河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主学习质量检测卷（2）

**基本信息** 2026年暑假新高三数学自主学习质量检测卷，聚焦函数、概率统计、导数等核心知识，通过军事演习概率、身高关联性研究等情境，考查数学思维与应用能力，适配高三暑期自主复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数最值、二项式系数|基础概念辨析，如函数奇偶性与导数综合| |多选题|3/18|二项式定理、统计案例|多选项设计，考查知识系统性，如残差分析与正态分布| |填空题|3/15|奇函数、复数模、导数应用|小切口深挖掘，如抽象函数单调性判断| |解答题|5/77|导数单调性、独立性检验、二项式系数、概率分布列|情境化综合应用，如军事演习概率模型构建、身高关联性研究，体现数学思维与现实问题解决|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主学习质量检测卷（2） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知，，则（    ） A． B． C．2 D．8 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 4．的个位数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．下列说法中正确的有（     ）个 ①在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好； ②在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好； ③以模型去拟合一组数据时，设，求得经验回归方程为，则，； ④经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点． A． B． C． D． 6．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是偶函数 D． 7．已知随机变量，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．箱中有2道代数题和2道几何题，箱中有3道代数题和1道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中抽取2道题作答．若甲同学选择箱，答题结束后工作人员失误将甲抽取的2道题目放回了箱，接着乙同学选择从箱抽取题目，则乙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（    ） A． B． C． D． 10．下列等式中，，，，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的有（     ） A．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量的分布列为，则 D．若随机变量，满足，且，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知是奇函数，则实数的值为______． 13．已知复数，为虚数单位，若的模为，正实数的值为__________． 14．已知是定义在上的可导函数．若函数满足对恒成立，给出下面四个结论： ①；②对成立； ③可能是奇函数；④一定没有极值点． 其中，所有正确结论的序号是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 16．(本小题15分）为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表： 性别 身高  低于 不低于 合计 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 (1)从列联表中随机抽取一人，分别用，表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算，，并判断该校高二年级学生的性别和身高的关联性； (2)从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否不低于进行统计，其中女生占，身高低于的学生占，请完成如下列联表： 性别 身高  低于 不低于 合计 女 25 男 合计 100 并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？ (3)在（2）的样本中，根据性别通过分层抽样随机抽取10名学生参加文艺展演，则在这10名学生中，再抽取3名学生做主演，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．(本小题15分）已知 (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，求的值； (3)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 18．(本小题17分）已知函数 ，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性； (3)若在定义域上单调递增，求的取值范围. 19．(本小题17分）某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练．经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，演习训练结束．假定各轮结果相互独立．记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为事件A，乙队击中甲队目标为事件B． (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B C B B B ACD BCD 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】因为，，所以， 所以. 2．B 【详解】由可得，则， 由函数有意义，可得，解得，即，故. 3．A 【详解】， 当时，，即时， ，则单调递增， ，即时，，则单调递减， 则在处取得最大值，且， 因为最大值为，所以解得. 当时，，即时，，单调递增， ，即时，，则单调递减， 则在处取得最小值，无最大值，故舍去. 当时，，不满足条件，故舍去.综上可知，，故选项A正确. 4．B 【详解】 ， 展开式中除了最后一项，其余均为10的倍数，故的个位数为4. 5．C 【详解】在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好，①正确； 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧， 且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高， 表示回归效果越好，②正确； ，左右两边取对数得， 设，求得线性回归方程为， 则，，③错误； 经验回归直线可以不经过其样本数据点中所有点，但是会过，④错误， 说法中正确的有个. 6．B 【详解】因为为偶函数，所以. 令，则，所以，即. 两边关于求导，得. 又，所以，即， 因此的图象关于点对称，B正确. 为排除A、C、D，取，则为偶函数， 且为奇函数，满足题设条件. 此时，，所以的图象不关于直线对称，A不正确. 又，所以不为偶函数，C不正确. 当时，依次为，并以为周期. 因为，所以，D不正确. 7．B 【分析】由正态分布的性质及期望、二项分布的方差及性质列方程求参数即可. 【详解】正态分布的密度曲线关于对称，因此， 由，可得，因此， 已知，二项分布的方差为， 根据方差的性质，得， 由，有，整理为，解得或， 又，所以. 8．B 【详解】设事件为“乙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“甲从箱中取出2道代数题”， 事件为“甲从箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“甲从箱中取出2道几何题”， 则，，. 当发生时，箱中有5道代数题和1道几何题，； 当发生时，箱中有4道代数题和2道几何题，； 当发生时，箱中有3道代数题和3道几何题，. 由全概率公式可得 . 9．ACD 【详解】因为展开式中所有的二项式系数和为，故即， 故A正确； 由可得， 令，则， 两边求导后得， 令，则，故B错误；令，则，再令，则， 故，故C正确； 令，则，故，故D正确. 10．BCD 【详解】对于A选项，由组合数的性质可得，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确. 11．AD 【详解】A选项，残差图中残差点所在水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，表述正确； B选项中，，由正态分布对称性得，B选项错误；由分布列概率和为1可得，解得，C选项错误； D选项中，则， 由得，则，D选项正确. 12．/0.5 【详解】由题意得，又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性， 则，解得，则， 此时，解得，定义域关于原点对称， 且，则为奇函数，满足题意. 故答案为：. 13． 【详解】已知复数， 由于，根据共轭复数的性质可知， 所以，化简得，解得，因为为正实数，故. 14．①② 【详解】对于①，因为对恒成立，所以函数为递增函数， 可得，即，所以，因此①正确； 对于②，当时，，即，因此； 当时，，即，因此； 当时，易知，又因为，所以，即； 综上可知对成立，即②正确；对于③，若是奇函数，则为偶函数，又因为偶函数不可能始终为递增函数，因此③错误； 对于④，不妨取，此时满足题意， 但函数有一个极小值点，即④错误. 15．【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以，则，所以的取值范围为． （2）由有解，可得有解．令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 16．【详解】（1）由表格中的数据可得，， 所以该中学高二年级学生的性别和身高有关联. （2）由题意，女生人数为，身高低于170cm的学生人数为， 则列联表如下： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 15 40 男 25 35 60 合计 50 50 100 零假设该中学高二年级学生的身高与性别无关， ， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立，不能认为该校高二年级学生性别与身高有关联； （3）结合（2）可知抽取的10人中，男生有6人，女生有4人， 所以随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 故的分布列如下表所示： 0 1 2 3 因此. 17．【详解】（1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项，故. （2）当时，二项式为， 展开式的通项为， 令，则，所以，令，则，所以， 又，所以，整理得， 解得（舍去）或或.所以或. （3）当，时，二项式为. 展开式的通项为， 设第项系数最大，则，即， 整理得，解得，又，所以. 所以二项式的展开式中系数最大的项为. 18．【详解】（1）当时，，则，所以，， 此时函数在处的切线方程，即. （2）因为，， 当时，对任意的恒成立，则在上递增； 当时，， ，， 此时，在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上递增； 当时，在上递减，上递增. （3）由题可得对一切恒成立. 当时，，此时可取任意实数； 当时，由题可得恒成立，则. 令，， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 故此时；当时，由题可得恒成立， 对任意的，，则函数在上单调递增， 且当时，，且，故，综上可得. 19．【详解】（1）记无障碍时甲队、乙队发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，，甲队、乙队空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，． ， ． （2）经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差的可能取值为，，． ， ． ， 的概率分布为： 所以的数学期望． （3）记3轮对抗后训练结束为事件，记甲队比乙队多击中对方目标两次为事件． 记3轮对抗训练结束后甲队与乙队击中对方目标次数之差为， ， ， 所以， ，所以． 在3轮对抗后训练结束的条件下，甲队比乙队多击中对方目标两次的概率为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $