重难点专训03 平面向量中三角不等式与投影向量问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦平面向量三角不等式与投影向量，通过法则推导-方法提炼-题型变式构建系统训练，强化几何直观与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量的三角不等式|2典例+1变式|三角不等式公式及等号成立条件，结合几何意义快速求模范围|从三角形法则推导和差不等式，构建“概念-公式-应用”逻辑链| |求投影与投影向量|2典例+1变式|区分数量投影与投影向量公式，明确几何意义与坐标计算|从几何定义到单位向量表达，形成“定义-公式-符号运算”推导链条|

重难点专训03 平面向量中三角不等式与投影向量问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 向量的三角不等式 2 题型2 求投影与投影向量 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 10 解题方法及技巧提炼 向量的三角不等式 我们知道，首尾相连的向量的和满足三角形法则，如图，，记，，，在中，显然有，因此有． 当与同向时，，即；当与反向时，，即． 综上得，当且仅当与同向时，，当且仅当与反向时． 同理可得，，当且仅当与反向时，，当且仅当与同向时，．综合起来，我们还可以简单表示为，这就是首尾相连的向量的“和（差）不等式”，又称向量三角形不等式，是平面向量中的一种十分重要的不等关系，应用非常广泛． 求投影与投影向量 如图，设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，则叫作向量在向量上的投影向量． 设，，与方向相同的单位向量为，且与的夹角为，则在上的投影向量． 的几何意义 数量积等于的模与在上的投影向量的模长的乘积． 【注】在上的投影向量为；在上的投影向量为． 题型通法及变式提升 题型1 向量的三角不等式 【典例1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，则的取值范围是______． 依题意，利用向量的三角形不等式得到， ，同向左边取等号，，反向右边取等号． 又因为，，所以．故的取值范围是． 向量三角不等式：∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣，要分清等号成立条件。∣a+b∣=∣a∣+∣b∣，两向量同向；∣a+b∣=∣∣a∣−∣b∣∣，两向量反向。∣a−b∣等号条件与之相反。该不等式多用于快速求模的最值与范围，天津高考小题常结合动点考查。做题不能直接照搬结论，务必判断等号能否取到。可结合向量加法、减法的几何意义画图理解，必要时用坐标法验算。注意向量三角不等式不等号方向，区分加减形式，做完回代检验，避免忽略共线条件直接写范围造成失分。 【典例1-2】（2026·天津和平·二模）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义求解即可. 【详解】因为，，， 所以有，即， 当和同向或反向时等号成立，所以的取值范围是， 故选：D 【变式1-1】（2026·天津红桥·一模）已知平面向量，，满足，则的取值范围是______． 易知，，， 利用向量的三角形不等式得， 故， 当且仅当与反向且与同向时，全取等号， 且， 当且仅当与同向且与反向时全取等号．综上，的取值范围是． 题型2 求投影与投影向量 【典例2-1】（2025·吉林·三模）已知，则向量在向量方向上的投影的数量是（ ） A．-4    B．4    C．-2    D．2 解：根据投影的数量的定义，设的夹角为， 可得向量在方向上的投影的数量是， 故选:A． 分清数量投影和投影向量，二者极易混淆。a在b上的数量投影公式为a⋅b/∣b∣​，结果是实数，正负由夹角决定；投影向量是向量，等于数量投影乘以b方向上的单位向量。做题顺序不能颠倒，看清是谁在谁上面投影。已知坐标可直接代入公式计算；几何题型可画图直观判断投影正负。天津高考小题常设置概念陷阱，看清题干问的是数量还是向量。计算时不要遗漏除以∣b∣，区分投影长度与投影。做完回代检验，规避符号出错、混淆投影数量和投影向量导致的丢分。 【典例2-2】（2026·浙江·模拟预测）1．已知为单位向量，在方向上的投影的数量为，则与的数量积为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的数量积及投影的定义计算即可. 【详解】由数量积的几何意义知. 故选：B. 【变式2-1】（2026·全国·模拟预测）已知，，向量与向量的夹角为， （1）求在上的投影向量； （2）求在上的投影向量． 解：（1）因为，所以为单位向量， 所以在上的投影向量为． （2）因为，所以， 所以在上的投影向量为． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·四川巴中·模拟预测）已知向量满足，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】不妨设,，利用向量的几何意义和坐标运算，确定点的轨迹为椭圆，然后利用椭圆的性质求解. 【详解】设,，， 则则, 故点的轨迹是以为焦点，为中心，长轴长的椭圆， 故短半轴：， 则. 故答案为： 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】令，根据不等式求得的取值范围即可. 【详解】令，则，， 则． 因为，， 所以． 即的取值范围是. 3．（2024·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是___________. 【答案】 【分析】根据条件，利用向量数量积的定义及运算得到，再利用，即可求出结果. 【详解】设的夹角为， 因为， 又为单位向量，得到， 又，得到，所以， 故答案为：. 4．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知向量，向量满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设，根据已知条件可得：，然后利用三角换元令，最后通过求解三角函数的最值进而求解的取值范围. 【详解】设，因为， 所以，因为， 所以，即， 令， 所以，其中， 因为，所以， 因为，所以. 故答案为：. 5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知向量满足，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据几何关系，设点的坐标，点在单位圆上，故，当三点共线时，即点在处时，取最小值，以及数形结合分析出最大值，计算得到答案. 【详解】因为，所以，设，，， ， 即，点在单位圆上， 因为 ， 设， 即，故， 所以 ， 如图，（1）当三点共线，即点在处时，取最小值. 因为，所以， （2）当位于处时，取最大值，， 因为， 即 ， 所以，当且仅当取等号， 综上，. 故答案为：. 6．（2026年浙江省高考最后一卷数学（第一模拟））已知平面向量，满足，，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】设，则且，设，则，从而可求出的坐标，即可得，从而可得，即可求出的取值范围，进而可求出的取值范围. 【详解】解：令，则，，又，所以. 不妨设，，，则， 从而，则，得， 解得，则，即. 故答案为: . 7．（2026届高三下学期临考冲刺原创卷（六）数学试题）已知，满足，，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】，，得到，，从而画图，点A，B在以原点为圆心，以为半径的圆上，作出平行四边形，利用差向量与和向量分别为平行四边形的两条对角线向量，结合三角函数有关公式和性质求得结果. 【详解】因为，，如图， 圆O的半径为，点A，B在圆上， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 设，，则，． 设， 则， 当时，有最大值，最大值为4， 此时，的最大值为4． 故答案为：4. 8．（微点5向量中的范围、最值问题【练】-高中同步微点进阶）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】通过已知条件先求出的值，再利用绝对值不等式来确定的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】由，，，得， 又，即,.即， 即 故答案为：. 9．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取，    因为与的夹角不超过， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是， 故选：A 10．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量加法的坐标运算及模的坐标表示列式，再利用换元，结合辅助角公式及正弦函数性质求出范围. 【详解】设，由，得， 由，得， 设， 因此 ， 所以的取值范围是. 创新提升 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算求出点的轨迹为圆，结合直线与圆有公共点的条件，利用圆心到直线的距离不大于半径求解的取值范围. 【详解】设点，由，，得，. 由，代入得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 直线整理为一般式， 因为直线上存在满足条件的点，故直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离. 由点到直线距离公式得，所以， 整理得，即，解得， 故的取值范围为. 2．（2026·河北保定·二模）已知向量满足，，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过已知条件得到的表达式，利用向量三角不等式确定的范围进行求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得， 又根据向量三角不等式， 代入，，解得， 所以 3．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 4．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 【答案】 【分析】确定点的位置，建立平面直角坐标系，根据正弦定理及投影的定义计算求解. 【详解】由正弦定理可得（为外接圆半径） 所以的外接圆半径， 所以点在为弦，圆周角为的两段圆弧上运动，如图所示， 以点为坐标原点，为轴，过点垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则外接圆的圆心在直线上，因为半径， 所以圆心坐标为， 根据对称性，只讨论圆心为这种情况即可， 由向量投影的定义可知 ，当点为直线与外接圆的交点时，投影取得最值， 即或， 结合图形可知，当时，在上的数量投影有最小值，最小值为， 当时，在上的数量投影有最大值，最大值为， 所以在上的数量投影的取值范围为. 5．（2025·北京海淀·一模）已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________． 【答案】 ； . 【分析】根据不等式，即可直接求得的最大值；设，将与的夹角余弦值用坐标表达，通过求其值域，即可求得夹角的范围. 【详解】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为； 不妨设，满足； 则，，， 设与的夹角为，则， 则， 令，故， 根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增， 又当时，，当或时，，故，又，故. 故答案为：；. 6．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 【答案】 【分析】先通过换元，再根据向量线性运算的几何意义及椭圆的定义及几何性质可得. 【详解】设，则，代入得， 根据向量的几何意义知，向量表示的点到表示的点和的距离和为常数8， 根据椭圆的定义知向量表示的点在以长轴为，焦距为的椭圆上， 所以，所以表示椭圆上的点到椭圆中心的距离， 由椭圆的几何性质可知，即，如图： 所以取值范围是. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 平面向量中三角不等式与投影向量问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 向量的三角不等式 2 题型2 求投影与投影向量 3 重难专题分层过关练 3 巩固过关 3 创新提升 4 解题方法及技巧提炼 向量的三角不等式 我们知道，首尾相连的向量的和满足三角形法则，如图，，记，，，在中，显然有，因此有． 当与同向时，，即；当与反向时，，即． 综上得，当且仅当与同向时，，当且仅当与反向时． 同理可得，，当且仅当与反向时，，当且仅当与同向时，．综合起来，我们还可以简单表示为，这就是首尾相连的向量的“和（差）不等式”，又称向量三角形不等式，是平面向量中的一种十分重要的不等关系，应用非常广泛． 求投影与投影向量 如图，设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，则叫作向量在向量上的投影向量． 设，，与方向相同的单位向量为，且与的夹角为，则在上的投影向量． 的几何意义 数量积等于的模与在上的投影向量的模长的乘积． 【注】在上的投影向量为；在上的投影向量为． 题型通法及变式提升 题型1 向量的三角不等式 【典例1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，则的取值范围是______． 向量三角不等式：∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣，要分清等号成立条件。∣a+b∣=∣a∣+∣b∣，两向量同向；∣a+b∣=∣∣a∣−∣b∣∣，两向量反向。∣a−b∣等号条件与之相反。该不等式多用于快速求模的最值与范围，天津高考小题常结合动点考查。做题不能直接照搬结论，务必判断等号能否取到。可结合向量加法、减法的几何意义画图理解，必要时用坐标法验算。注意向量三角不等式不等号方向，区分加减形式，做完回代检验，避免忽略共线条件直接写范围造成失分。 【典例1-2】（2026·天津和平·二模）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·天津红桥·一模）已知平面向量，，满足，则的取值范围是______． 题型2 求投影与投影向量 【典例2-1】（2025·吉林·三模）已知，则向量在向量方向上的投影的数量是（ ） A．-4    B．4    C．-2    D．2 分清数量投影和投影向量，二者极易混淆。a在b上的数量投影公式为a⋅b/∣b∣​，结果是实数，正负由夹角决定；投影向量是向量，等于数量投影乘以b方向上的单位向量。做题顺序不能颠倒，看清是谁在谁上面投影。已知坐标可直接代入公式计算；几何题型可画图直观判断投影正负。天津高考小题常设置概念陷阱，看清题干问的是数量还是向量。计算时不要遗漏除以∣b∣，区分投影长度与投影。做完回代检验，规避符号出错、混淆投影数量和投影向量导致的丢分。 【典例2-2】（2026·浙江·模拟预测）1．已知为单位向量，在方向上的投影的数量为，则与的数量积为（   ） A．8 B． C．4 D． 【变式2-1】（2026·全国·模拟预测）已知，，向量与向量的夹角为， （1）求在上的投影向量； （2）求在上的投影向量． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·四川巴中·模拟预测）已知向量满足，则的取值范围为____________． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则的取值范围是_________． 3．（2024·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是___________. 4．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知向量，向量满足，则的取值范围是__________. 5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知向量满足，则的取值范围是_______. 6．（2026年浙江省高考最后一卷数学（第一模拟））已知平面向量，满足，，则的取值范围是___________. 7．（2026届高三下学期临考冲刺原创卷（六）数学试题）已知，满足，，则的最大值为______． 8．（微点5向量中的范围、最值问题【练】-高中同步微点进阶）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是______. 9．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 创新提升 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）已知向量满足，，则的取值范围是________. 3．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 4．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 5．（2025·北京海淀·一模）已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________． 6．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $