平面向量与复数基础专项卷-2027届上海市高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量与复数基础，以题覆盖核心概念与性质，通过基础计算、性质应用及新定义问题构建知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|10题（填空8、解答2）|坐标运算、垂直/共线判定、模长/夹角计算、函数最值|概念→坐标表示→数量积性质→综合应用| |复数|6题（填空4、解答2）|虚部辨析、轨迹方程、旋转运算、新定义（伴随复数/投影系数）|代数形式→几何意义→运算拓展→新情境应用|

沪教版高三数学一轮专项·平面向量与复数基础专项卷 （专项训练卷） 满分：150分　　考试时间：120分钟　　 考生注意： 1. 本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟。 1. 作答必须写在答题纸上，试卷上作答一律不得分。 1. 答卷前，务必在答题纸上填写姓名、班级。 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 ，，若向量 与 垂直，且 ，则实数 ________。 2. 已知复数 ，则复数 的虚部为________。 3. 已知向量 ，，则 ________。 4. 若复数 满足 ，则复数 对应的点的轨迹围成图形的面积为________。 5. 在平面直角坐标系中，已知向量 ，，若向量 可表示为 ，则实数对 ________。 6. 已知向量 ，，若 ，则实数 ________。 7. 已知向量 ，，则向量 与 的夹角为________。 8. 已知平面向量 ， 满足 ，，，则 ________。 9. 定义：若复数 ，则其伴随复数为 。已知复数 ，则其伴随复数的模为________。 10. 已知 ，，若点 在直线 上，且 ，则 ________。 11. 已知向量 ，，若向量 满足 ，则 的取值范围为________。 12. 定义复数旋转运算：复数 绕原点逆时针旋转 后得到复数 。已知向量 对应复数 ，将 逆时针旋转 得到 ，则向量 对应的复数为________。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 下列关于复数的说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 复数 对应的点在第二象限 C. 复数 满足 ，则 的实部为 D. 14. 已知非零向量 ，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件　　　B. 必要不充分条件　　　C. 充要条件　　　D. 既不充分也不必要条件 15. 在 中，若 ，则 的形状为（　　） A. 锐角三角形　　　B. 直角三角形　　　C. 钝角三角形　　　D. 等腰三角形 16. 已知平面向量 满足 ，，，则下列说法错误的是（　　） A. B. 在 方向上的投影为 C. D. 若 ，则 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） 已知平面向量 ，。 （1）求向量 的坐标与模长； （2）若向量 与 共线，求实数 的值。 18.（14分） 已知复数 （）。 （1）若 为实数，求 的值； （2）若 为纯虚数，求 的值； （3）若复数 对应的点在第四象限，求实数 的取值范围。 19.（14分） 已知向量 满足 ，，且 与 的夹角为 。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求向量 与 的夹角余弦值。 20.（18分） 已知平面向量 ，，。 （1）求 以及 的表达式； （2）若 ，求 的值； （3）求函数 的最大值与最小值。 21.（18分） 定义：对于复数 ，称 （）为复数 的投影系数。已知向量 ，其对应复数为 ， 且 。 （1）求 时，复数 的投影系数 ； （2）若 ，求 的值； （3）求投影系数 的取值范围。 参考答案与解析 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 【答案】 【解析】 ，且 ， 满足条件。…………（4分） 2. 【答案】 【解析】 ，虚部为 。…………（4分） 3. 【答案】 【解析】 。…………（4分） 4. 【答案】 【解析】 复数 对应的点的轨迹为以 为圆心、 为半径的圆，面积 。…………（4分） 5. 【答案】 【解析】 ，解得 ，。…………（4分） 6. 【答案】 【解析】 。…………（4分） 7. 【答案】 【解析】 ，，。…………（5分） 8. 【答案】 【解析】 ，故 。…………（5分） 9. 【答案】 【解析】 复数 的伴随复数为 ，模为 。…………（5分） 10. 【答案】 【解析】 点 在直线 上，由共线向量基本定理，存在实数 使得 ，故 。…………（5分） 11. 【答案】 【解析】 设 ，则 。令 ，，则 。…………（5分） 12. 【答案】 【解析】 ，逆时针旋转 得 。 对应的复数为 。…………（5分） 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 【答案】 C 【解析】 A错误： 表示单位圆上的所有复数；B错误： 在第四象限；C正确：；D错误：。故选C。…………（4分） 14. 【答案】 B 【解析】 若 ，则 ，当 时取等号，当 时不取等号，故充分性不成立；若 ，则 ，夹角为 ，必有 。故选B。…………（4分） 15. 【答案】 C 【解析】 ，故 为钝角，三角形为钝角三角形。…………（5分） 16. 【答案】 D 【解析】 A：，正确；B：投影为 ，正确；C：，正确；D：，错误。故选D。…………（5分） 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（本题满分14分） （1）解： 。…………（3分） 。…………（3分） （2）解： 。…………（2分） 与 共线，则 。…………（6分） 18.（本题满分14分） （1）解： 为实数，则虚部为 ：。…………（4分） （2）解： 为纯虚数，则实部为 且虚部不为 ： 时虚部为 ，舍去； 时虚部为 。…………（6分） 故 。 （3）解： 复数 对应的点在第四象限，则实部 ，虚部 ： 取交集得 。…………（4分） 19.（本题满分14分） （1）解： 。…………（4分） （2）解： 。…………（4分） 。…………（2分） （3）解： …………（4分） 20.（本题满分18分） （1）解： 。…………（2分） 。 ，。…………（2分） （2）解： 。…………（4分） ，。…………（2分） （3）解： 。…………（4分） ，，。…………（4分） 21.（本题满分18分） （1）解： 当 时，，故 …………（4分） （2）解： 。 ， 或 。…………（6分） （3）解： 令 ，，则 ，。 其中 ，故 ，即 （全体实数）。 故 的取值范围为。…………（8分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $