河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假新高三数学专题训练（4)--计数原理排列组合

**基本信息** 聚焦计数原理排列组合，通过单选题（正因数个数）、多选题（志愿者工作分配）、解答题（医护人员选派）等题型，覆盖基础到综合应用，结合四棱锥涂色、赵爽弦图等情境与文化素材，培养数学思维与应用意识，适配暑假新高三专题巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列数、正因数个数、项数|基础概念辨析，如第2题质因数分解应用| |多选题|3/18|人员分配、组合数性质|情境化问题，如第9题志愿者工作安排| |填空题|3/15|教师分配、传统图形涂色|文化融合，如第14题赵爽弦图计数| |解答题|5/77|数字组成、小球放盒、医护选派|综合应用，如第17题分类讨论医护选法|

河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假新高三数学专题训练（4） 范围：（选择性必修第三册）计数原理排列组合 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．（     ） A．17 B．22 C．27 D．34 2．的不同正因数的个数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．乘积展开后的项数为（    ）． A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则不同的站法有（   ） A．2 B．4 C．12 D．24 5．用数字组成没有重复数字的四位数的个数为（     ） A．96 B．72 C．120 D．24 6．若（且），则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 8．现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．（多选题）某校要举办一次中外学生交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法中正确的是（    ）. A．若这五人每人任选一项工作，则不同的选法有种 B．若每人安排其中一项工作，每项工作至少一人，则有240种不同的方案 C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案 D．若安排A和B从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案 10．已知且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知n是正整数，且，则______. 13．某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有_____种． 14．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．现有红、黄、蓝三种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，则不同的涂法有______种． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题分从这个数中选择若干个不重复的数字． (1)能组成多少个无重复数字且不含的四位数？ (2)能组成多少个无重复数字且被整除的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且小于的数？ 16．本小题分现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子. (1)当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (3)当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） 17．本小题分某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中： (1)某内科医生甲与外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲和乙两人都不参加，有多少种不同的选法？ (3)队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 18．本小题分某医院某科室现有3名医生和4名护士.（结果用数字作答） (1)①若4名护士排成一行，则有多少种不同的排法？ ②若7人排成一行，甲、乙两人必须排在两端，则有多少种不同的排法？ (2)该科室开展义诊活动，需要临时从中抽调3名医护人员，为了保障该科室工作正常运作，该科室内至少需要留有1名医生和2名护士，则不同的抽调方案共有多少种？ 19．本小题分（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D A A D D BCD AD 题号 11 答案 AD 1．B 【详解】易知，；所以可得. 2．B 【详解】先对做质因数分解： ，所以任意一个的正因数都可以写成的形式，其中指数的取值范围是：可取，共种选择；可取，共种选择； 可取，共种选择.根据分步乘法计数原理，不同正因数的总个数为 个. 3．D 【详解】由分步乘法计数原理可得：第一步从任选个数共种选法，第二步从任选个数共种选法，第三步从任选个数共种选法，故展开后的项数为：. 4．D 【详解】甲、乙、丙、丁四人站成一排，则不同的站法有种． 5．A 【详解】首先考虑四位数的最高位不是0，故最高位有4种选法（从1到4四个数字中任选一个数字），百位有4种选法，十位有3种选法，个位有2种选法. 由乘法原理，用数字组成没有重复数字的四位数的个数为个. 6．A 【详解】由，得，因为且，所以，解得.当时，，故. 7．D 【详解】根据组合数性质：若，则要么，要么，且组合数上标需满足、，本题中，分情况讨论： 若，解得，此时，，符合组合数定义； 若，化简得，解得，此时，，符合组合数定义， 综上的取值为2或4. 8．D 【详解】先涂底面，有种涂法，再涂4个侧面，如果4个侧面用2种颜色，则不同的涂法有种；如果4个侧面用种颜色，则不同的涂法有；故相邻（有一条公共边）的两面不同色，共有种不同的涂法.若相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色，则这两个面只能是平面、平面或平面、平面. 则此时不同的涂法有种，设为随机事件“恰有两个面涂了红色”， 则. 9．BCD 【详解】若五人每人任选一项工作，则每人均有4种不同的选法，不同的选法有种，故A不正确.若每项工作至少安排一人，则先将五人分成四组，再分配到四个岗位，故不同的方案有种.B正确.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人：则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位，其余三人安排在剩余三个岗位上全排列即可，因此不同的方案有种，C正确.若安排A和B从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则不同的方案有种，D正确.故选：BCD. 10．AD 【详解】选项：左边， 右边，左边右边，故错误. 选项：，故正确. 选项：左边， 右边，左边右边，故正确. 选项：若,则或，解得或，故错误. 11．AD 【详解】若每人都安排一项工作，即每人均有四项工作可以安排，故不同的方法数为，A正确； 若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余工作各1人，先将这5人分成4组，有种方法，再将这4组分配到4项工作，有种方法，故共240种方法，B错误； 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则人数分配可能为或， 先分组，共种方法，再分配，共种方法，故共150种方法，C错误； 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，若司机工作安排1人，有种，剩余4人分配到剩余3项工作，人数分配为，有种，故安排方案的种数共有种；若司机工作安排2人，有种，剩余3人分配到剩余3项工作，有种，故安排方案的种数共有种； 综上，不同安排方案的种数共有种，D正确. 12．15 【详解】由已知等式，拆分分式可得，即， 根据排列数定义（，）， 可得， 化简得， 展开整理得一元二次方程，解得或， 由于n是正整数，且有意义需满足，故舍去，最终得. 13．540 【详解】把6名教师分成3组，每组至少1人，对应三项不同工作，分组为： 人数为 ，人数为 ，人数为 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种，当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种，则共有种，当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种，则共有种， 综上可得，不同的分配方法共有. 14． 【详解】显然①和③颜色需相同，②和④颜色需相同，①和③的颜色与②和④颜色不同， ⑤需单独一种颜色，3种不同的颜色进行全排列，共有种涂法. 15．【详解】（1）依题意，只需从这个数字中选取4个进行全排， 则可组成无重复数字且不含的四位数有个； （2）因为被整除的数特征为末位只能是或，则可分成两类情况： 末位为：剩余三位从剩下个数字中选个排列，则有种排法； 末位为：首位不能为，因此首位有种排法，剩余两位从剩下个数字选个排列， 则有种排法， 由分类加法计数原理，可组成无重复数字且被整除的四位数有个； （3）小于的数包含一位数、两位数、三位数，可分成三类情况： 一位数：共个，则有种； 两位数：十位不能为，十位种选择，个位从剩余个数字选个，则有种； 三位数：百位不能为，百位种选择，剩余两位从剩余个数字选个排列，则有种， 由分类加法计数原理，可组成无重复数字且小于的数有个. 16．【详解】（1）当每个盒子的球数大于等于0时，根据分步乘法计数原理共有种不同放法； （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法； （3）当每个盒子的球数不小于1时，共有三类： 第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有种； 第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有种； 第三类，每盒2个球，有种，所以共有540种不同放法. 17．【详解】（1）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，只需在剩下的7人中再选3人即可，有种选法 . （2）甲、乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有 有种选法. （3）分3种情况讨论: ①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法;    ②队中有3 名内科医生和2名外科医生，有种选法;     ③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，    由分类加法计数原理，可得有40+60+20=120种不同的选法. 18．【详解】（1）①4名护士排成一行有种排法； ②先排甲、乙，再排其余5人，根据分步乘法计数原理，共有种排法； （2）要使科室内至少留有1名医生和2名护士，则有以下两类情况： ①抽调的3名医护人员由2名医生1名护士组成，则有种； ②抽调的3名医护人员由1名医生2名护士组成，则有种. 所以不同的抽调方案共有种. 19．【详解】（1）原式 （2） 由题可知且 ，则， 整理得，解得或（舍去），故. （3）由题可知且，则， 整理得，解得，又因为且， 故，即不等式的解集为. 答案第2页（共5页） 答案第3页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $