河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（4）---一次函数与二次函数

**基本信息** 聚焦一次函数与二次函数，通过基础辨析、图像分析及企业利润、喷水池设计等真实情境问题，分层考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力，适配新高三暑假复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|单调性、值域、参数范围|基础概念辨析，突出数学抽象| |多选题|3/18|图像分析、奇偶性|选项分层，考查逻辑推理| |填空题|3/15|一次函数解析式、抛物线应用|实际情境建模，体现数学眼光| |解答题|5/77|函数值域、不等式、利润最值、奇函数性质|综合应用，强调数学思维与问题解决|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（4） 范围：一次函数与二次函数 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的值域为，且不等式的解集为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点在函数的图象上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知二次函数（、、为常数，且）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（   ）    A． B． C．关于的二次函数有个零点 D．关于的一元二次不等式的解集为 10．设函数是定义在区间上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是定义域内的减函数 D．的值域为 11．某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知函数是一次函数，若，则______． 13．某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）．      过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离______m． 14．定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数． (1)当时，求出函数在上的值域； (2)求关于的不等式的解集． 16．(本小题15分）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．(本小题15分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 18．(本小题17分）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 19．(本小题17分）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； (3)若在上有最小值，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C B D D B ABD AB 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 2．C 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减，又，所以. 3．C 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增，所以，， 当，，故原函数的值域为. 4．C 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 5．B 【详解】由二次函数的值域为，开口向上， 可知其图像与轴仅有一个公共点，因此判别式. 不等式等价于，其解集为， 所以一元二次方程的两个实根为，. 根据韦达定理：，可得；，可得. 将，代入判别式，得，化简为， 即，解得或，因为，因此. 6．D 【详解】点在函数的图象上，，得. .，当时，取得最大值. 7．D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减，函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得，的取值范围是． 8．B 【详解】因为为奇函数，所以①； 又为偶函数，所以②； 令，由②得：，又， 所以，得， 令，由①得：；令，由②得：， 所以.得时，， 结合①②得，， 所以函数的周期为，所以. 故选：B 9．ABD 【详解】对于AB选项，二次函数的图象交轴于点、， 所以方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，，故，， 又因为该二次函数的图象开口向上，故，所以，A对，B对； 对于C选项，由图象可知，关于的二次函数有且只有个零点，C错； 对于D选项，由图可知，关于的一元二次不等式的解集为，D对. 故选：ABD. 10．AB 【详解】函数是定义在区间上的偶函数， 所以且解得，A、B选项正确， 所以，函数在定义域内先减后增，C选项错误，定义域是， 值域是，D选项错误． 故选：AB． 11．BC 【详解】对A，当时，；当时，；故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值；当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 12．或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或.所以或 ． 13． 【详解】由题意得轴右侧图象为二次函数的一部分，顶点为， 可设二次函数顶点式， 且，解得，则，则. 14．/ 【详解】当时，， 此时二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 当时，，则， 又，所以， 即时，， 该二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 当时，，则， 又，所以， 即时，， 该二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 综上所述，时，的最小值为. 15．【详解】（1）当时，，其对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增，因为，，， 所以在区间上的值域为. （2），由， 即，当时，得， 当时，得，不等式无解，当时，得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. 16．【详解】（1）设， 由，得， 即，所以，解得， 所以，当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得.所以. （2）由（1）知，所以不等式， 即. 当时，二次函数开口向下， 不等式不可能对恒成立； 当时，不等式，即，其对恒成立； 当时，不等式，即， 因为对，不等式恒成立， 所以，即， 化简可得，所以且，解得或， 又，所以或. 综上所述，或，即实数的取值范围是. 17．【详解】（1）因为月产量为台，则总成本为， 所以当时，， 当时，， 综上，. （2）当时，. 所以当时，取得最大值，最大值为30000； 当时，是减函数，所以. 综上，当时，的最大值为30000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30000元． 18．【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即.令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以.即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在.综上：. 19．【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又为奇函数，则， 综合可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 函数的最小值． （3）由（1）的结论，，作图如下： 若在上有最小值，即函数图象在区间上有最低点， 必有或， 的取值范围为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $