解答题 数列综合应用（六大题型专项训练）（天津专用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦天津高考数列中档大题，以分组、裂项、错位相减等求和方法为核心，构建“题型-方法-应用”三维训练体系，强化运算规范与逻辑推理，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分组求和|含2道模拟题|拆通项为等差/等比数列，分奇偶讨论项数|从等差等比基本量运算到分段数列求和，体现分类整合思想| |裂项相消|含2道模拟题|拆通项为两项差，验证裂项正确性|基于分式通项变形，衔接不等式证明，强化放缩技巧| |错位相减|含2道模拟题|等差×等比型通项，错位对齐相减，检验n=1|结合差分数列概念，深化运算能力与步骤规范| |综合应用|含6道模拟题+7道高考真题|新定义转化、探究性问题不定方程求解|从基础求和到与不等式、新情境综合，构建完整知识链|

解答题 数列综合应用 天津高考数列解答题多处于试卷中档大题位置，分值14分，一般设置两小问，整体难度中等，是重点得分题型。第一问常考查求数列通项，高频涉及等差、等比基本量运算，利用an与Sn关系式求通项，也会考查简单递推公式转化。第二问侧重数列求和，以错位相减、裂项相消为核心，偶尔结合不等式考查大小比较、简单证明、参数范围。 命题重视等差等比基础性质，弱化复杂偏难递推构造，强调运算规范。时常与不等式简单综合，不设置过难放缩。命题方向立足通性通法，注重公式灵活运用，会加强对an与Sn转换的考查，警惕n=1的检验。未来依旧保持中档定位，题型稳定，重点考查逻辑运算，适度结合实际情境，注重步骤完整性，区分学生基础掌握程度。 题型一：分组求和法求数列的前n项和 （2026·天津滨海新区·三模）已知为等差数列，为公比不是1等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足：当时，；当时，，其中．求数列的前项和； (3)若数列满足，且，定义，其中表示集合中最小的数．若，求． 1、分组求和适用于通项可拆成等差、等比等熟悉数列相加减的形式，核心是拆通项，分组分别求和再合并。先化简an​，把通项拆为两个或多个可求和子数列。分别求出每组的前n项和，再代数相加得到总Sn​。注意含(−1)n这类正负交替数列，要分n为奇数、偶数讨论求和，分清项数。遇到分段型数列，要区分n不同范围对应的通项公式。 求和时准确识别子数列是等差还是等比，等比数列留意公比是否为 1。计算完合并化简，仔细核对项数，防止项数算错。奇偶讨论题型，最后可以把结果写成分段形式，部分题目也可尝试统一表达式，记得检验n=1验证结果是否成立。 2、常见类型： （1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： （2）奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列， 其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列． 1．（2026·天津河西·三模）已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 2．（2026·天津北辰·三模）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 题型二：裂项相消法求数列的前n项和 （2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 1、核心思路：把数列通项拆成两项之差，求和时中间项相互抵消，仅剩首尾有限项。先对通项分式变形，常用整式拆分、分母因式分解，注意系数配平，很多题型需要提取常数系数，防止裂项错误。 求和时仔细写出前几项、后几项，看清哪些项抵消，保留哪些项，不要只凭记忆直接写结果。常见形式：相邻两项裂项、隔项裂项，隔项裂项剩余项会增多，要分清剩余正项与负项。 裂项后务必回代验证，检验裂项式子是否与原式相等。求解不等式问题，利用剩余项分析Sn单调性，处理放缩。注意定义域n∈N∗，看清项数，最后检验n=1，验证结果正确性。 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 1．（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列满足，求数列的最大项和最小项． 2．（2026·天津滨海新区·三模）已知是等差数列的前项和，是等比数列，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求； (3)设，证明：． 题型三：错位相减法求数列的前n项和 （2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 错位相减适用等差 × 等比型通项an=(an+b)⋅qn。先写出Sn​展开式，等式两边同乘等比数列公比q；两式错位对齐，上下相减。相减后右侧分为首项、中间等比数列、末项三部分。 重点注意：相减时末项符号为负，极易出错；中间等比数列要数准项数，不要误算成n项。等比求和留意公比q=1的特殊情况。 整理化简，两边除以得到Sn​，式子化简要彻底。算出结果后，代入n=1检验，看是否等于a1，快速排查计算错误。书写步骤格式要规范，天津高考按步骤给分，错位对齐、相减过程不能省略。 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． 1．（2026·天津·模拟预测）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 2．（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 题型四：数列与不等式综合应用 （2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记，为数列的前项积，证明： 常见考法：数列前n项和的不等式证明、比较大小、恒成立求参数。优先求出通项与前n项Sn​。证明不等式，裂项相消直接放缩是高频手段，合理放大或缩小通项，再求和得到不等式关系；放缩要适度，放得过大或过小会证明失败。 若不能直接裂项，可先观察{Sn}单调性，判断增减，结合最值完成证明。恒成立题型转化为最值问题，求出数列最值，进而确定参数范围。 注意放缩尺度，有时需要保留前几项，从第 2 项或第 3 项开始放缩。做完代入n=1检验。区分不等式方向，大于、小于对应不同放缩策略。大题书写，放缩要有依据，不能直接跳步，保证逻辑严谨，符合高考得分要求。 1．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 2．（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： (2)若，记由的所有可能取值组成集合. （i）求集合中的最大元素； （ii）已知为给定的大于1的自然数，求证：当时，，并求集合中所有大于0的元素之和. 题型五：数列中的探究性问题 （2026·天津·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，， （ⅰ）求； （ⅱ）对于给定的，，有数列，，，判断该数列单调性并证明； （ⅲ）求． 数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 1．（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 2．（2026·天津南开·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型六：数列的新定义问题 （2026·天津和平·三模）已知个正数，，⋯，依次围成一个圆圈，其中，，，⋯，是公差为的等差数列，而，，，⋯，，是公比为的等比数列． (1)若，，，求数列，，⋯，的所有项的和； (2)若，，求的最大值； (3)当时，是否存在正整数，满足下式成立？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的． 2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 3、核心技巧：读懂题目给出的陌生定义，把新定义翻译成等差、等比、通项、前 n 项和等熟悉数列语言。首先圈画定义中的条件，明确约束n的取值范围，严格按照定义代入运算，不要凭固有数列经验主观套用结论。 先取小数值，代入n=1,2,3，列举前几项，观察数列规律，寻找内在关系。若出现递推关系，整理出an​与an+1​关系式。 遇到证明问题，紧扣定义逻辑推理；求范围、最值，结合数列单调性分析。注意新数列不一定是等差等比，警惕陷阱。做完用特例回代检验，验证是否符合题干定义。大题步骤要把新定义转化的过程写清楚，不能直接跳结论。 1．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 2．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 1．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 2．（2026·天津·二模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)若与满足关系：，且当时，则称数列是由数列生成的“不减数列”， （i）若，求的前项和： （ii）满足以下两个条件：①为项有穷数列，且，其中，，，是，，，的任意一个排列；②为等差数列.若满足条件的的个数为，并将不同的记作，且，求. 3．（2026·天津河西·二模）已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； (2)设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：； （ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 4．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 5．（2026·天津东丽·一模）已知数列是等比数列，数列为正项等差数列，其前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前4n项和． （i）求； （ii）证明：． 6．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加 ，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． (1)写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)证明：． 7．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 8．（2026·安徽滁州·一模）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 9．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 10．（2026·天津河北·一模）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 2．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 4．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 6．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 7．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题 数列综合应用 天津高考数列解答题多处于试卷中档大题位置，分值14分，一般设置两小问，整体难度中等，是重点得分题型。第一问常考查求数列通项，高频涉及等差、等比基本量运算，利用an与Sn关系式求通项，也会考查简单递推公式转化。第二问侧重数列求和，以错位相减、裂项相消为核心，偶尔结合不等式考查大小比较、简单证明、参数范围。 命题重视等差等比基础性质，弱化复杂偏难递推构造，强调运算规范。时常与不等式简单综合，不设置过难放缩。命题方向立足通性通法，注重公式灵活运用，会加强对an与Sn转换的考查，警惕n=1的检验。未来依旧保持中档定位，题型稳定，重点考查逻辑运算，适度结合实际情境，注重步骤完整性，区分学生基础掌握程度。 题型一：分组求和法求数列的前n项和 （2026·天津滨海新区·三模）已知为等差数列，为公比不是1等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)设数列满足：当时，；当时，，其中．求数列的前项和； (3)若数列满足，且，定义，其中表示集合中最小的数．若，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设出的公差，的公比，结合等差数列与等比数列性质计算即可得； （2）由题意计算可得，再利用分组求和思想与错位相减法，分奇偶讨论并计算即可得解； （3）由题意可得当时，，再结合（2）中所得即可得解. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，又，解得， 故，； （2）当时，， 当时，， 当时，， 故 ， 则 ， 令， 则， 故 ， 故， 当为奇数时，， 则； 当为偶数时，， 则； 综上可得：； （3）由，且， 故当时，，当时，， 又，故当时，，当时，， 当时，，，当时，，， 则 ， 由（2）得， 则， 即. 1、分组求和适用于通项可拆成等差、等比等熟悉数列相加减的形式，核心是拆通项，分组分别求和再合并。先化简an​，把通项拆为两个或多个可求和子数列。分别求出每组的前n项和，再代数相加得到总Sn​。注意含(−1)n这类正负交替数列，要分n为奇数、偶数讨论求和，分清项数。遇到分段型数列，要区分n不同范围对应的通项公式。 求和时准确识别子数列是等差还是等比，等比数列留意公比是否为 1。计算完合并化简，仔细核对项数，防止项数算错。奇偶讨论题型，最后可以把结果写成分段形式，部分题目也可尝试统一表达式，记得检验n=1验证结果是否成立。 2、常见类型： （1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： （2）奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列， 其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列． 1．（2026·天津河西·三模）已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）直接计算等差等比数列的基本量，进而可能通项公式； （2）（ⅰ）当时，此时数列是公差为的等差数列，故得，当时，，进而可得，再通过待定系数法构造等比数列，从而可得；（ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列，先求第段和，再对进行分组并项求和可得. 【详解】（1）因为是公差为的等差数列，，由得​： ， 即，解得，因此： . 对于等比数列，公比，，由得：， ​得，结合，解得，因此： . 综上，，. （2）因为，由上分析知，，所以，. （ⅰ）当时，，此时数列是公差为的等差数列，共有项， 因此，①. 当时，，将①代入得. 因此②. 用待定系数法构造等比数列：设， 则，与②比较得，解得, 所以， 故数列是公比为的等比数列，且首项. 所以，即， 又因为，所以，， 因此. （ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列， 即第段：，项数；第段：，项数； 第段：，项数；；第段：，项数； 记第组和为，首项为，公差为，项数为的等差数列， 所以 ， 对求和， ， 因此，. 2．（2026·天津北辰·三模）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)或 (3)显然偶数“归一数”必为形如的整数， 下面探究奇数“归一数”，不妨设置如下区间： ， 若奇数，不妨设， 若为“归一数”，则且， 即且，当且时， ，当时， ，所以且， 又因为，即， 易知为上述不等式的唯一整数解，区间存在唯一的奇数“归一数”， 所以且，显然为奇数“归一数”，所有的奇数“归一数” 为，所以所有的奇数“归一数”的倒数为， 因为，所以， ， 即 【分析】（1）根据“归一数”概念，结合列举法求解. （2）分析题意可知必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解. （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）根据定义逐个计算的： （奇）：，得是归一数； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，是归一数； （偶）：，得，不是； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，不是. （2）由题意可知为奇数，所以为偶数， 所以存在正整数，使得，即， 因为，且，所以， 或，或，解得或， 所以，或， 所以的值为或. （3）略 题型二：裂项相消法求数列的前n项和 （2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用等差数列和等比数列公式求解通项即可； （2）利用放缩思想，结合裂项相消法求和即可； （3）利用分类讨论，求解，然后利用分组求和、错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由， 得，解得或（舍去）； 故，； （2）由（1）知，，，则 所以 则； （3）因为， 所以， ， ， 所以. 则①， 则②， 由①②得： ， 所以. 1、核心思路：把数列通项拆成两项之差，求和时中间项相互抵消，仅剩首尾有限项。先对通项分式变形，常用整式拆分、分母因式分解，注意系数配平，很多题型需要提取常数系数，防止裂项错误。 求和时仔细写出前几项、后几项，看清哪些项抵消，保留哪些项，不要只凭记忆直接写结果。常见形式：相邻两项裂项、隔项裂项，隔项裂项剩余项会增多，要分清剩余正项与负项。 裂项后务必回代验证，检验裂项式子是否与原式相等。求解不等式问题，利用剩余项分析Sn单调性，处理放缩。注意定义域n∈N∗，看清项数，最后检验n=1，验证结果正确性。 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 1．（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列满足，求数列的最大项和最小项． 【答案】(1)；． (2) (3)最大项为，最小项为． 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解； （2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和．求出奇数项，利用错位相减法求出，求出偶数项，利用裂项相消法求出，从而得到. （3）求出，由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨．①记偶数项为．计算，得到偶数项子数列是严格递减数列．则在所有偶数项中最大值为；②记奇数项为，判断奇数项子数列单调性，从而得到所有奇数项中的最小值为；进而即得． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意得方程组：， 得：即， 因为，解得，此时． 所以；． （2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和． 因为奇数项． ， ， ， ， 所以．            偶数项 ． ， ， ． 所以. （3）， 由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨． ①记偶数项为． ． 因为，所以． 故，即偶数项子数列是严格递减数列． 因此，在所有偶数项中，最大值为．        ②记奇数项为． ． 当时，，所以，即． 当时，，所以， 即从第三项起，奇数项子数列严格递增，有 因此，在所有奇数项中，最小值为．         因为所有偶数项为正，所有奇数项为负， 所以数列最大项为，最小项为． 2．（2026·天津滨海新区·三模）已知是等差数列的前项和，是等比数列，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求； (3)设，证明：． 【答案】(1)； (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式列方程解得，即可得数列的通项公式； （2）根据等差数列求和公式可得，利用裂项相消法分析求解； （3）整理可得，利用裂项相消法分析证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，且，则，解得， 所以，. （2）因为， 当时，则； 当时，则； 且，符合上式， 所以， 则 ， 所以. （3）因为， 可得， 且，则，即，可得， 所以. 题型三：错位相减法求数列的前n项和 （2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 【答案】(1)数列不是2阶等差数列；数列是2阶等差数列； (2)（ⅰ）证明：取，则有， 又因为， 所以，， 所以， 所以， 所以数列为二阶等差数列； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知， 令， 则， 所以是等差数列，首项为，公差， 所以， 即， 当时，， ， ， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以， 在中，取， 得，所以 即，解得， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以, 所以，得证. 【分析】（1）根据二阶差分数列及2阶等差数列的定义逐一判断即可； （2）（ⅰ）取，根据二阶等差数列的定义证明即可； （ⅱ）由（ⅰ）可知，利用累加法可得，中，，可求得，从而得，代入，利用放缩法可得，利用错位相减即可得证. 【详解】（1）由数列的阶差分数列可得： 数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为， 此差不是不为0的常数， 故数列不是2阶等差数列； 数列的一阶差分数列为 二阶差分数列为， 故数列是2阶等差数列； （2）略 错位相减适用等差 × 等比型通项an=(an+b)⋅qn。先写出Sn​展开式，等式两边同乘等比数列公比q；两式错位对齐，上下相减。相减后右侧分为首项、中间等比数列、末项三部分。 重点注意：相减时末项符号为负，极易出错；中间等比数列要数准项数，不要误算成n项。等比求和留意公比q=1的特殊情况。 整理化简，两边除以得到Sn​，式子化简要彻底。算出结果后，代入n=1检验，看是否等于a1，快速排查计算错误。书写步骤格式要规范，天津高考按步骤给分，错位对齐、相减过程不能省略。 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． 1．（2026·天津·模拟预测）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项公式. （2）（i）利用组合计数问题求出中每个元素出现的次数，再利用等差数列前项和公式求出，然后利用并项求和法求出； （ii）利用组合计数问题求出中的每个元素为最大元素的个数，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为； （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为 ， 因此 ， ， 所以 ； （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最大元素为的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最大元素为的子集有个， 同理得最大元素为的集有个， 最大元素为1的子集有个， 则=， 记， 则， 两式相减得 =， 所以=. 2．（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 【答案】(1)， (2) (3)证明：由（1）得， 所以 所以 ， 所以 ． 因为，，所以 所以，证毕. 【分析】（1）根据题意，当时求得，进而求得，再结合累加法求解的通项公式； （2）根据分组求和与错位相减法求和分别求解，的前项和，，再根据求解即可； （3）结合题意得，再结合分组求和求得即可证明结论. 【详解】（1）解：由数列，满足， 当时，可得，即，解得； 因为是等差数列，所以公差 所以． 所以， 所以时， ， 又时，依然成立， 所以， 所以． （2）解：由（1）知． 记的前项和为，的前项和为， 所以 ① ② ①－②得， 所以． 所以． （3）略 题型四：数列与不等式综合应用 （2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记，为数列的前项积，证明： 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据的关系求，根据已知及等差数列的通项公式求公差，进而得到的通项公式，即可得； （2）分组求和，结合错位相减法得到当为偶数时，，当为奇数时：，得到答案； （3）计算出，利用放缩证明出不等式左边，利用证明出不等式右边 【详解】（1）由，则时，且， 所以，显然也满足，故， 设的公差且，，而， 所以且， 所以，则， 所以，即. （2） ， 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，， 当为奇数时：， . （3）因为，所以， 证明不等式左边： ， 证明不等式右边： ，得证. 常见考法：数列前n项和的不等式证明、比较大小、恒成立求参数。优先求出通项与前n项Sn​。证明不等式，裂项相消直接放缩是高频手段，合理放大或缩小通项，再求和得到不等式关系；放缩要适度，放得过大或过小会证明失败。 若不能直接裂项，可先观察{Sn}单调性，判断增减，结合最值完成证明。恒成立题型转化为最值问题，求出数列最值，进而确定参数范围。 注意放缩尺度，有时需要保留前几项，从第 2 项或第 3 项开始放缩。做完代入n=1检验。区分不等式方向，大于、小于对应不同放缩策略。大题书写，放缩要有依据，不能直接跳步，保证逻辑严谨，符合高考得分要求。 1．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【答案】(1)， (2)（i） （ii）， . 设，① 则，② ①-②得， 所以 ， 则，所以. 【详解】（1）因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为. 设数列的公比为. 由，，， 得， 又，解得， 所以. （2）（i）由（1）知， 所以， ， 同理. , 所以； （ii）略 2．（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： (2)若，记由的所有可能取值组成集合. （i）求集合中的最大元素； （ii）已知为给定的大于1的自然数，求证：当时，，并求集合中所有大于0的元素之和. 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）证明：首先证明，当，即时，， 当时，， 由（i）可知， 所以，， 反之，若，则必有，否则若，则 ， 故当且仅当时，， 再证明集合中有个大于0的元素， 首先，当，即时，对于任意， 都有和两种可能，故有种不同形式， 下面证明这种不同形式的结果互不相同， 任取其中的两种不同形式，记为， ， 因为为两种不同形式，则必存在，使得， 将其中最大的记为，不妨设， 若，则显然， 若，则 ， 故，因此集合中有个大于0的元素， 将这个元素记为，其中给定， 满足的元素个数为个，满足的元素个数也为， 因此 ， 所以集合中所有大于0的元素之和为.. 【分析】（1）设等差数列公差、等比数列公比，列方程组，求解公比和公差，得出两数列通项公式. （2）(i) 要使取最大值 ，需每一项 (因 ，正项和最大)，构造该和式，采用错位相减法消去等比项，化简计算后，得出集合 中的最大元素. (ii)先证明 时和为正，通过放缩与前 项和对比得出；再证 ) 时和必为负，进而得和为正的充要条件，接着证明正元素个数为 且互不相同,最后利用前 项正负抵消的性质，计算所有大于 0 的元素之和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由， 得：，即， 所以，解得：或（舍），， 从而，； （2）（i）当时，取最大值， 此时，①， ②， ①-②得： ， 故，即集合中的最大元素为； （ii）略 题型五：数列中的探究性问题 （2026·天津·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，， （ⅰ）求； （ⅱ）对于给定的，，有数列，，，判断该数列单调性并证明； （ⅲ）求． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）， （ⅱ）单调递减，证明如下：，时数列单调递减，证明如下： ，令，则， 所以， 令，所以，令， 因为，，，，所以， ， 所以 在恒成立，所以恒成立，即对于给定的，，有数列单调递减； （ⅲ）. 【分析】（1）利用等差数列和等比数列基本量计算，代入公式即可； （2）（ⅰ）找到k与n的关系：一个n对应唯一k满足条件，然后，直接求解； （ⅱ）写出，通过换元构造函数，比较与1的大小可得单调性； （ⅲ）写出表达式，化简即可. 【详解】（1）数列是公差为2的等差数列，所以，解得，所以， 数列是公比大于0的等比数列，，解得，所以， 综上，， （2）（ⅰ）由（1）得，， 因为，所以，所以； （ⅱ）略 （ⅲ）， 由（ⅱ）令得， 令，即，当时；当时， . 数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 1．（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ｉ）；（ⅱ）存在，满足条件的只有． 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式，联立方程组即可求解； （2）（ｉ）先分析数列的分组结构，算出前21项包含的和的项数，分别求和后相加即可； （ⅱ）先求出前组的和的表达式，再结合的特殊情况验证，最后用放缩法证明时和不在等比数列中，从而得出所有符合条件的. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，所以. （2）（ｉ）新数列， 可以看作是：第1组：，共1项， 第2组：，共2项， 第3组：，共3项， 第组：，共项， 因此前组共有项， 且第组的和为， 由于时，，因此前6组共有21项， 因此 . （ⅱ）由（ｉ）可知，到为止，数列的项数为, 此时和为 , ①当恰好是前组的总项数时，此时， 当时，，即是数列中的项，符合题意： 当时，，则是数列中的项，符合题意； 当时，恒成立，此时， 在两个相邻的2的幂和之间，没有其他的2的幂， 因此不可能是数列中的项，不符合题意； ②当不是前组的总项数时，而是介于与之间，即， 这意味着是前组的和再加上第组的前几项， 设，其中，则， 当时，，只能取2，， 即是数列中的项，符合题意； 当时，，只能取4或5，， 即不是数列中的项，不符合题意； 当时，，由于，则， 若要使得为数列中的项，则，即， 当时，上式不成立；当时，，上式也不成立； 因此不可能是数列中的项，不符合题意； 综上所述，满足条件的只有． 2．（2026·天津南开·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差以及等比数列的公比，根据题意列出方程组，再利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可. （2）根据（1）得到表达式，再根据组合数的性质以及二项式定理求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 已知，且 ， ，所以， 解得，. 因此，. （2）当为奇数时，设（ ），则； 当为偶数时，设（ ），则. 故前项和为 . . 因此. 题型六：数列的新定义问题 （2026·天津和平·三模）已知个正数，，⋯，依次围成一个圆圈，其中，，，⋯，是公差为的等差数列，而，，，⋯，，是公比为的等比数列． (1)若，，，求数列，，⋯，的所有项的和； (2)若，，求的最大值； (3)当时，是否存在正整数，满足下式成立？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在时，等式成立 【分析】（1）由，，求解数列，，⋯，共个数即可； （2）由可得，，，⋯，是首项为，公差为的等差数列，故，而，，，⋯，，是公比为的等比数列，并求解，可以得到，再由最大，则最大即可求解； （3）由题意可得，，可得，再由代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，所以，又因为， 所以，，构成等比数列，所以， 所以数列，，⋯，为，，，，，，，，，共个数， 此时，. （2）由，，，⋯，是首项为，公差为的等差数列，故， 而，，，⋯，，是公比为的等比数列，故，因此， 所以，因此，要使最大，则最大，又，故的最大值为， 由，即，故的最大值为. （3）由，，，⋯，是公差为的等差数列，可得：， 而，，，⋯，，是公比为的等比数列，所以，故， 即，又，， 所以，即， 即，即，因此， 所以，所以； 代入验证可得：当时，上式等式成立，此时， 所以当且仅当时，存在满足等式. 1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的． 2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 3、核心技巧：读懂题目给出的陌生定义，把新定义翻译成等差、等比、通项、前 n 项和等熟悉数列语言。首先圈画定义中的条件，明确约束n的取值范围，严格按照定义代入运算，不要凭固有数列经验主观套用结论。 先取小数值，代入n=1,2,3，列举前几项，观察数列规律，寻找内在关系。若出现递推关系，整理出an​与an+1​关系式。 遇到证明问题，紧扣定义逻辑推理；求范围、最值，结合数列单调性分析。注意新数列不一定是等差等比，警惕陷阱。做完用特例回代检验，验证是否符合题干定义。大题步骤要把新定义转化的过程写清楚，不能直接跳结论。 1．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明：因为数列的前项积为，满足， 所以当时，，解得. 当时，，化为，则， 所以当时，， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）当可求得的值，当时，由已知等式得出，变形得出，结合等比数列的定义证明可得结论； （2）（i）分析可知中元素两两互异，且的所有项中至多有两个和两个，由此可得出的最小值，并找出使得的最小值时的一个； （ii）根据（1）中的结论可求出数列的表达式，可得出的表达式，然后由结合二项式定理可化简的表达式. 解法一：设为数列的前项和，利用分组求和可求得的表达式； 解法二：求出，设为数列的前项和，利用并项求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）. 所以的所有项中至多有两个和两个，所以. 例如，当为、、、、时等号能取到， 所以的最小值为. （ii）由（1），数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即， 又因为，所以. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 法一：设为数列的前项和， 则 ， 所以数列的前项和为. 法二：， 设为数列的前项和， 则 . 2．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由如下： 由，得，① 所以，② 由①－②，得， 所以. 又，， 假设存在实数，，，使得数列为“型数列”， 则， 即， 整理得， 所以解得，，，不满足，为非零常数， 因此不存在实数，，，使得数列为“型数列”. 【分析】（1）根据题意，，所以数列是等差数列，可得通项公式，根据题设得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）设，利用并项求和法得解； （3）利用错位相减法求得，假设存在实数，使得数列为“型数列”，则，利用待定系数法得到方程组，求解即可. 【详解】（1）因为为“型数列”， 所以， 即，所以数列是等差数列， 又，，所以的公差为， 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”，所以， 又因为，也成立，所以为等比数列， 公比，因此. （2）由（1）可得， 设， 因为， 故数列的前项的和为 . （3）不存在实数，，，使得数列为“型数列”，理由略. 1．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意计算求解即可； （2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 2．（2026·天津·二模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)若与满足关系：，且当时，则称数列是由数列生成的“不减数列”， （i）若，求的前项和： （ii）满足以下两个条件：①为项有穷数列，且，其中，，，是，，，的任意一个排列；②为等差数列.若满足条件的的个数为，并将不同的记作，且，求. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）满足条件的的个数为个，且 【分析】（1）根据等差、等比数列基本量的运算求解； （2）（i）解法一：由题可知，再根据递推式结合错位相减法求和即可；解法二：先并项求和，再利用错位相减法求和即可； （ii）设的公差为，再分、、三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：设的公差为，的公比为， 由，，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，     所以，； （2）解法一： ，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又，所以， 所以          所以              所以；         解法二： ，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又，所以 所以， 所以， ， 所以 ， 所以；         （ii）设的公差为，因为， 所以，所以， 又因为，所以，         ①若，则，即时，，满足为等差数列， 将此时满足条件的记作，则； ②若，则，满足为等差数列， 此时，，，，可以是，，，的任意一个排列， 即满足条件的数列有!个，记作，，， 且； ③若，则 ，这与矛盾， 所以此时不存在，即不存在数列使得是公差大于等于2的等差数列； 综上所述，满足条件的的个数为 个， 且． 3．（2026·天津河西·二模）已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； (2)设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：； （ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) （ⅰ）假设非空子集X的最小元素为x（），则元素x必属于X. 因为x是最小元素，所以X中的其他元素只能从这个元素中选取， 这样的子集X共有个. 因此，在的求和中，（即x本身）被累加了次， 所以：， 将直接代入(1)的结论中： ， ， 所以：命题得证. （ⅱ） 【分析】(1)利用等比中项的性质求出，得到数列的通项公式，利用错位相减即可求得的前n项和； (2)（ⅰ）根据题意可得x是最小元素，则X中的其他元素只能从这个元素中选取.得到这样的子集X共有个，从而得到，代入(1)问中的结论，令即可求解； （ⅱ）根据题意分析可得对于固定的最大元素y，所有对应子集的之和为，代入（ⅰ）的结论，则，从而得到，利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）由题意，设数列的公差为， 已知，是和的等比中项， 所以，因为，所以， 所以，所以. 所以，① ，② ①式减去②式（错位相减法）得： 因为，两边同除以得： . （2）（ⅰ）略 （ⅱ）对于任意一个最大元素为y（）的子集X，它必定包含y，由于此时y固定， 也是一个常数，提取公因式后，只需要对这些子集的（最小元素）求和， 设，其中Y是集合的任意子集（可以是空集）， ①若，则，此时最小元素，对应的项为， ②若，则X的最小元素就是Y的最小元素，即， 对于情况②，当Y取遍的所有非空子集时，其最小元素的总和， 恰好就是（ⅰ）中的. 因此，对于固定的最大元素y，所有对应子集的之和为：， 代入（ⅰ）的结论， 可得， 则， 因此，最大元素为y的所有子集，其的和为. 所以， 因为，所以， 所以， 整理得：. 4．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1) 设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明； （2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解； （3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数． 【详解】（1）略 （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 5．（2026·天津东丽·一模）已知数列是等比数列，数列为正项等差数列，其前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前4n项和． （i）求； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：，记， ，， 两式相减，得， ， ， ，得证． 【分析】（1）直接根据题意列方程组求公比和公差即可； （2）（i）先求的表达式，再结合等差数列求和公式求解即可；（ii）利用错位相减法求出的表达式后直接比较即可． 【详解】（1）设等差数列公差为d，等比数列公比为q， 由题意可得，也即，解得， 所以． （2）（i）由题意得，， ， 显然数列是等差数列，． （ⅱ）略 6．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加 ，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． (1)写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)证明：． 【答案】(1)，； (2)； (3)，， 所以， 所以， 设， 所以， 两式相减得， 设， 则， 两式相减得， ， 所以， 所以， ， 所以. 【分析】（1）本小问是两个独立的问题，前一部分是新定义，按新定义求出；后一部分是已知数列的和，求数列的通项，求和与通项的关系求解，是常规考法； （2）先找到题中给出的关系，再分奇偶讨论； （3）先放缩，再求和，最后证明不等式. 【详解】（1）因为， 所以， ， ， ； 因为，所以，； 时，， ， ，， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， . （2）经过变换后，奇数项的每一项都增加1，偶数项的每一项都减少，各项之和增加； 经过变换后，奇数项的每一项都增加，偶数项的每一项都减少2，各项之和增加； 所以经过和两轮变换后，各项之和增加， ， 所以， 即为偶数时，； 为奇数时，为偶数，令 ，则， ， ； 综上，. （3）略 7．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【答案】(1)，； (2)8； (3) 【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可得解， （2）利用裂项相消法求和，即可解不等式得解， （3）根据等差数列的性质先求解，进而利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设的公比为，依题意，有 解得，，所以，. （2）由（1）知， ， 所以， 由，得， 化简得，解得，所以的最小值为8. （3）依题意，， 则 ， 两式相减可得： ， 所以. 8．（2026·安徽滁州·一模）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 【答案】(1)是，理由如下： 由，得， 当时，，则， 所以， 则数列是以2为公差的等差数列，且， 故是“组差数列”. (2)证明：因为是“组差数列， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，所以可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得，， 所以，即. (3)证明：因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 令，则， 对于任意正整数n，均存在非负整数和整数，使得， 此时， 设这项中的最小值为， 因为，所以， 从而， 则， 令，由对任意的实数均成立，则. 【分析】（1）由可得，当时，可得，进而结合题设定义即可判断； （2）由题意可得，设，可得，进而得到，进而得到数列是等差数列，且公差为3，即可求出，再利用错位相减法求证即可； （3）令，由题意可得，即存在非负整数和整数，使得，此时，设这项中的最小值为，进而得到，进而求证即可. 【详解】（1）是“组差数列”，理由略 （2）略 （3）略 9．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 【答案】(1)， (2)不妨先设， ， 可知时也成立， 假设，即成立， 若，不妨设， 则等价于， 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时．同理时，； 若，则，不妨设， 因为， 故 ．同理时，． 综上当时，． (3) 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. （2）结合（1）的结论，先明确和的表达式，再利用反证法进行证明. （3）先分析集合中元素的特征，表示出元素和. 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得，利用错位相减求和法求，利用公式法求，即可得. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为， 由已知有， 解得，即， 则或（舍）， 则. （2）略 （3）先证取不同的的值各不相同，不妨设， 所以， 而， 所以， 由（2）可知，对不同的 取值，均不相同． 故． 考虑中含有个个个， 因此． 法（一） ， 两式相减得： ， 所以，． 法（二） ， 设， ， 两式作差， ， 所以，，又， 所以，. 10．（2026·天津河北·一模）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)是周期为2的周期数列，理由如下： 当时，，又，得； 当时，， 化简，得． 即，或． 由，有， 所以数列为公比为等比数列，即， 所以对任意都成立， 即当时，是周期为2的周期数列． (3)存在，，． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）先利用求得或，由得出，求出数列的通项公式即可判断出数列是否为周期数列； （3）先由数列满足，推出数列以及数列是周期为的周期数列，求出数列的前项，即可求出数列的前项和以及数列的前项和的取值范围，即可求出对应的、的取值范围. 【详解】（1）因为数列是周期为3的周期数列， 当，时，，， 因为，，解得，或， 经检验，时，，时，，，成立； 时，，时，，，不成立，舍去； 所以． （2）当时，是周期为2的周期数列，理由略. （3）假设存在p、q，满足题设． 所以化简，得， 又，则． 所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为2，3，． 则，， 当时，； 当时，，因为数列单调递减，所以， 当时，，； 综上所述：，为使恒成立，只要，， 所以，． 1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 2．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii） 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）略 （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)① 由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； ② 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）略 （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 4．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，； (2)(Ⅰ)证明如下： 由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)，前项和为. 【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得. (2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，， 取，当时，，取，即可证得题中的不等式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)略 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1) (2) 因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； (3) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）略 （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 6．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【答案】（I），； （II）（i）由题意，， 所以， 所以，且， 所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以. 【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式； （II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）略 （ii）略 7．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. （Ⅲ）. 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可； (Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可. 【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)略 (Ⅲ)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $