解答题 函数与导数（十二大题型专项训练）（天津专用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦天津高考函数与导数压轴题，分12类题型系统提炼解题方法，以典型例题承载切线方程、单调性、极值、零点等核心考点，强化逻辑推理与转化化归能力，契合数学抽象与模型观念素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线方程|典型例题|5大结论（导数法、三步法等）|从导数几何意义到切线条数，层层递进| |单调性|典型例题|不含参直接判断、含参分类讨论|定义域优先，导数符号与单调区间关联| |极值与最值|典型例题|极值点步骤、最值比较端点与极值|导数零点→单调性→极值→最值逻辑链| |零点与不等式|典型例题|零点存在定理、构造函数证明|函数性质→图像特征→参数范围推理|

解答题 函数与导数 天津高考函数与导数解答题一般位于第 20 题，分值 16 分，为全卷压轴大题，普遍设置 23 小问，梯度分明，区分度很高。第一问多考查导数几何意义、切线方程、简单单调性讨论，属于基础得分点。第二问侧重含参函数分析，高频考查单调区间、极值最值、零点个数、恒成立与存在性求参数范围，重点考查分类讨论、参变分离、构造函数等方法。第三问难度大，常考不等式证明、多变量关系、零点之间的性质，会用到隐零点、放缩等技巧。命题以指数、对数综合函数为载体，弱化繁杂计算，重视逻辑推理，强调步骤严谨。未来考试方向保持现有结构，注重通性通法，强化函数性质综合探究，适度创新设问，考查学生转化与化归、数形结合的数学素养 题型一 ： 导数的切线方程以及切线条数问题 （25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程． (2)若在区间上分别存在唯一的极值点和零点； （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 曲线切线方程的5大结论 1.切点已知求切线 结论① 导数法:求切点处的导数，即切线斜率→利用点斜式得切线方程. 2.切点未知求切线 结论② 三步法:设切点坐标→利用导数求斜率→利用点斜式写切线方程→根据切线满足的性质列方程→求解切点坐标. 结论③ 点斜式方程法:设斜率→根据已知的定点用点斜式写出切线方程→设切点坐标→代人切点坐标列方程→求解切点坐标. 3.求公切线问题 结论④ 对号入座法:根据两曲线分别求出切线方程→根据两切线方程斜率、截距对应相等列方程组→解方程组得解. 4.公切线数量问题 结论⑤ 单切点法:设出两个切点中的一个切点→根据这个切点利用三步法求切线方程→依据另一个切点坐标建立方程→方程解的个数即公切线条数. （2026·天津武清·模拟预测）已知函数 (1)若在点处的切线斜率为1，求实数的值； (2)若在上的极大值大于1，求实数的取值范围； (3)当时，记，，求证：． 题型二：利用导数研究函数的单调性（不含参）以及利用单调性求参数 （2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 利用导数研究函数单调性（不含参） 求导后化简导数表达式，求出导数的零点；判断各区间内导数值正负，导数大于零函数单调递增，导数小于零函数单调递减。注意定义域优先，零点要在定义域内，划分区间按零点从小到大排列，写出单调区间，区间不能取并集。 由单调性求参数范围 已知函数单调递增，转化为导数≥0 在定义域上恒成立；单调递减转化为导数≤0 恒成立。常用参变分离，转化为求函数最值；也可分类讨论参数。注意：导数等于零只能在离散点成立，不能在一段区间恒为零，避免参数范围扩大。求出参数后务必回代检验，排除导数在区间恒为 0 的情况，防止出现增根。 （2026·天津武清·模拟预测）已知实数，设函数． (1)时，求在点处的切线斜率； (2)当时，求函数的单调区间； (3)证明：当时，对任意恒成立． 题型三：利用导数研究函数的单调性问题（含参） （2026·天津南开·模拟预测）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)，都有 ， （ⅰ）求取值的集合； （ⅱ）设在点处的切线交轴于点，，若， ，求证： ． 含参数单调性讨论： 1.求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； 2.变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； 3.恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； 4.根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； 5.判断定义域是否符合取值范围 （2026·天津和平·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 题型四：利用导数研究函数的最值 （2026·天津滨海新区·三模）已知，，，函数． (1)当，时，在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)当时，若函数在上的最大值为． （ⅰ）求的值，并证明：当时，； （ⅱ）若数列满足：，，证明：． 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 解题步骤： 1. 求导 2. 判断单调区间 3. 根据函数的单调性确定函数的最值，从而求参数的取值范围 （2026·天津·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 题型五：利用导数研究极值点问题 （2026·天津·模拟预测）已知函数（）． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个极值点、，且， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 求可导函数极值的一般步骤 1.先确定函数的定义域； 2.求导数； 3.求方程的根； 4.检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 5.通过函数的极值点个数问题求参数的取值范围 （2026·天津·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值为，求的值； (3)当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：. 题型六：极值点偏移问题 （2026·天津·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知是的导函数，若存在，使得对任意成立，求的取值范围； (3)若有两个极值点，且，求证：. 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增. （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式. （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，， 故， 又因为，且在上单调递减， 从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. （2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 题型七：利用导数证明不等式 （2026·天津西青·三模）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得有三个不同的零点， （i）求的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求证：． 利用导数证明或判定不等式问题 1.不含参数不等式问题的解题技法（证明：） 技法（1）移项：构造函数，转化为证明的最小值大于. 技法（2）放缩：证明（注意两个等号不能同时取到），一般情况下，的图象为公切线. 技法（3）转化：适当对不等式变形，转化为（这个是原不等式成立的充分条件，但不是必要条件）. 2.含参不等式证明问题的求解技法 （1）单参分类讨论：含单一参数的不等式证明问题往往直接移项构造函数，分类讨论含参数的最值；或将参数归类处理，结合放缩求解. （2）多参注意消元：多参问题往往需先消参，转化为单参问题求解. （2026·天津河西·三模）已知函数，其中． (1)当（为自然对数的底数）时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上存在两个零点，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，设函数较大的零点为，记，当实数满足时，求证：． 题型八：利用导数研究不等式恒成立问题 （2026·天津南开·二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求实数的最大值； (3)当时，证明． 恒成立问题： 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； 解题步骤： 1. 求导判断单调性 2. 分离参变量或者分类讨论 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． （2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 题型九：利用导数研究能成立问题 （2023·天津南开·二模）已知函数，. (1)求的最小值； (2)若，且，求证：； (3)若有两个极值点，证明：. 导数能成立问题知识点： 若有解（即存在使得成立），则； 若有解（即存在使得成立），则； 若有解（即无解），则； 若无解（即有解），则． 1. 求导判断单调性 2. 分离参变量或者分类讨论 3. 通过能成立问题相关知识点进行求解参数的取值范围 （2021·天津宁河·一模）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 题型十：利用导数研究函数的零点 （2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 利用导数研究函数零点 方法技巧 先确定函数定义域，求导分析单调性、极值与最值，画出函数大致图像，结合零点存在定理判断零点个数。求导找出极值点，计算极大值、极小值，对比极值与 0 的大小：极大值＜0，函数无零点；极小值＞0，函数无零点；极值跨 0，存在零点。 零点存在定理要满足区间端点函数值异号，同时函数在区间连续。含参零点问题，常用分类讨论分析参数对极值的影响，也可参变分离转化为直线与曲线交点问题。 遇到隐零点，设零点满足导数为 0，整体代换化简函数。注意检验端点、渐近线，不能只看极值，还要分析函数趋向正负无穷的趋势，避免漏判零点，最后要写清推理依据。 （2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 题型十一：利用导数研究双变量问题 （2026·天津和平·一模）已知函数 (1)若函数为增函数，求的取值范围； (2)已知实数，且． （i）证明：； （ii）若与是函数的两个极值点，证明：． 利用导数研究双变量问题 方法技巧 双变量常见题型：极值点偏移、两个零点不等式证明、任意与存在双变量恒成立。解题核心是消元，把双变量转化为单变量函数。 极值点偏移题型，构造对称函数，比较函数值大小，借助单调性脱去f符号；也可做差换元，令t=x2/x1​​，将式子全部换成关于t的一元函数。 若两个变量满足导数等式（隐零点条件），利用该等式整体代换，消去参数，减少变量个数。分清 “任意”“存在” 逻辑，转化为最值关系。 注意定义域约束，换元之后确定新变量的取值范围，构造新函数后用导数研究新函数单调性与最值完成证明。切忌直接分别研究两个变量，一定要实现二元转一元，做完验证边界情况。 （2026·天津滨海新区·三模）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 题型十二：隐零点问题 （2026·天津·一模）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：． “找一设一代”三步法速破函数隐零点问题 一找 （找零点） 据题意，把问题转化为关于函数零点的问题，由函数的单调性、函数零点存在定理等确定零点所在区间，解题难点是取点，常见取点技巧如下。 （1）不含参函数：常取，，等特殊值，若函数解析式中含有“指、对结构”,还可取 或这样的数. （2）含参函数：可先根据具体函数解析式的结构猜对应方程的根，若猜不出来，则找易于计算函数值且能判断函数值符号的自变量代入，若还是找不到，则考虑利用极限思想求解 二设 （设零点） 将零点设为，由导数值等于得出零点所满足的关系式，无须求出具体的零点数值. 三代 （巧代换） 根据零点满足的关系式，整体代入待求式化简即可. （2026·天津南开·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 1．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)将所有正零点排列为严格递增数列 （i）证明：； （ii）设表示不超过的最大整数，求． 2．（2026·天津北辰·二模）已知函数，，其中，，e是自然对数的底数 (1)若函数，求的单调递增区间； (2)若，且曲线在处的切线和曲线也相切，求的值； (3)已知（m为常数），设直线与曲线与分别交于，两点，若对任意及，均有，求的取值范围. 3．（2026·天津和平·二模）已知，函数（a，），. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知，. （ⅰ）若，分别是函数，的导函数，且在区间上恒成立，求实数m的取值范围； （ⅱ）已知，证明：. 4．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，． (1)求函数的单调区间； (2)判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； (3)直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 5．（2026·天津东丽·一模）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 6．（2026·天津红桥·一模）已知为正实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 7．（2026·天津河西·一模）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，，，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证． 8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围； (3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：． 9．（2026·浙江宁波·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 10．（2026·天津河东·一模）已知函数（）. (1)函数在定义域内无极值，求a的取值范围； (2)函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 11．（2026·山东菏泽·一模）已知函数，. (1)当时，证明：1是的极值点； (2)当时，证明：； (3)若，对任意的，恒成立，求的最大值. 12．（2025·天津·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明对于任意的实数x，总有； (3)若是的极值点，求a的值． 13．（2025·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 14．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数 的单调区间； (2)若对 ，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 15．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 2．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 3．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 5．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 6．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题 函数与导数 天津高考函数与导数解答题一般位于第 20 题，分值 16 分，为全卷压轴大题，普遍设置 23 小问，梯度分明，区分度很高。第一问多考查导数几何意义、切线方程、简单单调性讨论，属于基础得分点。第二问侧重含参函数分析，高频考查单调区间、极值最值、零点个数、恒成立与存在性求参数范围，重点考查分类讨论、参变分离、构造函数等方法。第三问难度大，常考不等式证明、多变量关系、零点之间的性质，会用到隐零点、放缩等技巧。命题以指数、对数综合函数为载体，弱化繁杂计算，重视逻辑推理，强调步骤严谨。未来考试方向保持现有结构，注重通性通法，强化函数性质综合探究，适度创新设问，考查学生转化与化归、数形结合的数学素养 题型一 ： 导数的切线方程以及切线条数问题 （25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程． (2)若在区间上分别存在唯一的极值点和零点； （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）证明：要证，而， 即证， 即， 令，由（i）知，即证当时，恒成立， 令， 求导得， 由，得，则， 因此，令， 求导得，令函数， 求导得，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则，函数在上单调递减， 因此，函数在上单调递减，，而， 则，函数在上单调递减，于是， 即当时，恒成立， 所以. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）（i）求出函数的导数，再按分类讨论，利用极值点的意义，结合零点存在性定理求解即可；（ii）由（i）的信息令，将所证不等式等价转化恒成立，再构造函数并利用导数证明即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得， 则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）（i）函数，，求导得， 令函数，，求导得， 令函数，，求导得，函数在上单调递增， ①当时，对恒成立， 函数，即在上单调递增，则， 函数在上单调递增，， 因此函数在上无极值点，也没有零点，不符合题意； ②当时，，又在上单调递增， 且当，，则，使， 当时，；当时，， 函数，即在上单调递减，在上单调递增， 则，又时，， 由零点存在性定理得，使， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此是函数在有唯一的极值点， 又，当时，， 由零点存在性定理得，使，因此是函数在有唯一的零点， 所以实数的取值范围是. （ii）略. 曲线切线方程的5大结论 1.切点已知求切线 结论① 导数法:求切点处的导数，即切线斜率→利用点斜式得切线方程. 2.切点未知求切线 结论② 三步法:设切点坐标→利用导数求斜率→利用点斜式写切线方程→根据切线满足的性质列方程→求解切点坐标. 结论③ 点斜式方程法:设斜率→根据已知的定点用点斜式写出切线方程→设切点坐标→代人切点坐标列方程→求解切点坐标. 3.求公切线问题 结论④ 对号入座法:根据两曲线分别求出切线方程→根据两切线方程斜率、截距对应相等列方程组→解方程组得解. 4.公切线数量问题 结论⑤ 单切点法:设出两个切点中的一个切点→根据这个切点利用三步法求切线方程→依据另一个切点坐标建立方程→方程解的个数即公切线条数. （2026·天津武清·模拟预测）已知函数 (1)若在点处的切线斜率为1，求实数的值； (2)若在上的极大值大于1，求实数的取值范围； (3)当时，记，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)由，令，则， 所以 故， ①先证明当，，， 令，， 令，，所以，， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即，， 所以，. ②证明因为在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，，又因为， 故当时，，，， 所以，即， 所以，所以，证毕； ③再证明：， 因为和在上恒成立， 所以，当时，， 即，，， 所以， 所以， 所以，证毕. 综上，. 【分析】（1）由条件结合导数的几何意义可得，列方程求； （2）讨论，利用导数求函数的极大值，结合条件列不等式求其解集即可； （3）令，进而得，结合得，，进而得到即可证明；再结合不等式和结论得，最后结合等比数列求和即可证明结论. 【详解】（1）函数的导函数， 由题意得，所以， 解得； （2）由（1）， 由余弦函数性质可得在上单调递减， 因为，所以， 若，由可得，，在上单调递减，无极值，舍去； 若，由可得，，在上单调递增，无极值，舍去； 若，则， 所以存在使得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取极大值，极大值为， 因为在上的极大值大于1，所以， 令，，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以，又， 所以， 综上，的取值范围为； （3）略. 题型二：利用导数研究函数的单调性（不含参）以及利用单调性求参数 （2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用求切线斜率，再求切线方程； （2） （ⅰ）有两个极值点等价于有两解，即有两解，令，在分析的单调性即可求解； （ⅱ）有两解，先求出满足的关系式，再令，不等式等价于，令函数，求导分析单调性再求最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则， 而，所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以. （ⅱ）有两解，即，两边取对数得, 则当时，， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即 ，，于是. 利用导数研究函数单调性（不含参） 求导后化简导数表达式，求出导数的零点；判断各区间内导数值正负，导数大于零函数单调递增，导数小于零函数单调递减。注意定义域优先，零点要在定义域内，划分区间按零点从小到大排列，写出单调区间，区间不能取并集。 由单调性求参数范围 已知函数单调递增，转化为导数≥0 在定义域上恒成立；单调递减转化为导数≤0 恒成立。常用参变分离，转化为求函数最值；也可分类讨论参数。注意：导数等于零只能在离散点成立，不能在一段区间恒为零，避免参数范围扩大。求出参数后务必回代检验，排除导数在区间恒为 0 的情况，防止出现增根。 （2026·天津武清·模拟预测）已知实数，设函数． (1)时，求在点处的切线斜率； (2)当时，求函数的单调区间； (3)证明：当时，对任意恒成立． 【答案】(1) (2)的单调递增区间是，单调递减区间是. (3)证明见解析 【分析】（1）由计算即可； （2）求导通分后，对分子有理化，再因式分解，进而求出单调性； （3）现将化简为， 再令，并视其为的二次函数，配方后，再分和两种情况进行讨论即可. 【详解】（1）时，，则， 故在点处的切线斜率为. （2）当时，，， ， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）设 ， 因为，所以证明就等价于证明， 令，， 配方得， （i）当时，， 则， 记， ， 因为，, 则当时，,当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； （ii）当时，， 令，， 故在上单调递增，所以， ， 由（i）知在上单调递减，故，而 所以，. 由（i）（ii）可得：当时，对任意恒成立， 所以当时，对任意恒成立． 题型三：利用导数研究函数的单调性问题（含参） （2026·天津南开·模拟预测）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)，都有 ， （ⅰ）求取值的集合； （ⅱ）设在点处的切线交轴于点，，若， ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 【分析】（1）求导，分情况讨论单调性； （2）（ⅰ）先将不等式变形为对恒成立，令可得到的初步范围，再构造辅助函数，通过求导分析函数最大值，结合最大值满足的条件确定的取值集合； （ⅱ）先利用（ⅰ）得到的值确定，再求的导数写出切线方程，代入的坐标得到与的递推关系，结合的定义推导的递推公式，最后对求和式进行放缩，利用不等式放缩证明求和结果小于1. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 分母，导数符号由分子决定： 当时，恒成立，故在和上单调递增； 当时，，此时，为常函数，无单调性； 当时，恒成立，故在和上单调递减； （2）(i)令，则题意等价于对恒成立， ， ， 分母，故的符号由分子决定， 分情况讨论： 当时： 对，，故在上单调递减； 当时，，因此，与恒成立矛盾，舍去； 当时： 令，得，，符合定义域， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故在处取得最大值，需满足， 代入计算最大值：， 令，则上式变为， 对求导：， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故在处取得最小值，即对成立，当且仅当时取等号， 因此，的唯一解为，即， 综上，取值的集合为； (ii) 由(i)知，， 在点处的切线方程为：， 切线交轴于，代入解得：， 整理得：， 令，则：， 已知，故， 由递推式得， 当： 左边：； 右边：； 左右相等； 假设当时，结论成立，即：， 根据递推公式：， 将归纳假设代入：，， 即：，故时结论也成立； 故对任意自然数，恒有， 由，得，且， 由，得：， 求和得：, 代入，得： 因，故，因此：得证． 含参数单调性讨论： 1.求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； 2.变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； 3.恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； 4.根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； 5.判断定义域是否符合取值范围 （2026·天津和平·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求出函数的定义域，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）参变量分离得，令，所以，构造函数，，利用导数求出该函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 所以当时，曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， 则， 当时，对任意的，恒成立， 此时函数的增区间为，无减区间； 当时，对于函数，. 若时，即当时，对任意的，， 此时函数的增区间为，无减区间； 若时，即当时，由可得， 由可得或， 此时函数的减区间为， 增区间为、. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （3）因为不等式对任意恒成立，则， 因为，则，所以，则， 即， 令，所以， 令，，则， 令，其中， 则， 由（2）知，当时，函数在上为增函数， 因为，则， 所以， 即函数在上为增函数， 此时，则， 所以函数在上单调递增，则，所以， 故实数的取值范围是. 题型四：利用导数研究函数的最值 （2026·天津滨海新区·三模）已知，，，函数． (1)当，时，在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)当时，若函数在上的最大值为． （ⅰ）求的值，并证明：当时，； （ⅱ）若数列满足：，，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ），证明当时，如下： 由，，则， 要证，只需证， 即只需证当时，， 令，则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增，又， 故在上恒成立，故在单调递增， 则，即在时恒成立，即得证； （ⅱ）由（ⅰ）得当时，， 故当，得，进而，依次得，， 要证，即证，即证， 下面先证关系，即证，， 即证，整理得即证：， 记，，得， 令，则， 所以在上单调递增，有， 所以在上单调递增，得， 故当，有，所以， 故， 又，得，所以，即得证． 【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得，构造函数，结合导数计算可得其单调性即可得其最值，从而可解出； （2）（ⅰ）求导后，结合函数单调性与极值、最值的关系，分、、与进行讨论即可得的值；再利用的值及的值可将证明转化为证明，构造相应函数，并借助导数计算即可得证；（ⅱ）将证明转化为证明，先构造函数，利用导数结合题目所给条件证明，即可得，再利用，即可得证. 【详解】（1）当，时，，则， 则，由在点处的切线与直线垂直， 则，即， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则； （2）（ⅰ）， 若，则恒成立，故在上单调递增， 则有， 与在上的最大值为矛盾，不符合题意； 若，令，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，在上单调递减， 则在上的最大值为， 则，由，故不符合题意； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则在上的最大值为， 即，由随的增大而增大， 则， 故无解，不符合题意； 若，即时，在上单调递增， 则在上的最大值为，解得； 综上所述：； 证明略； （ⅱ）略. 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 解题步骤： 1. 求导 2. 判断单调区间 3. 根据函数的单调性确定函数的最值，从而求参数的取值范围 （2026·天津·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明：要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； (3)证明：由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【详解】（1）由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）略 （3）略 题型五：利用导数研究极值点问题 （2026·天津·模拟预测）已知函数（）． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个极值点、，且， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由，求得，，写出切线方程； （2）（i），利用导数法得到在单调递增，在单调递减，从而由求解；（ii）由，得到，再根据，得到，然后根据，得到，再论证，从而得到，再结合证明. 【详解】（1），所以， 因此，，， 所以，整理得； （2）（i），令， 则，所以，时，，所以在单调递增； 时，，所以在单调递减， 因此，解得， 又因为，所以存在唯一使得， 又因为，令，， 所以在上单调递增， 因此， 因此在存在唯一，使得. 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 、是函数的两个极值点，所以. （ii）因为，所以， 又因为，所以， 根据已知，所以， 下面证，只需证， 即证， 令，，令，， 所以在单调递增，所以， 因此成立， 所以，即， 又因为， 所以. 求可导函数极值的一般步骤 1.先确定函数的定义域； 2.求导数； 3.求方程的根； 4.检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 5.通过函数的极值点个数问题求参数的取值范围 （2026·天津·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值为，求的值； (3)当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明：因为，令，即， 因为，所以等价于，令，其中， 当，时，恒成立，此时无零点， 当，时，， 令，则， （i）若，则，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，     而，，，存在，使得， 故的零点； （ii）当，， 当时，因为， 由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 由，当时，， 所以在上单调递增，， 所以， 又因为，， 故的零点，， 由（i）（ii）有，， 因为是的零点，即，所以， 令，因为，当，， 所以在上单调递减， 又因为，所以，即， 因为， 而，， 所以，故. 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合的极小值为可求得实数的值； （3）先判断当时，无零点；依题分析当时，分和两种情况分析，在时，存在，使，分析得出；在时，同理可证，，构造函数，分析该函数在上的单调性，由可得，借助于，即可证明. 【详解】（1）当时，，所以，切点为，     则，所以，         则曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为，则，     ①当时，由，得， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，解得不符合题意；     当时，由，得或， ②当时，即时， 由得或；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，不符合题意； ③当时，即时，恒成立，函数无极值，不符合题意； ④当，即时，由，得或；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极小值，解得，符合题意， 综上所述，. （3）略 题型六：极值点偏移问题 （2026·天津·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知是的导函数，若存在，使得对任意成立，求的取值范围； (3)若有两个极值点，且，求证：. 【答案】(1) (2) (3) 解法一：由（2）可得，在上单调递增，在上单调递减， 若有2个极值点，需满足，且. 因为有2个极值点， ， 所以等价于方程的两根为，且， 即方程的两根为， 令，则等价于方程的两根为， 所以，即 因为 令，则即证 因为，所以在上单调递增， 下证： ，所以可得 即，即证， 因为，即，因此即证， 令， 则， 因此在上单调递增，，所以得证. 因为，所以， 又发现且在上单调递增， 因此 即得证. 解法二：由（2）问可得，在上单调递增，在上单调递减， 若有2个极值点，需满足，且. 设 则， 令， 因为，所以， 故，即， 所以在上单调递增，故，所以在上单调递增， 故， 下证： 因为，即， 故， 又，所以，即， 因为在上单调递减， 所以， 又因为，所以， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 且的两个零点为， 所以在上，即在上单调递增， 所以， 因为，即，且 所以， 故得证. 【分析】（1）先代入，求与，再算切点与斜率，最后用点斜式写出切线方程. （2）解法一:先求导得出在递增、递减，得其最大值为，再将题意转化为恒成立，构造函数求导并按与1的大小分类讨论，判断函数单调性与最值，进而得出的取值范围. 解法二: 先求导得，并分析其单调性与最大值,将存在性条件转化为 恒成立,再分离参数构造函数,通过多次求导判断单调递增,最后用洛必达法则求极限得 ,从而确定的取值范围为 . （3）解法一:先由极值点条件换元转化方程，得到满足的关系式，再将 整理为同一函数形式，证明该函数单调且满足奇函数对称性，利用极值点偏移证得，最终得到. 解法二: 先由单调性得极值点满足,构造对称函数并通过连续两次求导数判断其单调递增,推出,再利用 单调性证得 ,结合 在递增,最终推导出. 【详解】（1）当时，. 因为，所以，. 曲线在点处的切线方程. 即. （2）解法一：因为， 所以， 因为， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减 故在处取得最大值，最大值为. 因为存在，对于任意，都有 成立 所以，即 恒成立，等价于 ， 即对任意，恒成立. 设，则 令，则 . ①当时，因为，则显然有， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即对任意恒成立， 所以 满足题意; ②当时，令，解得：， 当时， ，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当 时， ，即不恒成立， 可知不合题意. 综上所述， . 解法二：由（1）得，， 所以，因为， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减 故在处取得最大值，最大值为. 因为存在，对于任意，都有成立 即恒成立，等价于， 即对任意恒成立. 即恒成立，令 令 ，令 ，因为，所以， 即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即 所以在上单调递增 由洛必达法则（如果直接使用洛必达法则求解且结果正确扣两分）. 所以，即. （3）略 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增. （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式. （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，， 故， 又因为，且在上单调递减， 从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. （2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明：因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）略 题型七：利用导数证明不等式 （2026·天津西青·三模）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得有三个不同的零点， （i）求的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求证：． 【答案】(1) (2)（i）； （ⅱ）若存在，使得有三个不同的零点， 即为方程的根， 即， 两式相加得， 因为成等差数列，所以， 则，即， 故，即， 又，故， 即，则， 下面推导对数平均不等式，， 只需证， 令，只需证， 令，则， 故在上单调递增， 又，故，证毕， 而，又，故等号取不到， 所以，即， 所以，由（i）知，， 故，证毕． 【分析】（1）将代入函数，求导得斜率，利用点斜式即可写切线方程； （2）（i）将方程变形为，通过分析的零点，结合 的单调性与值域，即可求得范围； （ⅱ）利用等差数列条件与零点方程，推导得到，再结合对数平均不等式和的条件即可证明. 【详解】（1）当时，，所以， 则，所以切点为， 则曲线在处的切线方程为，即． （2）（i）由，，即，故， 因为有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，， 则有两个不同的变号零点， 令，，则， 令，得， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，且当时，，当时，， 故要想有两个不同的变号零点，需满足，即， 此时存在实数，使得有3个不同的正根， 故的取值范围为； （ⅱ）略 利用导数证明或判定不等式问题 1.不含参数不等式问题的解题技法（证明：） 技法（1）移项：构造函数，转化为证明的最小值大于. 技法（2）放缩：证明（注意两个等号不能同时取到），一般情况下，的图象为公切线. 技法（3）转化：适当对不等式变形，转化为（这个是原不等式成立的充分条件，但不是必要条件）. 2.含参不等式证明问题的求解技法 （1）单参分类讨论：含单一参数的不等式证明问题往往直接移项构造函数，分类讨论含参数的最值；或将参数归类处理，结合放缩求解. （2）多参注意消元：多参问题往往需先消参，转化为单参问题求解. （2026·天津河西·三模）已知函数，其中． (1)当（为自然对数的底数）时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上存在两个零点，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，设函数较大的零点为，记，当实数满足时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数并确定单调性求出最小值，再建立不等式求解. （3）根据给定条件构造函数，利用导数确定进而证明不等式. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数，求导得，由，得， 若，则在上恒成立，故为上的增函数，与题设矛盾； ，而，则，即，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 而，当时，，函数在存在两个零点， 当且仅当，则，解得， 所以实数的取值范围是. （3）依题意，，即，两边取自然对数得， 而，则，令函数，显然是方程的根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由是函数较大的零点，得，即落在的严格单调递增区间内， 令， 要证明，只需证明且即可， ①由，得，，则， ，而且，得， ， 则，由在上单调递增，且，得， 因此； ② ，令函数，求导得， 函数在上单调递减，，因此，而， 则，由，得，即，而， 因此，即，， 又函数在上单调递增，且，则，即， 所以. 题型八：利用导数研究不等式恒成立问题 （2026·天津南开·二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求实数的最大值； (3)当时，证明． 【答案】(1) (2) (3)证明：当时，， 要证明，只需证明． 令，则，令，解得. 则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为. 则.所以． 只需证明． ①当时，不等式成立， ②时，只需证明， 令，则，进而，即. 令，则，所以单调递增，，即. 因为，所以时，． ③时，由得，即． 令， 所以在递减，因此，即． 因此，当时，成立． 【分析】（1）求出曲线在处的导数值，再根据切线方程求解即可. （2）利用换元，利用导数分析函数的单调性，把恒成立问题转化为最值问题求解即可. （3）根据不等式将问题转化为，再结合的取值范围以及函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由得，① 当时，时，，①式不成立，所以． 令，由①得，即对任意恒成立， 令， 当时，时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 故，解得，所以的最大值为． （3）略 恒成立问题： 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； 解题步骤： 1. 求导判断单调性 2. 分离参变量或者分类讨论 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． （2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分类讨论，当时不合题意，当时，由导数求得极小值，列出不等式求解即可； （2）设切点为，由已知切线方程列出方程组，由导数求解即可； （3）由切线放缩，构造函数，结合导数分类讨论的范围即可求解． 【详解】（1）， ①当时，，则单调递增，最多有一个零点，不合题意，舍去； ②当时，令，设， 在上，，在单调递减， 在上，，在单调递增， 所以的极小值为， 由已知，时，时，只须， 所以，即， 解得． （2），设切点为，由已知切线方程可知， 由代入下式得， 所以， 令，，由得， 因为， 所以在为单调递增函数，为方程的唯一解． 所以，． （3）， 设， ，令，得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即， 所以， 令，，令，， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ，解得， 显然当时，恒成立， 当时，，存在，不符合条件， 综上所述． 题型九：利用导数研究能成立问题 （2023·天津南开·二模）已知函数，. (1)求的最小值； (2)若，且，求证：； (3)若有两个极值点，证明：. 【答案】(1)0 (2)证明：由（1）知，所以. 由，得且， 所以，即，从而. 所以. (3)证明：依题意，有两个不等正根，不妨设， 由，得. 设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 且当时，，可得，. ，， 令，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以在上单调递减. 因为，，所以，. 由（2）当时，有， 所以，即， 所以，从而. 令， 所以在上单调递减. 所以，即. 所以. 所以，. 所以. 【分析】（1）利用导数确定函数的单调性，从而即可求得最小值； （2）由（1）知，即，由，得，即，从而，再由对数函数的性质可得，从而得证； （3）依题意可得有两个不等正根，不妨设，由，得，设，利用导数可得，，令，由导数可得在上单调递减，结合（2）可得，令，利用导数得在上单调递减，从而得，， 即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以在时取得最小值0. （2）略 （3）略 导数能成立问题知识点： 若有解（即存在使得成立），则； 若有解（即存在使得成立），则； 若有解（即无解），则； 若无解（即有解），则． 1. 求导判断单调性 2. 分离参变量或者分类讨论 3. 通过能成立问题相关知识点进行求解参数的取值范围 （2021·天津宁河·一模）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减； (2) 当时， 要证，只需证，即证明 令，则 当时，，当时， 所以在单调递减，在单调递增 所以，即. (3) 【分析】(1)把函数写成分段函数，再判断每一段函数的单调性； （2）要证明的不等式化简成要证明成立，求导判断单调性求最小值. (3)分离参量转化求，分别求导判断单调性，求最值即可. 【详解】（1）当时，求函数 当时， 所以在单调递增； 当时， 所以在单调递减； 综上函数在单调递增，在单调递减； （2）略 （3）由题意，不等式有解，即不等式在上有解 等价于在上有解，则 设，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，所以. 设，， 设（），，由，得.所以在单调递减，在单调递增. 所以，则，所以在上单调递增 当时，，所以 综上，实数的取值范围是. 题型十：利用导数研究函数的零点 （2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明：当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，，， 由，得，则， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，，于是， 所以. （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，，，则 ， 由（i）知，，令，求导得， 函数在上单调递减，则，即， 故，令函数， 求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）（ⅰ）求出及其导数，利用极值点的意义列式并分离参数，再构造函数并利用导数证明不等式；（ⅱ）由（ⅰ）求出，再构造函数，利用导数推理证明. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 利用导数研究函数零点 方法技巧 先确定函数定义域，求导分析单调性、极值与最值，画出函数大致图像，结合零点存在定理判断零点个数。求导找出极值点，计算极大值、极小值，对比极值与 0 的大小：极大值＜0，函数无零点；极小值＞0，函数无零点；极值跨 0，存在零点。 零点存在定理要满足区间端点函数值异号，同时函数在区间连续。含参零点问题，常用分类讨论分析参数对极值的影响，也可参变分离转化为直线与曲线交点问题。 遇到隐零点，设零点满足导数为 0，整体代换化简函数。注意检验端点、渐近线，不能只看极值，还要分析函数趋向正负无穷的趋势，避免漏判零点，最后要写清推理依据。 （2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 【答案】(1)； (2)； (3) 对于正整数，， 由（2）可知，此时必存在唯一的正实数零点， 即满足方程：， 令，，则， 令，则， 令，则， 因为，所以，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，故，即， ，所以， 将代入得，， 对到n累加：， 令，， 构造，， 故， 严格恒成立，所以， 所以，因为， 所以， 将代入得，， 由于，有， 所以， 对到n累加，首尾相消得 ， 故. 【分析】（1）求导，得到切线斜率，由导数几何意义得到切线方程； （2）二次求导，分类讨论，结合函数单调性和零点存在性定理可得结论； （3）参变分离，放缩，利用裂项相消法可得结论. 【详解】（1）当时，， ， ，， 曲线在处的切线方程为， 化简即得. （2）已知，注意到， ，注意到， 令，则， ①若，此时. 对于所有，，所以恒成立， 故在上严格单调递增，故， 故在上严格单调递增，故， 函数在时恒为正，无正实数零点； ②若，此时. 令，解得唯一极值点， 当时，单调递减，此时， 当时，单调递增， 先减后增，且当时， 由零点存在性定理，必然存在唯一的，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得极小值，且极小值， 当时，， 结合单调性，函数在内必存在唯一一个正实数零点， 综上所述，当且仅当时，函数恰好有一个正实数零点. （3）略 题型十一：利用导数研究双变量问题 （2026·天津和平·一模）已知函数 (1)若函数为增函数，求的取值范围； (2)已知实数，且． （i）证明：； （ii）若与是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)（i）要证成立，即证成立． 由（1）有时，在上单调递增， 因为，则，即， 整理，即证成立． 设，则， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即，当且仅当时等号成立， 令，可得，故成立，所以原不等式成立． （ii）由已知可得有两不同实根为 ，则，即， 一方面：由（1）可知，有； 同理可得，设，则， 当时，，当时，，且， 故对任意恒成立，故在上单调递减， 由，则，即，且， 则，故，可得； 另一方面：又因为 ，由（i）可得，即， 则，且，可得. 综上所述，，可得， 则，得证． 【分析】（1）由题设可得对于任意恒成立，可得对任意恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （2）（i）转化问题为证明，结合（1）可得，即证，设，利用导数分析其单调性，进而求证即可； （ii）由题意可得，结合（1）可知，，，设，利用导数分析其单调性，进而得到，再结合（i）可得，进而求证即可. 【详解】（1）由，得， 由为增函数，有对于任意恒成立， 整理有对任意恒成立． 设，则， 令，得；令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则， 所以的取值范围为. （2）（i）略 （ii）略 利用导数研究双变量问题 方法技巧 双变量常见题型：极值点偏移、两个零点不等式证明、任意与存在双变量恒成立。解题核心是消元，把双变量转化为单变量函数。 极值点偏移题型，构造对称函数，比较函数值大小，借助单调性脱去f符号；也可做差换元，令t=x2/x1​​，将式子全部换成关于t的一元函数。 若两个变量满足导数等式（隐零点条件），利用该等式整体代换，消去参数，减少变量个数。分清 “任意”“存在” 逻辑，转化为最值关系。 注意定义域约束，换元之后确定新变量的取值范围，构造新函数后用导数研究新函数单调性与最值完成证明。切忌直接分别研究两个变量，一定要实现二元转一元，做完验证边界情况。 （2026·天津滨海新区·三模）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导代入得到斜率，再求出切点坐标，最后写出点斜式方程即可； （2）分和讨论即可； （3）分和讨论即可. 【详解】（1）∵，切点为， ∵， 则曲线在处的切线方程为. （2）， 等价于， 则使得成立，只需， ，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上有最小值， ， 即对恒成立， 令，即， ，， ①当时，，所以单调递增， 在，不符合题意， ②当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为，解得． （3）因为，令， 由（2）知在上单调递减，在上单调递增，，则， ①当时，所以，又， 故， 函数在上单调递减， 又，则， 要证明，只需证明，只需证明， 即， 令函数，求导得， 又，不妨设，则， 由在上单调递减，得， 当时，， 即， 因此， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 当时，，函数在上单调递减， 由，得，即，因此； ②当时，可知有两个极值点，且， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由为极值点，得，即， 则， 又， 则． 对任意，由，得，则， 因此，即． 综上可知． 题型十二：隐零点问题 （2026·天津·一模）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，有两根记为，在和上单调递增，在上单调递减. (3)证明如下： 由（2）知，， 因为函数在上有两个不同的零点， 所以即，即， 两式相除得，令③， ，所以，代入③式得， ， 令，，， 令，， 因为，所以， 所以在区间上单调递增，所以， 所以在区间上单调递增，所以， 得证. 【分析】（1）利用导数求切线方程； （2）讨论的取值范围利用导数求的单调性； （3）通过构造函数求最值的方法证明不等式. 【详解】（1）函数，有， ，有， 所以切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为. （2）函数，，， 令，，， 令，得， 令，得，所以在上单调递减， 令，得，所以在上单调递增， 所以， ①当时，， 所以，即， 所以在上单调递增； ②当时，， 所以，即， 当时，，，从而， 当时，，，与相比，指数函数呈爆炸性增长，从而， 所以有两根，记为， 当变化时，与的变化情况如下表： + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，有两根，记为，在和上单调递增，在上单调递减. （3）略 “找一设一代”三步法速破函数隐零点问题 一找 （找零点） 据题意，把问题转化为关于函数零点的问题，由函数的单调性、函数零点存在定理等确定零点所在区间，解题难点是取点，常见取点技巧如下。 （1）不含参函数：常取，，等特殊值，若函数解析式中含有“指、对结构”,还可取 或这样的数. （2）含参函数：可先根据具体函数解析式的结构猜对应方程的根，若猜不出来，则找易于计算函数值且能判断函数值符号的自变量代入，若还是找不到，则考虑利用极限思想求解 二设 （设零点） 将零点设为，由导数值等于得出零点所满足的关系式，无须求出具体的零点数值. 三代 （巧代换） 根据零点满足的关系式，整体代入待求式化简即可. （2026·天津南开·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 【答案】(1) (2) (3) ， 令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当时，，当时，，所以有两个零点. 不妨设为，，且， 由，可得， 所以要证，即证， 即证. 而，则， 所以要证 ，即证， 即证， 而 ， 由于，故，则， 故 ， 所以，即得证. 【分析】（1）根据斜率求解，即可根据点斜式求解直线方程； （2）分离参数，构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得解； （3）根据导数求解函数单调性，进而可得最小值，根据两个零点得，通过代入可将问题转为证明，进而证明得证. 【详解】（1），则切线的斜率为，所以. 从而，所以处的切线方程为 ，即. （2）时，由得， 整理得. 令，则， 由于为上的单调递增函数，且， 故当时，，则；当时，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为. （3）略 1．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)将所有正零点排列为严格递增数列 （i）证明：； （ii）设表示不超过的最大整数，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析，（ii） 【分析】（1）直接利用导数证明即可； （2）（i）根据题意可知在上有一个零点，再由即可证明； （ii）由恒等变形可得，又，则，再证，即可得到，故． 【详解】（1）证明：，， ，，， 所以在区间上单调递增， . （2）（i）证明：由（1）在区间上单调递增， 则时，，即此时无零点， 当，，单调递增， 又， ，， 则在上有一个零点， 同理可得在上有一个零点， 又，，， ， 又， ，且在上单调递增， ，即； （ii）， ， ， ， 又， ， ． 2．（2026·天津北辰·二模）已知函数，，其中，，e是自然对数的底数 (1)若函数，求的单调递增区间； (2)若，且曲线在处的切线和曲线也相切，求的值； (3)已知（m为常数），设直线与曲线与分别交于，两点，若对任意及，均有，求的取值范围. 【答案】(1)当时，单调递增区间为、；当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为、 (2) (3) 【分析】（1）求导后因式分解，再分、与进行讨论即可得； （2）借助导数的几何意义可求出曲线在处的切线方程，再设出此切线和曲线的切点，利用导数的几何意义计算即可得解； （3）由题意可得，，则可用、、表示出、，从而可表示出，构造相应函数，借助导数结合零点存在性定理可得其单调性，从而可求出其最小值，再结合与的范围即可得的取值范围. 【详解】（1），则， 当时，令，得或， 故在和上单调递增， 当时，可得恒成立，故在上单调递增； 当时，令，得或，故在和上单增； 综上可得：当时，单调递增区间为、； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为、； （2）当 时，，则， ， ， 故曲线在处的切线方程为， 设此切线与曲线的切点为， 则，解得，从而， 即，即， 设，， ， ，∴在上单调递减， ∴在上有唯一解； （3）由题意可知：，， 所以，，∴， 设，则， 令，则 ， 即在单调递增，又当时， ；时， ， 所以存在，使得 ，∴，即， ∴在单调递减，单调递增， ∴ ， 设 为减函数， ， ∴当 时，，又，∴， ∵，设，则在单调递增， ∴ ，所以. 3．（2026·天津和平·二模）已知，函数（a，），. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知，. （ⅰ）若，分别是函数，的导函数，且在区间上恒成立，求实数m的取值范围； （ⅱ）已知，证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知时，， 即，故， 所以有k，，，令， 则（k，）， 所以 . 所以，. 【详解】（1）当，时，， 则，，， 所以， 故切线方程为. （2）（ⅰ）若，，，，， 由，得（）， 法一：令， 由，且，且可得. 下证对于时，恒成立. 将函数视为关于m的一次函数且单调递增， 所以， 故只需证成立，令， ，，， 当时，， 所以，故在单调递减， 当时，，所以在单调递增， ，因此存在，使得， 故在单调递减，在单调递增， 又因为，，有，故在上单调递增， 所以，在单调递减，在单调递增， 因此， 故恒成立，所以，当时，恒成立， 综上，实数m的取值范围. 法二：当时，： 当时，，设， ， 设，， 则时，，单调递增； 时，，单调递减. 而，，，所以在上存在唯一零点，设为， 则时，，，单调递增； 时，，，单调递减. 故在处取得最大值，在处取得最小值，所以， 综上，实数m的取值范围为. （ⅱ）略 4．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，． (1)求函数的单调区间； (2)判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； (3)直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)存在，理由如下： 若存在关于对称，则等价于方程存在两个不等于1的不同实根， 构造函数， 令，求导得： ， 恒成立， ∴时，，单调递增， 时，，单调递减， 的最大值为，且时，， 因此有两个不同零点，即方程有两个不同解，对应两个不同点. (3) 【分析】（1）求导，根据导函数的正负分析的单调性； （2）将曲线存在两点关于对称转化为方程存在两个不同实根，然后构造函数分析单调性求解； （3）根据导数的几何意义得到直线的方程，即可得到，然后代入，利用换元法求范围即可. 【详解】（1）令，定义域为R，求导得： ， 因为恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）存在关于对称，理由略； （3）切线斜率，切线方程为， 令得： ， 与垂直，斜率，方程为， 令得： ， 代入所求表达式化简， 全部消去： ， 设，则原式， 对求导得，因此在单调递减，单调递增，最小值，即，， 是关于的增函数， ∴ ， ∴的取值范围为取值范围为. 5．（2026·天津东丽·一模）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后分、和讨论求解即可； （3）将问题转化为成立，令，利用导数求出的最大值即可得答案. 【详解】（1）依题意， 所以, ，         又 函数在处的切线方程为， 即． （2）当， ①当时，，在单调递增，     ②当时，，在单调递减，      ③当时，令，解得 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减．           综上可知， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减 （3）由（2）可知， ， ， 故在单调递减， 又因为时，, 所以， 即，         因为，对，关于a的不等式恒成立， 所以，对，恒成立， 即成立，    令，                  因为 令在上单调递增 因为 所以，由零点存在定理，可知，使得，即．     当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以， 所以 6．（2026·天津红桥·一模）已知为正实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明如下： 先证右侧不等式，如下： 由（2）可得，当时，有， 可得，所以， 即， 则有； 即，右侧不等式得证； 左侧不等式证明如下： 构造函数，则在上恒成立； 即在上单调递减，可知， 可得，也即， 可得， 因此， 可得 又因为， 所以， 故，左侧得证； 综上可得，不等式成立. 【分析】（1）对函数求导代入，计算出斜率和点坐标即可求得切线方程； （2）求导后对参数进行分类讨论，求得函数单调性根据恒成立，可得出； （3）根据（2）中结论，可得当时，再由对数运算法则以及不等式放缩计算证明即可. 【详解】（1）易知， 当时，，此时， 又， 所以切线方程为，即； （2）由（1）可知， 若，即时，， 此时函数在区间上单调递增， 因此，符合题意； 若，即， 当时，，函数在区间上单调递减， 此时，不合题意； 综上所述，的取值范围为. （3）略 7．（2026·天津河西·一模）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，，，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：由（i）知，三个零点分布为：，，． 由零点分布可知，，． 令，，． 显然有，，． 因为，代入得：． 同理代入和可得：，且． 因此，，是方程的两个正根，而u是方程的正根． 因为，两边同时乘以并除以，得： 两边取自然对数： 同理，由可得： 将上述两式相加，得到： 下面证明． 设，由已知． 由于，要证，而且在上单调递减． 等价于证明，即证对任意成立． 构造函数． 即证明：， 令．， 令，，， 因为，所以，即单调递增． ． 所以在上单调递减，． 故成立，进而在上恒成立． 这说明成立，从而得到． 因为且，所以． 代入第一步得到的恒等式中： 将，，代回上式： 所以原不等式得证． 【详解】（1）当时，． 将代入，得切点纵坐标． 对求导得： 所以在处的切线斜率为：， 所以切线方程为，即：． （2）（i）由等价于． 设．． 令，解得或． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 的极大值为；极小值为． 又当时，；当时，． 所以函数的大致图象如图： 所以，要使直线与有3个不同的交点，必须满足： 故实数a的取值范围是． （ii）略 8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围； (3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：． 【答案】(1)2x＋y－2＝0 (2) (3)证明如下： 由 ，可得， 令，则，由得，由，得. 故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，， 因，对于，有，，故，， 则由，又，故， 令，则， 因，则，故在上单调递增， 又， 则在上存在唯一解，∴ 又，， 则有，故可得． 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据直线的点斜式方程求解； （2）由题意，可得有且只有一个变号根，通过求导，判断函数的单调性和图象趋势，即可求得参数范围； （3）由得，令，求导判断函数单调性，推得，结合，得到，令，判断其单调性，得在上存在唯一解，再由零点存在定理即可证得. 【详解】（1）当时，， ，且， 故在处的切线方程为，即2x＋y－2＝0， （2）， ， 由＝0可得，令，x>0， 则 令，在上单调递减，且， 则当时，，则，即在上单调递增， 时，，，即在上单调递减， 且又时，，时，， 由题得，有且只有一个变号根，故 （3）略 9．（2026·浙江宁波·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ）证明：由（ⅰ）得，． ， 欲证，只需证， 构造，，则， 令，则，当时，， 即在上单调递增，且， 在时恒成立， ， 当时，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，故， 设方程的两根为，，不妨， 则由得， 由韦达定理得， ， ，且是方程的两根，是的两根， 则， ， ，命题得证． 【分析】（1）利用导数的几何性质求出斜率，进而求出切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数讨论极值点及单调性，进而求解的取值范围； （ⅱ）利用函数单调性转化不等式，再通过构造函数，求导，利用导数讨论函数单调性，进而证明结论． 【详解】（1）时，，则， 求导得，则， 切线方程为，即． （2）（ⅰ）由于有两个极值点，， 故有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解； 设，则，令，，则， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，且， ，即的取值范围为． （ⅱ）略 10．（2026·天津河东·一模）已知函数（）. (1)函数在定义域内无极值，求a的取值范围； (2)函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由（ⅰ）可知，，所以， 又函数在单调递增，，，， 所以， 又，所以，所以， 即. 【详解】（1）（），令（）， 因为函数在定义域内无极值， 所以函数无变号零点，即函数在上无变号零点. 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 由上可知，，∴. （2）（ⅰ）（，）， （，），令，则， 因为有三个不同的极值点，即有三个变号零点， 所以必有两个不相等的正根， 所以方程必有两个不相等的正根， 记为，则，且， 由得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，且，所以必有，且为极小值点，，且为极大值点. ，当时，，在上有唯一零点， 因为，， 必有为极大值点. 综上，当且仅当时，有三个不同的极值点，即a的取值范围为. （ⅱ）略 11．（2026·山东菏泽·一模）已知函数，. (1)当时，证明：1是的极值点； (2)当时，证明：； (3)若，对任意的，恒成立，求的最大值. 【答案】(1)当时，，， 时，，故； 时，，故，又， 所以1是的极值点. (2)当时，只需证明， ①当时，，，不等式显然成立； ②当 时，令 ，， 令，则， 因为，，， 所以，所以单调递减， 所以，所以单调递减， 所以， 所以， 综上，原不等式得证. (3) 【分析】（1）根据函数的导数证明1是的极值点； （2）分， 两种情况讨论，当 时，利用导数判断函数的单调性即可得证； （3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）任意的 ，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时， 由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， ， 令， ，得（舍去）或， 当，0单调递增，当， ，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以， 所以的最大值是. 12．（2025·天津·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明对于任意的实数x，总有； (3)若是的极值点，求a的值． 【答案】(1) (2)当时，， 则，令， 则，当且仅当时等号成立． 所以在R上单调递增． 又，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以． (3) 【分析】（1）利用导数求得，求得，可求切线方程； （2）利用二次求导可得在R上单调递增，结合，可得的单调性，进而可得结论； （3）分，两种情况讨论，对，再分，，讨论可求得结论. 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）略 （3），则． 当时，可证恒成立， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以，． 所以． 可得在R上单调递增，与题意矛盾，舍去； 当时，令， 则，且． 令，则． 显然，在R上单调递增． 令，解得． ①当时，， 可得当时，，故在上单调递增． 又， 故当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，所以当时，，在上单调递增，故不是极值点，不合题意； ②当时，， 可得当时，， 故在上单调递减． 又，故当时，， 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，所以当时，， 在上单调递减，故不是极值点，不合题意； ③当时，， 可得当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，所以，则在R上单调递增． 又，所以当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以是的一个极小值点，满足题意． 综上，当且仅当时，是的极值点． 13．（2025·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 【答案】(1) (2) 在恒成立，在上单调递增. (3)令，则原不等式等价于 令 则 令， 则 由（2）知， 在恒成立 又在恒成立， 在单调递减， ， 在单调递减， ， 即， 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）利用导数研究函数的单调性即可； （3）构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而证明不等式. 【详解】（1）当时， 又 曲线在点处的切线方程为： 即． （2）略 （3）略 14．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数 的单调区间； (2)若对 ，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 【答案】(1)当时，函数 的单调递增区间为； 当 时，函数 的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)； (3)取 ，由（1）知函数在 上单调递减，在上单调递增， 则，当时，取，得，即， 因此； 设函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 取，得，即， 因此， 所以对于任意正整数n，有. 【分析】（1）求出函数 的导数，再分类讨论求出其单调区间. （2）求出函数 的导数，进而求出其最大值，由 的取值情况及零点个数可得，再利用导数求出 的范围. （3）利用（1）中信息，取 得，取，利用累加法证得不等式右端成立；再构造函数，利用导数结合赋值法证得不等式左端成立. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时， ，函数 在上单调递增； 当 时，由 ，得；由 ，得， 函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数 的单调递增区间为； 当 时，函数 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 而 ，由 ，得；由 ，得， 函数 在上单调递增，在上单调递减，， 又，当 从大于0的方向趋近于0或 趋近于正无穷大时，从大于0的方向趋近于0，， 要函数 恰有两个零点，当且仅当，即， 即恒有，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的取值范围是. （3）略 15．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 【答案】(1) (2) 易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. (3) 由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）根据不等式构造函数和分别证明大于等于零恒成立即可； （3）依据（2）中结论可得，再利用等比数列前项和公式计算可得证明得出结论. 【详解】（1）当时，可得，所以； 可得，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2）略 （3）略 1．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【答案】(1) (2)方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令，所以， 因为和在上单调递增，则在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以，则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：要证，即证，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，则， 可知在内单调递减，且， 则当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可； （2）方法一：令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论； 方法二：比值构造法 构建，，求导，分和两种情况讨论，利用导数分析的单调性和最值，即可证明不等式. （3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立. 【详解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）略 （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 2．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明:由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）略 3．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)2 (3) 先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【分析】（1）直接使用导数的几何意义； （2）先由题设条件得到，再证明时条件满足； （3）先确定的单调性，再对分类讨论. 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）略 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2) 要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. (3) 设，， 则， 由（2）知：，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； （3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论. 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）略 （3）略 5．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）； （ii） 因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 【分析】（1）求出可求切线方程； （2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求. （ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立. 【详解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）略 6．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III） 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）略 （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $