解】（1）由正弦定理得，代入得： ， ， ， 则， ， 即，故， ， ． （2）（i）已知，由余弦定理： ，代入数值得： ，即， 解方程得或（舍去）， ， ； （ii）， 则， 由正弦定理得，， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·天津红桥·二模）在中，内角所对的边分别是，已知． (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）先展开并整理已知等式，得到边的关系式，再代入余弦定理公式，直接求出的值。 （2）① 先由求出，再结合，用正弦定理求出； ②先由判断为锐角，求出，再用二倍角公式算出，，最后用两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）由，整理得，                ， 所以； （2）①若，则， 因为，所以，             由，得， 所以； ②由，得，即，所以一定为锐角， 所以，则， 所以， 所以． 4．（2026·天津北辰·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角B的大小； (2)若， （i）求的值； （ii）求. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】(1)利用正弦定理将题目的角的条件化为边的条件，再结合余弦定理求解出角的余弦值即可求出角. (2)（i）利用余弦定理求解即可.（ii）利用余弦定理解出，再求出再利用二倍角公式求出再利用两角和与差的正弦求解出结果即可. 【详解】（1）由已知化简得： 由正弦定理边角互化可得： 再根据余弦定理，将代入可得： . 因为，所以. （2）（i）由题意得，， 由余弦定理得， 解得或（舍去）. （ii）由余弦定理得 ， 5．（2026·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出，结合三角形内角的范围求出角； （2）由正弦定理结合已知条件求出，利用余弦定理求出； （3）利用已知条件求出，进而求出，利用二倍角公式求出，再利用三角形内角关系结合两角差的余弦公式求解． 【详解】（1）已知， 由余弦定理得， 整理可得， ， 又， ． （2）由正弦定理得， ． 由（1）知， ． （3）由（2）知，则，解得， 由（2）知， 为锐角，故， ， ，，即， ． 6．（2026·天津河北·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值： (2)求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）利用正弦定理对进行边化角，即可求得的值； （2）由于第1小问已经求得的值，再利用余弦定理求出边长，最后用面积公式求出的面积； （3）由第1小问及第2小问中可知的值及边长，再由正弦定理求得A的正弦值，由正弦值再求出余弦值，最后用余弦和角公式计算. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 因为，所以，所以， 故，由，得. （2）因为，，由余弦定理， 得，， 解得，或（舍去）. 所以. （3）由正弦定理，得，即， 因为为钝角，所以为锐角，， ，， 所以. 7．（2026·天津·二模）在中，角所对的边分别为．已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解. （2）由，可得,利用正弦定理求解. （3）利用二倍角的正弦公式和余弦公式求出和，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）在中，，，. 根据余弦定理， 将，，代入， 可得， 因为为三角形的边长，即，所以. （2）因为是三角形内角，则，所以. 由，可得. ，， ，. ，为钝角，为锐角， . （3），， ， ， . 8．（2026·北京朝阳·二模）在中，，． (1)求的值； (2)已知的面积为，求的周长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）由正弦定理和同角三角函数关系得到，从而得到； （2）根据三角形面积公式可得，由余弦定理可得，得到三角形周长. 【详解】（1），， 两式相除得，由正弦定理得， 即，又，故，所以， 又，解得， ，故； （2）的面积为，即， 又，所以， 由（1）知， 由余弦定理得， 解得， 故的周长为. 9．（2026·天津·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理得，再结合余弦定理求边长即可； （2）解法一：利用正弦定理求；解法二：利用余弦定理求出，再根据同角三角函数关系得到； （3）利用倍角公式，结合三角和差公式求值即可． 【详解】（1）解法一：因为，根据正弦定理得，即， 根据余弦定理， 则，解得， ； 解法二：因为，根据正弦定理得， 根据余弦定理， 则，解得，， ； （2）解法一：根据正弦定理  得， 所以解得； 解法二：，  由余弦定理可得： ， 是的内角， ； （3），  由余弦定理可得：， ， ， ． 10．（2026·天津河西·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求a和c的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理求解即可； （3）利用二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以设，（）， 根据余弦定理得，将，， 代入得  化简得， 解得，结合得，因此，. （2）因为B为的内角，所以， 根据同角三角函数的平方关系得，, 根据正弦定理，代入，，, 得到; （3）在中，，因为， 所以角为锐角，故, 由同角三角函数平方关系， 由二倍角公式， 而， 由两角差的正弦公式得 . 11．（2026·天津和平·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角得，结合条件利用和角公式求得，进而求出的值； （2）利用（1）的结论，结合和角公式求得的值，进而利用三角形面积公式即可求得； （3）利用三角恒等变换公式依次求得，与的值即可. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，则， 整理得， 故. （2）由（1）可知，则角为锐角，因为，， 求得，，同理解得，， 因为，所以， 则. （3）由，故， ，， 则. 12．（2026·天津河东·二模）已知正三角形，边长为3，点在边上（如图），，． (1)求的长，的值； (2)求的值； (3)求的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）由二倍角的正弦及两角和的正弦公式求解； （3）利用正弦定理求解. 【详解】（1）在中，，，， ，解得， ，. （2）由（1），, . （3）因为， 所以由正弦定理可得， 所以，解得. 13．（2026·天津东丽·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理可求的值. （2）根据（1）的结论，先求的值，再利用正弦定理可求的值. （3）利用二倍角公式和两角和的余弦公式化简求值. 【详解】（1）由题可知，， 可得， 由余弦定理， 可得. （2）由题， 由正弦定理得， 因为，所以，即， 由（1），所以， 得. （3）由（1）可知，所以为钝角，为锐角， 所以， 因为，， 所以. 14．（2026·天津·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对进行化简、变形，结合余弦定理进行求解即可； （2）利用正弦定理对进行边角转换，结合（1）的结论、同角的三角函数关系式进行求解即可； （3）利用二倍角的余弦和正弦公式，结合（1）、（2）的结论、同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】（1）， 由余弦定理可知； （2）根据正弦定理由， 因为，所以， 所以由， 由（1）可知， 所以，所以， 于是； （3）由（2）可知：， 在中，因为，所以， 因此， 于是， ， 由（1）可知，由（2）可知，所以. 15．（2026·天津红桥·一模）在中，内角所对的边分别是，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理代入计算解方程可得结果； （2）由正弦定理直接计算即可； （3）先由二倍角公式计算得出，再由两角和的正弦公式计算可得结果. 【详解】（1）由可得， 整理可得，即， 解得； （2）易知， 由可得； 由正弦定理可得； （3）因为，； 所以. 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 5．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 6．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 7．（2020·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案； （Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得 ， 又因为，所以； （Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得； （Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ， 进而， 所以. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题 三角函数、三角恒等变换与解三角形 天津高考三角函数、三角恒等变换与解三角形解答题，一般处在试卷中档大题位置，分值 14 分，设置两小问，难度适中，属于必须拿分的题型。第一问常考查三角恒等变换，结合诱导公式、和差公式、二倍角完成化简，转化为正弦型函数，求解周期、单调区间、最值。第二问多为解三角形，以正、余弦定理为核心，结合内角和、面积公式求解边长、角度。 命题常将三角恒等变换与解三角形融合考查，会设置边角互化，侧重公式灵活选用，部分考题结合周长、面积建立不等式求范围。命题减少复杂公式堆砌，重视边角条件转化，强调审题挖掘隐含条件，如三角形内角范围。未来命题方向保持中档定位，注重通性通法，会适度结合实际情境，强化逻辑运算，注意多解情况检验，侧重考查转化与化归思想。 题型一 三角恒等变换与三角函数 （2026·天津河东·三模）在中，分别为三个内角的对边．且 (1)求角的大小； (2)若． （i）求； （ii）求的值． 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1．（天津市滨海新区塘沽第一中学2026届高三毕业班十二校联考（三）模拟考数学试题）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 2．（2026·天津东丽·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值． 题型二：正余弦定理解三角形的边与角 （2026·天津滨海新区·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若周长为，外接圆半径为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）若，求的值． 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．（2026·天津武清·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，为的中点，且，求的值． 2．（2026·天津宝坻·三模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求； (3)若，求的值． 题型三：解三角形中角度最值范围 （2026·河北沧州·一模）已知的内角所对的边分别为，. (1)若，，求； (2)若，求的最小值. 解三角形角度、三角函数取值范围 方法技巧 核心两条路径：边角互化转边、利用内角和转单角函数，优先确定角的定义域，三角形内角A+B+C=π，每个角属于(0,π)。 已知边条件，用正弦定理把边化为角，统一成三角函数；或余弦定理结合基本不等式，求角的余弦最值，余弦在(0,π)单调递减，余弦越大角越小。 多个角时利用B=π-A-C消元，化为单一角的函数，严格限定自变量范围，警惕锐角三角形隐藏条件：三个角都小于2π。 求SinA、CosB范围，转化为正弦型函数值域求解。注意正弦值相等时角有两解，要结合三角形条件取舍。若出现周长、面积条件，可建立不等式约束，最后检验端点能否取到，避免范围扩大。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求bc的最大值； (2)若的周长为11，且，求． 2．（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 题型四：解三角形中边长或周长最值范围 （2026·陕西汉中·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 在解三角形中，求解边长及周长最值是常见的基本题型，其中边长类最值包括“和”、“差”、“积”、“商”类最值，需进行边角互化巧妙转化变量，进而结合三角函数的值域或基本不等式来求解. 1. 基本不等式 ，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数， 叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等” 基本不等式的推论 重要不等式 （和定积最大） 当且仅当时取等号 当且仅当时取等号 2. 辅助角公式及三角函数值域 形如，，其中， 对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 2．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 题型五：解三角形面积最值范围 （2026·河南开封·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 1、常用三角形的面积公式： （1）； （2）； （3）（为三角形内切圆半径）； （4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。 2、三角形面积公式是核心，主要两条解题思路：边角互化、结合基本不等式。 已知一边及其对角，用余弦定理建立边的关系式，借助基本不等式求出ab的最值，再代入面积公式求最值；注意等号成立条件，判断三边能否构成三角形。也可用正弦定理把边全部化为角，将面积整理为单一角的三角函数，求值域，务必锁定角的取值范围，警惕锐角三角形等隐藏限制。 已知周长条件，联立余弦定理构造不等式求解。遇到范围问题，要分析角的变化趋势，看清端点是否可取。若题目有锐角、钝角约束，要剔除不符合条件的情况。最后回代检验，避免出现边、角不满足三角形隐含条件的错解。 1．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 2．（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 题型六：三角形的角平分线、中线、垂线 （2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 1、涉及中线长的工具： 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： （2）角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 2、涉及角平分线的工具： 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， （1）内角平分线定理： 核心技巧：或 （2）等面积法 核心技巧 （3）角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 1．（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 2．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 题型七：三角函数与解三角形的综合 （2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 三角函数与解三角形综合问题 解题技巧 这类题一般分为两小问，第一问三角恒等变换，第二问解三角形。解题第一步优先化简，利用和差、二倍角、辅助角公式，把解析式化为y=Asin(ωx+φ)形式，求解周期、角度、最值。 进入解三角形部分，灵活做边角互化：等式是齐次式优先正弦定理；出现平方、边长优先余弦定理。结合面积公式建立关系式。 遇到角度、边长、面积范围最值，要么转化为单角三角函数求值域，要么余弦定理搭配基本不等式。格外重视隐藏约束：三角形内角和、锐角三角形各角小于π/2，确定角的取值区间。 看清多解情形，正弦定理容易产生两解，要根据题意取舍。计算结束检验边角是否满足三角形条件，端点能否取到。综合题关键是做好三角化简与正余弦定理之间的衔接，不要混淆函数定义域与三角形内角范围。 1．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 2．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 题型八：解三角形与平面向量的综合 （2026·浙江绍兴·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形面积为，已知． (1)求； (2)若，求的最大值． 核心第一步：把向量条件翻译成三角形边角关系。向量数量积a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ，若向量为三角形边向量，夹角务必看清是三角形内角还是其补角，这是高频易错点。 得到边角等式后，按解三角形思路处理：齐次式用正弦定理边角互化；含有边长平方，选用余弦定理。常结合面积公式、周长条件，求解边长、角度。 求最值范围时，转化为单角三角函数值域，或余弦定理搭配基本不等式。牢记三角形隐藏限制条件，锐角三角形要约束全部内角小于π/2。 注意向量方向，首尾向量与从同一点出发的向量夹角不一样。得到结果后回代，检验角度、边长是否符合三角形构成条件，排除增根。 1．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若点在边上，为的平分线且长度为1，求； (3)若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 2．（2026·山东济南·模拟预测）的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求； (2)点满足，且，求． 题型九：解三角形的实际应用 （2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 1.把握解三角形应用题的四步： ①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图； ②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； ④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角. 1．（2026·天津河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 1．（2026·天津滨海新区·三模）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)若，求的面积； (2)若． （i）求和的值； （ii）求的值． 2．（2026·天津武清·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A的大小； (2)若， （i）求的面积； （ii）求的值． 3．（2026·天津红桥·二模）在中，内角所对的边分别是，已知． (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②求的值． 4．（2026·天津北辰·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角B的大小； (2)若， （i）求的值； （ii）求. 5．（2026·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 6．（2026·天津河北·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值： (2)求的面积； (3)求的值. 7．（2026·天津·二模）在中，角所对的边分别为．已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 8．（2026·北京朝阳·二模）在中，，． (1)求的值； (2)已知的面积为，求的周长． 9．（2026·天津·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 10．（2026·天津河西·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求a和c的值； (2)求的值； (3)求的值. 11．（2026·天津和平·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 12．（2026·天津河东·二模）已知正三角形，边长为3，点在边上（如图），，． (1)求的长，的值； (2)求的值； (3)求的长． 13．（2026·天津东丽·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 14．（2026·天津·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 15．（2026·天津红桥·一模）在中，内角所对的边分别是，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 4．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 5．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 6．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 7．（2020·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $