河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（15）-成对数据的统计分析

**基本信息** 聚焦“成对数据的统计分析”，通过脑机接口、AI图像识别、新能源汽车定价等真实情境，考查相关系数、回归方程、独立性检验等核心知识，体现用数学眼光观察现实世界、用数学语言表达实际问题的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|相关系数、回归方程、独立性检验|基础概念辨析，如等高堆积条形图判断分类变量关联| |多选题|3/18|回归方程性质、卡方检验|结合短视频点赞、AI算法对比，考查数据分析能力| |填空题|3/15|残差计算、相关性判断|以商品销量、世界杯关注为情境，强化数据应用| |解答题|5/77|非线性回归、残差分析、概率综合|脑机接口收益预测、新能源汽车销量回归等综合题，体现数学思维解决实际问题|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（15） 范围：成对数据的统计分析 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在统计中，研究两个分类变量之间的关联性时常用的图是（   ） A．散点图 B．残差图 C．频率分布直方图 D．等高堆积条形图 2．样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下是四组数据的相关系数值，则线性相关最强的一组是（   ） A． B． C． D． 3．已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 4．已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 5．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，已知，依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量X与Y不独立 B．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C．变量X与Y独立 D．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 6．已知变量，线性相关，其一组样本数据（），满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为1.9，则数据点关于修正后回归直线的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 30岁及以下 30岁以上 男 150 60 女 200 90 7．现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果： 记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（   ） 附：，． A． B． C． D． 8．用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（    ） A．12 B． C． D．7 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．为了研究某短视频平台视频投放数量（单位：条）与用户总点赞数（单位：万次）之间的关系，运营部收集了12个月的数据，计算得出线性回归方程为．已知月平均投放数量，月平均点赞数，则（   ） A．线性回归方程过点 B． C．与呈正相关 D．当投放数量为30条时，当月点赞数一定为170万次 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 10．随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用.某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法.为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 附：统计量临界值表，其中，. 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值扩大2倍 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 年份代码x 1 2 3 4 5 y/千亿元 2.4 m 3.3 3.8 4.5 z/千亿元 3.2 3.6 4.3 4.8 11．近年来中国机器人市场规模与自动驾驶市场规模均呈现快速增长趋势，根据某机构的统计数据，中国2021-2025年（年份代码依次为1~5）的机器人市场规模y与自动驾驶市场规模z的数据如下： 由上表数据求得y关于x的经验回归方程为，z关于x的经验回归方程为，若，则（    ） A．y与z正相关 B． C． D．从2028年起y与z的预测值之和首次超过12 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．对具有线性相关关系的变量，，根据测得的一组数据，，，，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当时，的估计值为___________． 13．某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为， 时间 1 2 3 4 5 销量万只 5 4.5 4 3.5 2.5 给出下列说法： ①由题中数据可知，变量与负相关 ②当时，残差为 ③可以预测当时销量约为万只 ④经验回归方程中 其中正确的是__________（填序号）. 性别 世界杯 合计 关注 不关注 女生 男生 合计 14．2026年美加墨世界杯正在举行，某班级对“学生性别和关注世界杯”是否有关做了一次调查，将所得数据整理如下： 根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯有关”，则被调查的女生中关注世界杯的最少为________人. （附参考数据： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 参考公式：，） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换．未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，． 7.32 2.2 80.26 4.70 13.24 2.82 (1)根据模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过9亿元，研发人员增量至少为多少人？（精确到1） (2)现从全国同类企业中随机调研12家，已知每家企业能达到（1）中收益增量水平的概率为0.7，且各企业是否达标相互独立．记这12家企业中达到该收益增量水平的企业数为．求的数学期望，并求使得概率取得最大值的正整数． 附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其经验回归直线的斜率及截距的最小二乘估计分别为，． 16．(本小题15分）为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． (1)根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 17．(本小题15分）体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校200名学生，得到的统计数据如下表所示： 喜欢室外运动项目 喜欢室内运动项目 合计 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 (1)试根据的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室外运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差； (3)小明每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为.已知小明第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率. 附：，. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．(本小题17分）某网红奶茶店统计了2025年10月9日至13日这5天到店消费的人数（单位：人）与时间第天的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 50 65 80 95 100 (1)由表中给出的数据判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计10月14日到该奶茶店消费的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）． (2)运用分层抽样的方法从第1天（50人）和第5天（100人）到该奶茶店消费的人中按比例随机抽取6人，再从这6人中任取2人赠送礼品，求这2人恰好来自不同天的概率． (3)该奶茶店推出两种会员优惠方案：方案一，单次消费每满50元减5元；方案二，单次消费满200元可抽奖两次，每次中奖概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，未中奖不打折。某顾客计划消费200元，请从实际付款金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 附：相关系数，，． 19．(本小题17分）新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如下表： 销售单价（万元/辆） 14 16 18 20 22 日均销量（辆） 110 95 80 65 55 (1)根据上表数据，求日均销量关于销售单价的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量； (2)计算表中5个样本点对应的残差（，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果. 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A C A A B ABC BC 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】在统计中，研究两个分类变量之间的关联性时常用的图是等高堆积条形图， 散点图是研究两个变量之间相关关系时用，残差是研究拟合效果时用到的，频率分布直方图是研究频率分布时用到的，故选：D 2．A 【详解】因为相关系数的绝对值越大，其线性相关关系越强， 故线性相关最强的一组是. 3．B 【详解】因为x与y的样本相关系数为，可知x与y为负相关，故C，D错误； 又因为经验回归方程过样本中心点，对于A项，，则，故A错误；对于B项，，则，故B正确． 4．A 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为，时，得到预估值为， 所以样本点在处的残差为. 5．C 【详解】因为，依据的独立性检验可知变量X与Y独立. 6．A 【详解】因为，可得，则， 增加数据后，变量的平均数为，变量的平均数为， 设修正后的回归直线方程为，则，解得， 所以修正后的回归直线方程为， 当时，，所以数据的残差为. 7．A 【详解】，， .所以. 8．B 【详解】由已知，，所以， ，，所以 ， 由题意，满足线性回归方程为，所以，所以， 此时线性回归方程为，即，可将此式子化为指数形式，即为， 因为模型为模型，所以，，所以.故选：B. 9．ABC 【详解】由回归直线的性质可知A正确，把点代入到，得，故B正确， ，与呈正相关，故C正确， 当投放数量为30条时，，当月点赞数估计为170万次，故D错误. 10．BC 【详解】由列联表可得，因为， 所以有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效. 故A错误，B正确. 若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍， ，所以统计量的值扩大为原来的2倍，故C正确. 传统算法的样本识别成功率约为，新优化算法的样本识别成功率约为，比传统算法高15个百分点， 但只能说明在受检批次的工业零件检测中，新算法优于传统算法， 并不能说明新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法，故D错误. 11．ABD 【详解】，， ， 对，样本中心在直线上，所以①， 对，样本中心在直线上，所以②， 已知，联立 ①②：得，B正确； 把代入 ①： ，故 C 错误； ，说明随递增、随递增，因此同步增长，正相关，A 正确； ， 令，为整数，最小， 年份代码对应：， 即2028 年起和首次超过 12，D 正确. 12．11 【详解】依题意，， 由经验回归方程过点，得， 因此经验回归方程，当时，， 所以据此模型预测当时，的估计值为11. 13．①③④ 【详解】由经验回归方程，可知回归直线的斜率，即变量与负相关，同时结合表格，可知销量随着的增大而减小，故①正确； 又由表格可得，， 因样本中心点在回归方程上，则得，故④正确； 则回归方程为，当时，，此时残差为，故②错误； 当时，代入回归方程可得，即可以预测当时销量约为万只，故③正确. 14．6 【详解】由列联表得，， 根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯”有关， 所以，即，所以.又，即为正偶数， 所以被调查的女生中关注世界杯的最少为人. 15．【详解】（1）根据题意知：， 所以， 则关于的经验回归方程为， 所以关于的经验回归方程为， 由题意，，解得， 又为整数，所以要使年收益增量超过9亿元，研发人员增量至少为26人． （2）由题意，，． 法一、作商法：． 令， 即时单调递增，时单调递减， 故使得概率取得最大值的正整数． 法二、不等式组，则， 化简得，解得. 故使得概率取得最大值的正整数． 16．【详解】（1）由散点图的分布是非线性的，故适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程； （2）令，先建立关于的线性回归方程，由于， ，关于的线性回归方程为， 从而关于的回归方程为； （3）假设印刷册，依题意，，，至少印刷册． 17．【详解】（1）假设：该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别无关联. 由列联表得，，，，， 代入卡方公式：， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为喜欢室内外运动项目与性别有关联. （2）用频率估计概率，该校学生喜欢室外运动项目的概率， 抽取10名学生中喜欢室外运动的人数服从二项分布. 由二项分布期望公式得：； 由二项分布方差公式得：. （3）设事件为“小明第二天选择室内运动”，则为“小明第二天选择室外运动”，设事件为“小明第三天选择室内运动”. 由题意得，，，. 由全概率公式：， 故小明第三天选择室内运动的概率为. 18．【详解】（1），， ，，， ，可用线性回归模型拟合． ，， 令：， 所以10月14日到该奶茶店消费的人数约为117人. （2）第1天50人，第5天100人，比例，共抽6人，第1天抽2人，第5天抽4人，从6人中任取2人，总方案数种， 2人来自不同天的方案数：， ，故这2人恰好来自不同天的概率为. （3）方案一：满50减5，消费200元，共减元，实付180元 方案二：设实付金额为元， ，，， 元，因为，方案一期望付款更少， 故选方案一更优惠． 19．【详解】（1）由题意得，， 则，，可得，， 则回归方程为，当时，， 得到预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量为辆. （2）(2)当时，，， 当时，，，当时，，， 当时，，，当时，，， 得到，作出残差图， 由图，残差数值都在横轴附近波动，残差点均匀分布在横轴两侧的狭窄带状区域内， 没有明显的曲线趋势与扩散收缩现象，说明该线性回归模型对数据拟合效果很好. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $