4 三角函数与解三角形 综合测试（一） - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以三角函数与解三角形基础考点为核心，通过分层题型构建从概念到应用的逻辑链条，强化几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数基础|选择1-2、填空12-13|扇形面积计算、诱导公式化简|从定义（终边坐标）到公式应用，体现抽象能力| |三角函数性质|选择3、5、7，多选10-11，解答15-16|正弦型函数周期/对称/最值，图像变换|从解析式到图像性质推导，培养逻辑思维| |解三角形应用|选择4、8，多选9，填空14，解答17-19|正余弦定理边角互化、面积周长计算|从边角关系到综合代换，发展应用意识|

2027届高三数学一轮复习综合测试 4 三角函数与解三角形（一） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 本卷定位：基础卷，重点考查扇形与诱导公式化简、正弦型函数基本性质推导、正余弦定理边角互化及面积周长的整体代换. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知某扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形所对应圆的面积为（　　） A. B. C. D. 2. 的值为（　　） A. B. C. D. 3.函数 的最小正周期为 ，其图象的对称中心可以为（　　） A. B. C. D. 4.在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 5.已知 为第四象限角，，则 （　　） A. B. C. D. 6.已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 7.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 8.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的面积为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.在 中，角 所对的三条边分别为 ，则 是等腰三角形的充分条件是（　　） A. B. C. D. 10.已知 ，函数 ，则下列结论一定正确的是（　　） A. 的图象关于 轴对称 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在 上的最小值为 11.已知函数 ，则（　　） A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为 C. 的对称中心为 D. 的对称轴为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 13.若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 14.在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）若函数 的最大值为 3. （1）求 的值及函数 的单调递减区间； （2）求不等式 的解集. 16.（13分）已知函数 ，满足对于任意实数 ，都有 恒成立，且函数 相邻两个零点的距离是 . （1）求 的解析式和单调递增区间； （2）若 ，且满足 ，求 . 17.（15分）记 的内角 的对边分别为 ，满足 . （1）若 为等腰三角形，求 ； （2）若 ，，求 的面积. 18.（15分）已知 的内角 的对边分别为 ，且 为钝角，， 的面积为 . （1）求 ； （2）若 的周长为 ，求 . 19.（17分）记 的内角 的对边分别为 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， 的面积为 ，求 的周长． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习综合测试 4 三角函数与解三角形（一） 解析卷 答案速查表 1 2 3 4 5 C D A A D 6 7 8 9 10 A D D ACD AC 11 12 13 14 15 AC （1），单调递减区间为 ； （2） 16 17 18 19 （1），单调递增区间为 ； （2） （1） 或 ； （2） （1）； （2） （1）； （2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知某扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形所对应圆的面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】直接利用扇形面积公式求出圆的半径，进而根据圆面积公式求出对应圆的面积. 【解析】方法一：已知扇形的圆心角 ，面积 ，由扇形面积公式 ，可得 ，即 ，解得 ，故该扇形所对应圆的面积为 .方法二：设该扇形所对应圆的面积为 ，由扇形面积公式的推导过程可得 ，解得 ，故选 C. 2. 的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用诱导公式将钝角的三角函数值转化为锐角三角函数值进行求解. 【解析】，故选 D. 3.函数 的最小正周期为 ，其图象的对称中心可以为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先由周期求得参数 ，再通过整体代换令函数值为零列出对称中心方程，赋值判断选项. 【解析】由 ，则 ，.令 ，得 .当 时，，故其图象的对称中心可以为 ，故选 A. 4.在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知两边及其中一边的对角，直接应用余弦定理建立关于边长 的一元二次方程求解并舍去负根. 【解析】在 中由余弦定理得：，则 或 （舍去），故选 A. 5.已知 为第四象限角，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由角的象限与正切值确定正弦、余弦值，再运用两角和的余弦公式展开计算. 【解析】依题意，，，所以 ，故选 D. 6.已知 ，则 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】寻找已知角 与待求角 的倍角与互余互补关系，结合二倍角公式化简求值. 【解析】设 ，则 ，，故选 A. 7.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先写出平移后的函数解析式，再根据对称性列出初相需满足的等式，结合参数范围求最小值. 【解析】将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 .所得图象关于 轴对称，则函数为偶函数，故 ，即 .∵ ，∴ 当 时， 取得最小值 ，故选 D. 8.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由条件结合余弦定理求出角 的大小，再代入三角形面积公式求解. 【解析】 中，由 ，得 ，由余弦定理 ，，得 ，又 ，所以 ，故选 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.在 中，角 所对的三条边分别为 ，则 是等腰三角形的充分条件是 A. B. C. D. 【答案】ACD 【思路】分别对各选项运用正弦定理、余弦定理进行边角互化，分析各条件是否能唯一推出 或 . 【解析】选项 A，根据正弦定理 （ 为三角形外接圆半径），∵ ，∴ ，∴ 是等腰三角形，因此 能充分推出 是等腰三角形，所以 A 正确； 选项 B，根据正弦定理得 ，，又 ，则 ，整理为 ，则有 ，即 ，可得 是等腰三角形，或者 ，即 ，可得 是直角三角形，但不一定是等腰三角形，因此 不能充分推出 是等腰三角形，所以 B 错误； 选项 C，根据正弦定理得 ，，又 ，则 ，整理为 ，则有 ，即 ，可得 是等腰三角形，因此 能充分推出 等腰三角形，所以 C 正确； 选项 D，根据正弦定理得 ，，又 ，即 ，则 ，整理为 ，又由余弦定理得 ，，所以 ，即 ，整理得 ，则 ，即 ，所以 ，而 ，所以 ，即 ，所以 是等腰三角形，因此 能充分推出 是等腰三角形，所以 D 正确. 故选 ACD. 10.已知 ，函数 ，则下列结论一定正确的是 A. 的图象关于 轴对称 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在 上的最小值为 【答案】AC 【思路】考查含绝对值三角函数的奇偶性、周期反例（ 时周期减半）、辅助角公式求最值及区间端点单调性. 【解析】对于 A，，故 A 正确； 对于 B，当 时，，此时 ，函数 的最小正周期是 ，故 B 错误； 对于 C，，由正弦函数的值域可得最大值为 ，故 C 正确； 对于 D，当 时，，所以 ，当 时，，当 时，，由于不确定 的大小，所以最小值为 不正确，故 D 错误. 故选 AC. 11.已知函数 ，则 A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为 C. 的对称中心为 D. 的对称轴为 【答案】AC 【思路】直接利用正弦型函数的周期公式、单调区间解法、对称中心与对称轴公式进行逐项验证. 【解析】 的最小正周期为 ，故 A 正确； 的单调递增区间为 ，即 ，故 B 错误；令 ，解得 ，即 的对称中心为 ，故 C 正确；令 ，解得 ，即 的对称轴为 ，故 D 错误.故选 AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】直接由任意角三角函数的坐标定义 进行计算. 【解析】因为已知角 终边过点 ，根据 ，其中 ，可得 ，所以 . 13.若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用两角差的正切公式展开方程，解关于 的一元一次方程. 【解析】，即 ，解得 . 14.在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】8 【思路】在三角形中已知两边及一角，应用余弦定理列出关于 的方程求解并检验边长为正. 【解析】对于 ，由余弦定理得 ，代入 ，且 ，得：，整理得 ，解得 或 ，由于三角形边长为正数，舍去负根，因此 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）若函数 的最大值为 3. （1）求 的值及函数 的单调递减区间； （2）求不等式 的解集. 【答案】（1），单调递减区间为 ；（2）. 【思路】第（1）问先利用两角和差公式与二倍角公式化简为 的形式，由最值确定 ，再求减区间；第（2）问将绝对值不等式拆为两个基本三角不等式分别求解集取并集. 【解析】（1）. 3分 因为 的最大值为 3，所以 . 4分 由 ，解得 ， 所以 的单调递减区间为 . 7分 （2）， 可得 或 ，即 或 ， 9分 所以 或 ， 11分 解得 或 ， 所以解集为 . 13分 16.（13分）已知函数 ，满足对于任意实数 ，都有 恒成立，且函数 相邻两个零点的距离是 . （1）求 的解析式和单调递增区间； （2）若 ，且满足 ，求 . 【答案】（1），单调递增区间为 ；（2）. 【思路】第（1）问根据零点距离得半周期求 ，由最值点求初相 并求单调增区间；第（2）问根据区间范围确定 的象限求出其余弦值，再利用差角公式展开求 . 【解析】（1）函数 相邻两个零点的距离是 ，故 ，解得 . 1分 对于任意实数 ，都有 恒成立，故 ， 2分 即 ，故 . 4分 因为 ，故 ，所以 . 5分 若 ， 6分 则 ， 7分 故 的单调递增区间为 . 8分 （2）若 ，则 ，故 . 9分 因为 ， 故 . 11分 故 . 13分 17.（15分）记 的内角 的对边分别为 ，满足 . （1）若 为等腰三角形，求 ； （2）若 ，，求 的面积. 【答案】（1） 或 ；（2）. 【思路】先利用两角和的余弦公式将已知三角恒等式化简得到角 与角 的线性关系；第（1）问分类讨论等腰三角形的腰与底求角 ；第（2）问由正弦定理求出各边长进而求面积. 【解析】由 可得： ， 即 . 2分 整理得：. 3分 又 ，，且 ， 所以 . 5分 （1）因为 为等腰三角形， ①当 时，，得 ； 6分 ②当 时，，得 . 7分 故 的值为 或 . 8分 （2）当 时，. 9分 由正弦定理得：. 10分 又 ，故 . 12分 从而 的面积为 . 15分 18.（15分）已知 的内角 的对边分别为 ，且 为钝角，， 的面积为 . （1）求 ； （2）若 的周长为 ，求 . 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问通过正弦定理将边长用 表达，代入面积公式解出 并结合钝角求 ；第（2）问用余弦定理求出边 与 的关系，代入周长求解 . 【解析】（1）由正弦定理得 . 2分 由 的面积 ，得 . 4分 因为 为钝角，所以 . 6分 （2）由余弦定理 ，得 . 10分 又 ，所以 . 15分 19.（17分）记 的内角 的对边分别为 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， 的面积为 ，求 的周长． 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问先利用诱导公式化简右侧，再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式求得 ；第（2）问利用面积求得 ，结合余弦定理整体求出 ，进而得到周长. 【解析】（1）因为 ， 2分 由正弦定理可得 ， 4分 则 ， 6分 又因为 ，则 ，可得 ，即 ，所以 . 7分 （2）因为 的面积为 ，可得 ， 10分 由余弦定理可得 ， 13分 即 ，可得 ， 15分 所以 的周长为 . 17分 4 三角函数与解三角形（一） 方法总结 1. 扇形与弧度制计算：掌握扇形面积公式 与周长公式 ，结合几何量之间的代数转化灵活求解.（第1题） 2. 三角函数求值与化简：善于观察已知角与待求角之间的和差、倍角、互余、互补等角变换关系（如 ），结合同角三角函数基本关系及诱导公式化简求值.（第2、5、6、12、13题） 3. 三角函数的图象与性质：熟练掌握正弦型、余弦型函数 的周期性、单调性、奇偶性、最值及对称轴、对称中心方程，求解单调区间或对称性时注意整体代入与 的符号.（第3、7、10、11、15、16题） 4. 正弦定理与余弦定理的综合应用： （1） “角化边”或“边化角”是化简三角形几何关系的核心策略，遇到 、 等结构优先利用诱导公式转化为单角； （2） 解三角形中结合面积公式 与余弦定理 ，能够高效实现边和、边积与边长之间的整体代换与求值.（第4、8、9、14、17、18、19题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $