河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假新高三数学专题训练（3）--概率

**基本信息** 聚焦概率专题，通过研学盲盒、猜灯谜、大运会等真实情境，考查互斥对立事件、古典概型、频率分布直方图等核心知识，培养抽象能力、数据意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|互斥对立事件（题1）、随机事件类型（题3-4）、古典概型（题5、7）|结合口袋取球、生肖等生活实例，强化概念辨析| |多选题|3/15|游戏公平性（题9）、频率与概率（题10）、事件关系（题11）|通过信封游戏、产品次品率等情境，考查逻辑推理| |填空题|3/15|独立事件概率（题13）、至少有一个发生概率（题14）|以猜灯谜为背景，体现文化传承与应用意识| |解答题|5/77|样本空间（题15）、频率分布直方图（题18-19）|结合哈尔滨马拉松、大运会等热点，综合考查数据处理与模型构建能力|

河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假新高三数学专题训练（3） 范围：（必修第二册）概率 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（   ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球 C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是红球 2．已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 3．下列事件是不可能事件的是（    ） A．2026年世界杯足球赛期间不下雨 B．没有水，种子发芽 C．任取一个实数，有 D．抛掷一枚硬币，正面朝上 4．下列事件中，是必然事件的是 （    ） A．13个人中至少有两个人生肖相同 B．长度为4，5，6的三条线段可以构成一个直角三角形 C．方程有两个不相等的实根 D．函数(且）在定义域上为增函数 5．从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 6．某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 125  432  354  534  443  512  541  334  151  314 525  332  152  344  114  453  345  423  123  423 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为（   ） A．0.144 B．0.432 C．0.6 D．0.648 7．现有7个红色研学纪念勋章盲盒，其中3个放有“彭湃故居”纪念勋章．甲、乙两名学生先后从中各任取一个盲盒，则乙领到“彭湃故居”纪念勋章的概率为（   ） A． B． C． D． 8．盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的2个球同色”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是（    ） A．与对立 B． C．与相互独立 D． 二、多选题（本大题共3小题，共15分。在每小题有多项符合题目要求） 9．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数，为了使游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数之差的绝对值大于4时甲获胜，否则乙获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数时甲获胜，否则乙获胜 10．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确 11．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则事件与相互独立 C．若发生时一定发生，则 D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 13．甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为，乙攻克该题的概率为，则该题至少被一人攻克的概率为_____． 14．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，甲，乙两位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，任选一道灯谜，甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题分在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 16．本小题分甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每次射击中靶与否相互独立，设甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，其中．已知甲乙两人都中靶的概率为，甲乙两人恰好有一人中靶的概率为． (1)求甲乙两人至少有一人中靶的概率； (2)求的值． 17．本小题分抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间和随机事件再求） (1)记事件为“”，求事件的概率； (2)记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率． 18．本小题分2025年8月31日，哈尔滨马拉松赛事成功举行，志愿者服务是赛事有序开展的重要保障，共青团哈尔滨市委员会统筹了志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了名候选志愿者的面试成绩，已知名候选志愿者的分数全部介于分到分之间（满分分），工作人员将所有测试分数分成组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)由频率分布直方图估计这名候选志愿者面试分数的平均数以及第百分位数； (3)此前工作人员已按照分层抽样的方法，从分数在内的候选志愿者中抽取出甲、乙、丙、丁、戊人，查阅他们的答题记录．求从甲、乙、丙、丁、戊人中选出人进行复核面试时，所选出的人中恰有人分数在内的概率． 19．本小题分第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至1月25日在中国长春-吉林举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．   (1)试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于60分的人数； (2)试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； (3)若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人中至少有1人的成绩在的概率． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A D C D C BD ABCD 题号 11 答案 BD 1．C 【详解】A选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生， 如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故错误； B选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生， 如：一个红球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故错误； C选项：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生， 但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球， ∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确； D选项：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生， ∴这两个事件是对立事件，故错误. 2．A 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 3．B 【详解】对于A，世界杯足球赛期间下雨与否是未知，故A是随机事件； 对于B，没有水，种子一定不发芽，故B是不可能事件； 对于C，当时，，当时，，当时，，故C是随机事件； 对于D，抛掷一枚硬币，可能正面朝上或者反面朝上，故D是随机事件. 4．A 【详解】对于A，因为一共只有12个生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故A为必然事件；对于B，不满足勾股定理，所以B为不可能事件； 对于C，因为方程的判别式，所以方程无实数根，故C为不可能事件；对于D，当时，函数在定义域上是增函数，当时，函数在定义域上是减函数，故D为随机事件. 5．D 【详解】从，，，，这五个数中任取两个数， 有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、6和8、6和9、7和8、7和9、8和9共10种取法，取出的两个数互质的可能有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、7和8、7和9、8和9共8种，故这两个数互质的概率为. 6．C 【详解】由题意，表示甲获胜的数有125，432，512，334，151，314，332，152，114，423，123，423共12组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为． 7．D 【详解】情况1：甲先抽到了“彭湃故居”纪念勋章（概率为 ），此时剩下6个盲盒， 其中2个是“彭湃故居”纪念勋章，则乙抽到的概率为 ；情况2：甲没抽到“彭湃故居”纪念勋章（概率为 ），此时剩下6个盲盒，其中3个是“彭湃故居”纪念勋章，则乙抽到的概率为 ；所以（乙抽到）.故选：D 8．C 【详解】对于A项， 事件是“两球同色”，事件是“两球不同色”，所有取球结果只有这两种，二者不可能同时发生且必有一个发生，因此与是对立事件，故A正确； 对于B项， 从中不放回地依次取出2个球，一共20种，事件表示“第一次取出黑球，第二次取出白球”一共6种，计算概率： ，故B正确； 对于C项，事件“第二次取出的是白球”一共8种，则 ，事件“取出的2个球不同色”一共12种，则； 表示“第二次取出白球，两球不同色”，即“第一次黑、第二次白”，一共6种； 计算得，因此与不相互独立，故C错误；对于D项，由概率加法公式： ，故D正确； 9．BD 【详解】画树状图如下：    由树状图知，共有16种等可能的结果， 对于A，所确定的点在直线上的有，共4个样本点， 所确定的点在直线上的点有，共3个样本点， 因此两种情况下的样本点个数不一样，概率不一样，A错误； 对于B，两个数乘积大于15的有，共8个样本点， 则两个数乘积不大于15的也有8个样本点，因此两种情况下的样本点个数一样，概率一样，B正确；对于C，取出的两个数之差的绝对值大于4的有，共6个样本点，取出的两个数之差的绝对值不大于4的有10个样本点， 因此两种情况下的样本点个数不一样，概率不一样，C错误； 对于D，取出的两个数相加和为奇数的有，共8个样本点，则取出的两个数相加和为偶数的有8种，因此两种情况下的样本点个数一样，概率一样，D正确. 10．ABCD 【详解】A：次品率描述出现次品的概率，即可能情况不是必然发生，错误； B，C：概率是多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，错误；D：10000次的界定没有科学依据，“一定很准确”的表达错误，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D错误.故选：ABCD 11．BD 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若发生时一定发生，则，则，故C不对； 对于D，，因为， ，所以，故D正确. 12．/ 【详解】已知随机事件满足，则,；方法1：由并事件的等价性，直接得;方法2：对任意随机事件，有， 代入、、，得. 13．或 【详解】记“甲攻克该题”为事件，“乙攻克该题”为事件，由题意知与相互独立，，，“该题至少被一人攻克”的对立事件为“甲、乙两人都未攻克该题”，即事件，又、为独立事件，与也相互独立，可得，，则， 故该题至少被一人攻克的概率为． 14． 【详解】设甲、乙同学猜对一道题分别为事件，则, 则任选一道灯谜，甲，乙均猜对为事件,依题意，, 则甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为. 15．【详解】(1) （2）样本空间中共有10个基本事件，事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，故，共1个基本事件，因此； （3）设事件为“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共6个基本事件， 样本空间中共有10个基本事件，所以. 16．【详解】（1）记甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，则, 根据题意可知：，由甲乙两人至少有一人中靶的概率为： ； （2）由题意可知：，， 代入可得：，故为方程的两个根，解得：． 17．【详解】（1）由题意可知，所有样本点可表示为，其中，都是，，，中的数，则样本空间且，事件：“”，则对立事件：“”， 对立事件，符合条件的基本事件数， 所以，因此． （2）由（1）可知，样本空间且，事件表示“能被整除或”， 则事件包含样本点为：，，，，，，，，，，，，符合条件的基本事件数，所以. 18．【详解】（1）由题可得组距为10，所以，解得. （2）由小问（1）可得，计算各组的中点及频率， 的中点为55，频率为，的中点为65，频率为， 的中点为75，频率为，的中点为85，频率为， 的中点为95，频率为， 则平均数， 累计频率为，累计频率为， 则第30百分位数位于内，设为x，则，解得. （3）的人数为人，的人数为人， 人数比为，所以中抽取4人设为甲、乙、丙、丁， 中抽取1人设为戊，从这5人中抽取2人有，，，，，，，，，，一共10种选法， 恰有1人在内有，，，一共4种选法，则概率为. 19．【详解】（1）由频率分布直方图可知，成绩低于60分的区间为和， 对应的频率分别为0.002×10=0.02，0.016×10=0.16， 所以低于60分的总频率为0.02+0.16=0.18，人数为200×0.18=36人. （2）由频率分布直方图可知,低于80分的频率为， 低于90分的频率为0.70+0.02×10=0.90， 所以第85百分位数位于内，设为，则，解得， 所以估计这200名学生成绩的第85百分位数为. （3）由频率分布直方图可知,，，这三个区间对应的频率分别为0.30，0.20，0.10，它们的比值为3：2：1，若采取分层抽样抽取6人，则这三个区间所占人数分别为3人，2人，1人，现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，“至少有1人的成绩在”的对立事件是“2人的成绩都不在”，所求的概率为. 答案第2页（共6页） 答案第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $