解答题 空间向量与立体几何（八大题型专项训练）（天津专用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

解答题 空间向量与立体几何 天津高考空间向量与立体几何解答题固定为第 17 题，分值 15 分，设置三小问，属于中档大题，是主要得分题型。第一问必考线面、面面平行或垂直证明，优先几何推理；后两问以空间向量建系求解为主，高频考查线面角、二面角、点到平面距离，偶尔涉及体积计算。载体多为直棱柱、棱锥，坐标系大多容易建立，侧重法向量运算，同时兼顾几何法能力考查。命题重视定理条件完整表述，警惕建系错误、角度符号取舍等计算陷阱。未来命题整体难度保持稳定，会适度出现动点参数、截面情景，减少机械计算，强化空间想象。注重几何推理与向量运算结合，强调步骤规范，区分学生逻辑严谨度与运算准确度，突出转化思想，不设置偏难怪题 题型一 立体几何种平行关系的证明 （2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)取的中点，连接，， 由条件可得为的中位线，即， 又平面，平面，故平面， 由题意可知四边形是直角梯形，且， 则，，即四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，故平面， 而，平面，所以平面平面， 由平面，显然平面． (2) (3) 【分析】（1）构造面面平行即可证线面平行； （2）结合（1）找出直线与直线所成的角，再根据勾股定理，及余弦定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法即可确定的位置，进而根据等积法即可求出三棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，直线与直线所成角为， 又平面平面，平面平面，且，则平面， 又平面，则， 又，， 所以，，， 则在中，由余弦定理有， 所以直线与直线所成角的余弦值为． （3）连接，， 结合（1），（2）有是正方形，则，且， 又底面，则底面， 又，则，所以， 所以以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如下图空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，， 又线段上存在一点，则设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，，即， 设直线与平面所成的角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 所以是线段的中点， 所以． 平行包含线线平行、线面平行、面面平行，核心是三者之间互相转化。证明线面平行，常用判定定理：平面外一条直线平行平面内一条直线，即可证线面平行，找中位线、平行四边形是构造平行线最常用手段。 证明面面平行，在一个平面内找两条相交直线，分别平行于另一平面。性质定理：面面平行可推出线面平行、线线平行。 使用判定定理必须写全条件：线在平面外、线在平面内、两直线相交等，缺条件会扣分。也可借助空间向量，证明直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内。 做题优先观察几何体，利用中位线、平行四边形做辅助线；向量法注意建系准确。做完核对条件，避免漏掉 “直线不在平面内” 这类易错条件。 （2026·天津宝坻·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点，在上，且，    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足到平面距离为，求的长． 【答案】(1)∵ 平面，， 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由题意得. ∵ ，，， ∴ 在中，，，， 可得. ∵ 为中点，∴ . ∵ ，∴ 分的比为，得. 平面的法向量为. ， ∴ ，即. 又平面，∴ 平面. (2) (3) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，确定各点坐标. （1）通过证明与平面的法向量垂直，结合线面平行判定定理完成证明. （2）分别求解两个平面的法向量，利用向量夹角公式计算平面夹角的余弦值. （3）设出的参数坐标，结合点到平面的距离公式求解参数，再计算的长度. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， ，， 则，即， 取，得. 设平面与平面的夹角为，， 则. （3）在线段上，，令， 到平面的距离. 由题意得， ∴ ，即，得. ∴ . 题型二：立体几何中垂直关系的证明 （2026·天津·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ∵ 底面是边长为的正方形，底面，， ∴ . ∵ 是的中点，∴ . ∴ ，， ∴ ， ∴ ，即. 又由题知，且，平面， ∴ 平面. (2) (3)存在，点在线段上，且 【分析】(1) 要证明线面垂直，需证明直线垂直于平面内两条相交直线，结合已知，只需额外证明即可； (2) 分别求解两个平面的法向量，利用法向量夹角与面面角的关系计算正弦值 (3) 设出线段上点的坐标，结合三棱锥体积公式列方程求解，验证解的范围即可判断是否存在. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， ，， 则 ，令，得. 设平面的法向量为， ，， 则 ，令，得. 设平面与平面的夹角为， 则 . ∵ ，∴ . 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）假设线段上存在点满足条件，设， ∵ ，∴ . 则点到平面的距离. 又，，且， ∴ . ∴ . 令，解得，故存在满足条件的点. 此时的坐标为，即为线段上靠近点的四等分点. 1线面垂直.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条_______直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.线面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线垂直 一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的_______一条直线垂直 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线_______. 3.面面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面垂直 4.面面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_______，那么这条直线与另一个平面垂直 在垂直问题中，通常通过构造直角三角形利用勾股定理，利用垂直本身的性质或者利用三垂线定理得到垂直的直线，从而得证。 （2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过作于，根据已知证得、，再由线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值； （3）向量法求点面距离即可. 【详解】（1）在直角梯形中，过作于， 因为，，且， 所以四边形为正方形，可得，， 因为，所以， 在中，， 在中，， 在中，所以，即， 因为侧棱底面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面； （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； （3）已知平面的一个法向量为，平面外一点， 在平面上任取一点，所以， 点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 题型三：立体几何中线线角/线面角 （2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，进而得出线线垂直； （2）由已知是直角三角形，根据等积法，求出平面ABC上的高，结合空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）∵，为的中点 ∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）分别取、的中点为F、G，连结、， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形， ∴是直角三角形，，，， ∵、的中点为F、G， ∴，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； （3）在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为. 设， 由（2）知，，， ，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵平面和平面夹角的大小为， ∴， 即， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为，. 立体几何中异面直线所成的夹角： 1.平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 2.向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ② 立体几何中的线面角： 定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． 范围： 常见求法： 1.常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 2.向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 建系保证坐标轴两两垂直，坐标书写准确。算出向量后细心做点积运算。几何法找角要作出投影；向量法算出三角函数值后，写明对应角度。大题注意写清找角或建系过程，不能只写公式结果。最后核对角度取值范围，避免出现钝角这类错误答案。 （2026·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量，，即可用空间向量法求解； （2）由向量得出点到平面的距离，再由锥体的体积公式即可求解； （3）分别求出平面与平面的法向量，然后用空间向量法求解. 【详解】（1）由题意可知、、两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， 设异面直线与所成角为，则为锐角， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． （2）由（1）易知，，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 所以点到平面的距离为； ，，， 所以三棱锥的体积为． （3）由（1）可知，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 设平面与平面夹角为，则为锐角， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 题型四：立体几何中的面面角 （2026·天津和平·三模）在多面体中，四边形是菱形，，平面，，，是中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，设平面和平面的夹角为，则，代入数值计算得到，从而得到平面与平面的夹角的余弦值. （3）由点为棱上靠近点的三等分点， 得到，从而得到点的坐标， 设直线与平面所成的角为，则，代入数值计算，从而得到直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，，是中点，所以， 又，故，又，所以四边形是平行四边形， 所以且， 又因为四边形为菱形，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为四边形是菱形，，， 所以，、均为等边三角形. 以为原点，建立空间直角坐标系， ，，，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，取，得， ，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面和平面的夹角为， 则， 则平面与平面的夹角的余弦值为. （3）点为棱上靠近点的三等分点，， 则，， 则，又，则， 平面的法向量 ， 设直线与平面所成的角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为. 求立体几何中的面面角的求法： 1.定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 2.垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． 3.向量法 设是二面角的两个半平面的法向量， 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 4.三垂线法 在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点，作于； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接； ③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3 5.射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小； 6.补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用射影面积法解题． （2026·天津滨海新区·三模）如图，四边形为正方形，平面，，，点在线段上，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若三棱锥的体积为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】(1)通过面面平行的判定进而得到线面平行. (2)建立坐标系求出各点坐标以及平面法向量后进而求出夹角余弦值. (3)通过三棱锥体积公式求出底面面积进而求出长度. 【详解】（1）因为，，，，平面，平面，推出平面平面. 又因为平面，所以平面. （2） 建立以为原点的直角坐标系. 得出各点坐标，，，，，. 设，，，因为，解出，，那么. ，，得出平面法向量. ，，得出平面法向量. . （3） 作交于点. 因为平面，，所以平面，又因为平面，推出.由题意得，为正方形，进而. 因为，，并且,所以平面. ，，易得. ，那么. 题型五：立体几何中距离问题 （2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 求立体几何中点到线的距离: 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 求立体几何中线到面的距离： 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. （2026·天津南开·二模）如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，设，连接，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 因为 ， ， 所以，，即，， 又平面，，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）先建系得各点坐标，算出向量，由点积为证，，结合线面垂直判定定理得证； （2）由（1）知是平面法向量，再求平面法向量，用两法向量夹角公式算余弦值； （3）设，由垂直条件求得位置，再用点到平面距离公式算出结果． 【详解】（1）略 （2）由（1）知为平面的一个法向量． ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得． 设平面与平面的夹角为， 则． （3），设，． 因为，所以， 解得，从而． 所以点到平面的距离． 题型六：立体几何中的体积问题 （2026·天津东丽·二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD中点． (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAD与平面ABN夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：连接，过点作，垂足为， 因为，，，，所以，则， 所以，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）连接，过点作，垂足为，根据勾股定理易得，结合平面ABCD可得，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）利用等体积法结合棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）由于， 而到平面的距离为， 则. 核心公式：V=1/3Sh（锥体），V=Sh（柱体），关键找准底面积与对应高，高是底面到顶点的垂直距离，不是斜线段。 直接法：选方便计算的面作底面，作出或求出几何体的高；若线面垂直条件明确，优先直接求解。等体积法（换底）：三棱锥灵活转换顶点和底面，当某条线垂直平面时，就以此作为高，是高频技巧，尤其适合求点到平面距离。 分割补形法：不规则几何体，分割成棱柱、棱锥，分别求体积再相加；或者补成熟悉规则几何体，用整体减去多余部分。 空间向量可求点面距离，当作锥体的高。注意看清几何体类型，锥体不要忘记1/3系数，这是最常见计算失误。大题写清底、高选取依据，做完简单估算检验结果。 （2026·天津·二模）如图，在四棱台中，平面，底面是边长为的正方形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：如下图所示，以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的一个法向量为，， ， 则，代入可得， 令，则，， 则平面的一个法向量为， 又因为，，所以， 所以平面. (2) (3) 【分析】（1）通过证明平面的法向量与直线的方向向量平行，从而证明线面垂直； （2）通过求解两个平面的法向量的夹角，从而得到两个平面的夹角； （3）根据三棱锥的体积求解出直线对应的向量，然后通过求解直线与法向量的夹角从而得到直线与平面的夹角. 【详解】（1）略 （2）设平面的一个法向量为， ，， 则，代入可得， 令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则，         所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为点在棱上，设，， ， 解得，所以， ，平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型七：立体几何中的存在性问题 （2026·天津和平·二模）如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为平面ABCD，平面ABCD， 因此，又因为正方形ABCD，所以，， 所以平面，又平面， 所以平面平面； (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据题意先证平面，再根据面面垂直的判定即可证明； （2）以点A为原点建立空间直角坐标系，设点，利用向量法求平面角求出，确定点；（ⅰ）根据空间向量法求线面角即可；（ⅱ） 【详解】（1）略 （2）以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， ，，，，，. 若存在点P，设点，， 设平面PBD的法向量为，，， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为，易得平面的法向量为， 由已知有，即， 整理有，解得，或（舍）； 所以，，， （ⅰ）设直线与平面所成角为， ， 所以，直线与平面PBD所成角的正弦值为； （ⅱ）易知，设点到平面的距离为d，故. 点到平面PBD的距离为. 立体几何存在性多为动点是否满足平行、垂直、角度、距离条件，常用空间向量设参数求解。在动点所在线段上设参数，如设AP=λAB，λ∈[0,1]，写出动点坐标。 把题目要求的平行、垂直、二面角、线面角转化为向量等式或方程。解方程，若λ在[0,1]范围内，则点存在；超出区间则不存在。 几何法可先猜想位置，再证明，适合简单题型。注意参数取值范围，线段上动点λ必须介于 0 到1之间，这是高频易错点。 若是是否存在点使得角度为定值，建立关于λ的方程，看方程在区间内有无解。大题要写出设参过程，不能直接给出点的位置，最后下结论说明存在或不存在，并给出对应位置。 （2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) 证法一：连接与交于点，再连接， 因为， 所以 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面 证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则. 设是平面的一个法向量， ，则， 令，则，平面的一个法向量为. 因为，所以， 又因为平面，所以平面 (2) (3) 【分析】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行. 证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面 内,从而证得线面平行. （2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. 解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. （3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 . 解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果. 【详解】（1）略 （2）解法一： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得， ，所以线段的值为. 解法二： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得，，所以线段的值为. （3）解法一： 因为，所以， 解法二：由（1）所建立的坐标系可得. 则 故由余弦定理可得 所以， 由（1）得,平面的一个法向量为. 点到平面的距离. 题型八：立体几何中的最值问题 （2026·天津河北·一模）如图，直角梯形中，，，，四边形为矩形，底面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点P在棱上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) 设的中点，连接， 则，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又，所以． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，，． ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 因为，所以， 又因为平面，所以平面． (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法证明即可； （2）根据面面角向量法计算求解； （3）设，由空间向量线性运算可得，根据线面角向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2），，设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）设，， ， 设与平面所成角为， 则， 因为，， 所以的取值范围是． 立体几何最值多为线段长度、距离、角度、体积最值，优先使用空间向量，在线段上设参数λ∈[0,1]，写出动点坐标，把目标量表示成关于λ的函数，转化为函数求值域，结合二次函数、单调性求最值。 几何法可利用空间翻折、投影，结合几何性质判断最值位置；体积最值常转化为底面积或者高的最值。遇到距离最值，可借助空间对称转化，将空间问题转为平面几何求解。 重点注意参数λ的取值范围，不能超出线段区间。角度最值要牢记线面角、二面角自身取值范围。计算完检验端点能否取到。大题要写出建模过程，不可以直接写最值结果，最后检验结果是否符合立体几何实际情境。 （2026·河北沧州·一模）如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，. (1)若平面，求； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积的最小值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据点线面的位置关系得到点是的重心，从而由比例关系可得答案； （2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，求出平面的法向量，利用夹角公式进行求解； （3）设，，由共线定理推论可得，由基本不等式可得，并得到体积最小值 【详解】（1）设，如图. 因为，所以，， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为平面平面，所以，所以点也是与的交点， 即点是的重心，所以. 因为平面，平面平面， 所以，所以. （2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 因为，，所以，，，. 因为， . 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. （3）四棱锥的体积 . 由（1）知，恒过点，点为的重心.设，， 因为，，，三点共线， 所以，即， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时取等号. 因为，所以， 所以， 所以四棱锥的体积的最小值为. 1．（2026·天津红桥·二模）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 因为，所以，因为，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面； (2) (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用向量点积证明同时垂直于平面内的两条相交直线和，得出平面，再结合平面，证得平面平面； （2）先求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算出法向量夹角的余弦值，最后取其绝对值，得到两平面夹角的余弦值； （3）先计算底面的面积，再以点到底面的距离（即的竖坐标）为高，代入三棱锥体积公式计算出体积． 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量， 则，即，令，可得， 又设平面的法向量， 则，即，令，可得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（是的竖坐标）． 2．（2026·天津·二模）如图，多面体是直四棱柱被平面所截剩余的较大部分，其中正方形的边长为2，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 补全直四棱柱，则底面是边长为2的正方形，连接，则， 由直四棱柱的性质可知，平面，平面， ， 直四棱柱中，， 又平面， 由线面垂直判定定理得，平面． (2) (3) 【分析】（1）补全直四棱柱，根据直四棱柱的几何性质，利用线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，设平面的法向量为，求出，进而利用向量夹角的正弦公式计算求解； （3）求出点坐标，结合已知条件求出相关点和向量坐标，设平面的法向量为，求出，进而利用向量夹角的余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知正方形的边长为2，， 则， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设直线与平面所成角为，则 ． （3）已知点在线段上，且，则， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 由（2）知平面的法向量为， 设平面与平面夹角为，则 ． 3．（2026·天津河西·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，.已知，. (1)若为棱的中点，求证：平面PAB； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明：取棱的中点N，连接. 在中，M，N分别为，的中点， 所以，且.因为，所以. 又因为底面中，且，所以，且. 所以四边形为平行四边形，从而. 又因为平面，平面，所以平面. (2). (3). 【分析】（1）取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进而可求解； （3）利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 所以以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向， 建立空间直角坐标系. 由已知条件可得各点坐标，，，. 因为且，所以点C的坐标为. 对于平面，. 设平面的法向量为， 则， 令，则，. 所以平面PCD的一个法向量为. 对于平面，，. 设平面的法向量为， 则， 令，则，. 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 故这两个平面夹角的余弦值为. （3）由（2）可知，平面的一个法向量为， 因为点在平面上，且点A坐标为，所以 则点A到平面的距离d为， 所以点A到平面的距离为. 4．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的体积． 【答案】(1) 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 根据已知得，，，，， ，，，，， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令，则， 因为，所以， 所以平面. (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面即可； （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解； （3）利用向量法求出，再由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1）略 （2），，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 与平面所成角的正弦值为. （3）因为， ，， 所以， 所以． 5．（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明：在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴，因为平面ABC，以AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， 因为平面ABC， 所以平面ABC的一个法向量为， 因为，平面，   所以平面； (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性质进行运算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为y轴⊥平面BDM， 所以平面BDM的一个法向量为， ，              设平面BCD的一个法向量为， ， 取，则，所以，    设平面BCD与平面BDM的夹角为， ， ，       所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为； （3）， 设点M到平面BCD的距离为d， . 6．（2026·天津·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明如下： 取中点，连接，如下图所示：   因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，先根据面面平行判定定理证明平面平面，再证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求的坐标，利用向量方法求结论即可. 【详解】（1）（1）略 （2）因，则以为原点，所在直线为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，   则， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，又， 所以； （3）因为，为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 7．（2026·天津红桥·一模）如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，是中点，是中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1) 由于在直棱柱中，则⊥平面， 又由，所以，,两两垂直， 故可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 所以，即， 令，则，则， 又因为， 所以， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系证明平面的法向量，即可证明； （2）求出平面的法向量，用坐标法求解即可； （3）使用向量法求出到平面的距离，再利用体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 又， 则，即， 令，则，， 由（1）知平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图象可知， 故. （3）由已知平面，所以为直角三角形， 因为，， 所以， 又，平面的法向量为， 则到平面的距离， 故. 8．（2026·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是棱，的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，. 因为，， 平面， 所以平面. (2) (3). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合垂直的坐标关系即可求证， （2）（3）求解平面法向量，根据点面距的向量法以及夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2），，. 设平面的法向量为， 则即，令，得， 所以. （3），. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设平面与平面夹角为， 则. 9．（2026·天津和平·一模）在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角，面面角和点到平面的距离进而即得. 【详解】（1）由，直四棱柱，有平面， 故以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易知， 由分别为的中点，故． 易知， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为． （2）设平面的法向量为， 则， 令，则， 设平面与平面的夹角为， 则平面与平面的夹角的余弦值为． （3）设点到平面的距离为． 由，有，故． 10．（2026·天津河西·一模）已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 设是平面的一个法向量， 则，则 ，取，可得， 所以是平面的一个法向量． 因为，则，所以 平面． (2) (3)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两向量平行，由此证明结论； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）利用向量方法求点到平面的距离，再锥体体积公式求结论. 【详解】（1）略 （2）因为，， 设是平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以是平面的一个法向量， 由（1）知是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则． （3）因为，由（1）知是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 因为是直角三角形， ，， 所以， 所以． 11．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. (1)若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； (2)若点到平面的距离为，求线段的长度. 【答案】(1)①是棱的中点，是棱的中点， ， 平面，平面， 平面． ② (2) 【分析】（1）①由直线与平面平行的判定定理证明即可. ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用直线与平面成角的正弦值，计算即可. （2）求平面的法向量，利用点到平面的距离公式计算即可 【详解】（1）①略 ②，， 底面为正方形，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， ，， 是棱的中点，是棱的中点， ， 则各点坐标为：，，，，，， ，，， 设平面法向量为，则，即， 令，，，则， 直线与平面成角为， 则直线与平面成角的正弦值为： . （2）设，则，，，， 设平面法向量为，则，即， 令，则，，， 点到平面的距离为， ，解得：. 12．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，.. 【分析】（1）建系求点坐标，计算直线方向向量与平面法向量夹角的正弦值； （2）分别求两平面法向量，再求它们夹角的余弦值； （3）设出点的坐标，由题意得平面的法向量. 【详解】（1）由题意得两两垂直， 以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，，，，，， 设BE与平面所成角为，， 易得平面的法向量为， 则， BE与平面所成角的正弦值为 （2）设平面FBC与平面的夹角为， 平面FBC的法向量为，，， 则有，令，则， 平面的法向量为，， 则有，令，则， 平面FBC与平面的夹角的余弦值 （3）设，平面的法向量， 若上存在点M，使、E、M、F四点共面，则有， ，， 则有，令，则， ，则，解得，， 故上存在点M，使、E、M、F四点共面，. 13．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) 证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）由，且为的中点，得到，再由平面，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由为的中点，得到，再由（2）平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以； 因为平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. （3）解：因为为的中点，可得，所以， 由（2）知，平面的法向量为， 设点到平面的距离为，则. 14．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明：设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 取的中点，底面是等腰梯形，. 连接 ， 在中，， 在中，. ， ，且平面， 平面； (2)； (3) 【分析】（1）取的中点，连接，在，中，运用勾股定理逆定理得到，再结合线面垂直判定定理证明； （2）建系，求出关键点坐标，应用计算求解； （3）求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式计算即可求出余弦值，最后应用同角三角函数关系求出正弦值. 【详解】（1）略 （2） 如图，建系，则 ， 设直线与所成角为， （3）设平面的法向量是 ，即，令，解得 设平面的法向量是 ，即令，解得 设平面与平面夹角为 故面与平面夹角正弦值为. 15．（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明：因，，，则， 又，四点共面，则， 因平面，平面，则平面. (2) (3) 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理求证； （2）以A为坐标原点建系，求出两个平面的法向量，再求其夹角的余弦值即可； （3）利用可求. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 设平面的法向量为 则，令，则， 易知为平面PAD的一个法向量， 则， 所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为； （3）， 因Q为线段PC的中点， 则. 1．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值； （3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积； 方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积； 方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积. 【详解】（1）略 （2）方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 2．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1) 法一、在正方形中， 由条件易知 ，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； (2) (3) 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 3．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 4．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面.    (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【详解】（1）略 （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 （3）[方法一：几何法]    过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法]    辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 5．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 6．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 【答案】【小题1】证明如下： 以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； 【小题2】； 【小题3】. 【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证； （II）求出，由运算即可得解； （III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解. 【详解】【小题1】略 【小题2】由（1）得，， 设直线与平面所成角为， 则； 【小题3】由正方体的特征可得，平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为. 7．（2020·天津·高考真题）如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、、、、、. 依题意，，， 从而，所以； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出； （Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ） 依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， ． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，． 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题 空间向量与立体几何 天津高考空间向量与立体几何解答题固定为第 17 题，分值 15 分，设置三小问，属于中档大题，是主要得分题型。第一问必考线面、面面平行或垂直证明，优先几何推理；后两问以空间向量建系求解为主，高频考查线面角、二面角、点到平面距离，偶尔涉及体积计算。载体多为直棱柱、棱锥，坐标系大多容易建立，侧重法向量运算，同时兼顾几何法能力考查。命题重视定理条件完整表述，警惕建系错误、角度符号取舍等计算陷阱。未来命题整体难度保持稳定，会适度出现动点参数、截面情景，减少机械计算，强化空间想象。注重几何推理与向量运算结合，强调步骤规范，区分学生逻辑严谨度与运算准确度，突出转化思想，不设置偏难怪题 题型一 立体几何种平行关系的证明 （2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 平行包含线线平行、线面平行、面面平行，核心是三者之间互相转化。证明线面平行，常用判定定理：平面外一条直线平行平面内一条直线，即可证线面平行，找中位线、平行四边形是构造平行线最常用手段。 证明面面平行，在一个平面内找两条相交直线，分别平行于另一平面。性质定理：面面平行可推出线面平行、线线平行。 使用判定定理必须写全条件：线在平面外、线在平面内、两直线相交等，缺条件会扣分。也可借助空间向量，证明直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内。 做题优先观察几何体，利用中位线、平行四边形做辅助线；向量法注意建系准确。做完核对条件，避免漏掉 “直线不在平面内” 这类易错条件。 （2026·天津宝坻·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点，在上，且，    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足到平面距离为，求的长． 题型二：立体几何中垂直关系的证明 （2026·天津·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 1线面垂直.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条_______直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.线面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线垂直 一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的_______一条直线垂直 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线_______. 3.面面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面垂直 4.面面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_______，那么这条直线与另一个平面垂直 在垂直问题中，通常通过构造直角三角形利用勾股定理，利用垂直本身的性质或者利用三垂线定理得到垂直的直线，从而得证。 （2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 题型三：立体几何中线线角/线面角 （2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 立体几何中异面直线所成的夹角： 1.平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 2.向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ② 立体几何中的线面角： 定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． 范围： 常见求法： 1.常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 2.向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 建系保证坐标轴两两垂直，坐标书写准确。算出向量后细心做点积运算。几何法找角要作出投影；向量法算出三角函数值后，写明对应角度。大题注意写清找角或建系过程，不能只写公式结果。最后核对角度取值范围，避免出现钝角这类错误答案。 （2026·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 题型四：立体几何中的面面角 （2026·天津和平·三模）在多面体中，四边形是菱形，，平面，，，是中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值． 求立体几何中的面面角的求法： 1.定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 2.垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． 3.向量法 设是二面角的两个半平面的法向量， 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 4.三垂线法 在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点，作于； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接； ③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3 5.射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小； 6.补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用射影面积法解题． （2026·天津滨海新区·三模）如图，四边形为正方形，平面，，，点在线段上，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若三棱锥的体积为4，求的长． 题型五：立体几何中距离问题 （2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 求立体几何中点到线的距离: 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 求立体几何中线到面的距离： 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. （2026·天津南开·二模）如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 题型六：立体几何中的体积问题 （2026·天津东丽·二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD中点． (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAD与平面ABN夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 核心公式：V=1/3Sh（锥体），V=Sh（柱体），关键找准底面积与对应高，高是底面到顶点的垂直距离，不是斜线段。 直接法：选方便计算的面作底面，作出或求出几何体的高；若线面垂直条件明确，优先直接求解。等体积法（换底）：三棱锥灵活转换顶点和底面，当某条线垂直平面时，就以此作为高，是高频技巧，尤其适合求点到平面距离。 分割补形法：不规则几何体，分割成棱柱、棱锥，分别求体积再相加；或者补成熟悉规则几何体，用整体减去多余部分。 空间向量可求点面距离，当作锥体的高。注意看清几何体类型，锥体不要忘记1/3系数，这是最常见计算失误。大题写清底、高选取依据，做完简单估算检验结果。 （2026·天津·二模）如图，在四棱台中，平面，底面是边长为的正方形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 题型七：立体几何中的存在性问题 （2026·天津和平·二模）如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 立体几何存在性多为动点是否满足平行、垂直、角度、距离条件，常用空间向量设参数求解。在动点所在线段上设参数，如设AP=λAB，λ∈[0,1]，写出动点坐标。 把题目要求的平行、垂直、二面角、线面角转化为向量等式或方程。解方程，若λ在[0,1]范围内，则点存在；超出区间则不存在。 几何法可先猜想位置，再证明，适合简单题型。注意参数取值范围，线段上动点λ必须介于 0 到1之间，这是高频易错点。 若是是否存在点使得角度为定值，建立关于λ的方程，看方程在区间内有无解。大题要写出设参过程，不能直接给出点的位置，最后下结论说明存在或不存在，并给出对应位置。 （2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 题型八：立体几何中的最值问题 （2026·天津河北·一模）如图，直角梯形中，，，，四边形为矩形，底面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点P在棱上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 立体几何最值多为线段长度、距离、角度、体积最值，优先使用空间向量，在线段上设参数λ∈[0,1]，写出动点坐标，把目标量表示成关于λ的函数，转化为函数求值域，结合二次函数、单调性求最值。 几何法可利用空间翻折、投影，结合几何性质判断最值位置；体积最值常转化为底面积或者高的最值。遇到距离最值，可借助空间对称转化，将空间问题转为平面几何求解。 重点注意参数λ的取值范围，不能超出线段区间。角度最值要牢记线面角、二面角自身取值范围。计算完检验端点能否取到。大题要写出建模过程，不可以直接写最值结果，最后检验结果是否符合立体几何实际情境。 （2026·河北沧州·一模）如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，. (1)若平面，求； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积的最小值. 1．（2026·天津红桥·二模）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 2．（2026·天津·二模）如图，多面体是直四棱柱被平面所截剩余的较大部分，其中正方形的边长为2，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（2026·天津河西·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，.已知，. (1)若为棱的中点，求证：平面PAB； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点A到平面的距离. 4．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的体积． 5．（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值； (3)求点M到平面的距离． 6．（2026·天津·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点M到平面的距离． 7．（2026·天津红桥·一模）如图，直棱柱中，底面为等腰直角三角形，，是中点，是中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 8．（2026·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是棱，的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 9．（2026·天津和平·一模）在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积 10．（2026·天津河西·一模）已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 11．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. (1)若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； (2)若点到平面的距离为，求线段的长度. 12．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 13．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 14．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 15．（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 1．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 2．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 3．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 4．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 5．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 6．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 7．（2020·天津·高考真题）如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $