河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主学习质量检测卷（1）

**基本信息** 本试卷聚焦新高三暑假自主学习检测，以集合、复数、导数等核心知识为载体，通过咖啡店销售统计（解答题15）、甲乙盒取球概率（解答题19）等真实情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题及数学语言表达的能力，适配高三一轮复习基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系、复数运算、导数几何意义等|基础概念辨析，如第7题结合残差考查统计思维| |多选题|3/18|互斥对立事件、随机变量分布等|选项分层设计，如第11题综合切线方程与函数值域| |填空题|3/15|二项式系数、函数单调性、偶函数性质|强调解题技巧，如第14题结合奇偶性与单调性解不等式| |解答题|5/77|线性回归、二项式定理、函数奇偶性、导数应用、概率分布|注重综合应用，如第19题通过两盒取球操作考查概率计算与期望，体现逻辑推理与数学建模|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主学习质量检测卷（1） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 4．若的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的常数项是（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 5．某学校高一年级科技节数学活动中，某班有件打印作品，其中有件花瓶作品，现需要从中选出件做展示，则选出的作品中恰有1件花瓶作品的选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知变量，线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据的残差为（    ） A． B． C． D． 8．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（    ） A． B． C．0 D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 10．下列说法正确的是（   ） A．已知随机变量的分布列为，，则 B．若随机变量，则 C．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 D．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 11．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．函数的值域是 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点至少可以作曲线的两条切线，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．若，则________（用数字作答）. 13．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 14．已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）某创业者计划开设一家咖啡店，他从本市已开业的15家规模相似的咖啡店中收集了以下数据：x表示周边一公里内日均人流量(千人)；y表示日均销售额(百元). x 4.2 5.2 5.2 6.2 6.2 6.2 5.2 7.2 9.2 8.2 8.2 8.2 9.2 9.2 10.2 y 34 38 40 40 46 52 42 52 54 47 58 69 64 74 70 经计算得 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)预测x=8时，y的估计值y₀; (3)计算变量x和y的样本相关系数r. 附：最小二乘估计公式分别为： 样本相关系数 16．(本小题15分）已知的展开式中各二项式系数的和为64. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中的常数项； (3)展开式中的系数. 17．(本小题15分）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 18．(本小题17分）已知函数(且). (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若有解，求的取值范围. 19．(本小题17分）已知甲盒中有个红球，个黑球，乙盒中有个红球，个白球（各球除颜色外完全相同）．现进行如下操作：先从甲盒中取出两个球放入乙盒中，再从乙盒中取出两个球放入甲盒中． (1)求甲盒中红球个数不变的概率； (2)在“甲盒中红球个数不少于乙盒中红球个数”的条件下，求“黑球仍在甲盒中”的概率； (3)记为操作后甲盒中红球的个数，求的分布列及数学期望． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D B A D C AD ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，.由此可知，且同时成立. 2．A 【详解】，分母实数化得， 所以. 3．B 【详解】对函数（）求导，得，则， 已知切点为，所以切线方程，整理得. 4．D 【详解】令二项式中，可得展开式各项系数之和为，由题意，解得. 对于，其第项为，，整理得 ，令，解得. 因此常数项为第项. 5．B 【详解】件作品恰有件花瓶作品，则从件花瓶作品中选件，从件非花瓶作品中选件，一共有种选法． 6．A 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ，所以的取值范围为. 7．D 【详解】因，则，则. 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：. 则的估计值为，则数据的残差为. 8．C 【详解】由题意可知， 且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 依题意，若，则，根据对称性可得， 同理可知， ，， ，， 所以. 9．AD 【详解】对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”对应两个白球，二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故A正确； 对于B：“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都对应一红一白，是同一事件，可同时发生，不互斥，故B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至多一个白球”即白球数小于等于，也包含一红一白、两个红球， 二者是同一事件，可同时发生，不互斥，故C错误； 对于D：“至多一个红球”即红球数小于等于，包含一红一白、两个白球，“都是红球”对应两个红球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确. 10．ACD 【详解】对于A：因为， 所以，故A正确； 对于B：因为随机变量，所以， 所以，故B 错误； 对于C：因为，故C正确； 对于D：设“下雨”为事件，“刮风”为事件，则， 所以，故D正确. 11．BCD 【详解】对A选项，对函数求导可得，令，得，又，故曲线在处的切线方程为，即,故A选项错误. 对B选项，令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当，取得最大值，当时，，，故， 故函数的值域是，所以B选项正确. 对C选项，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，设点，则，整理得， 令，则，故单调递增，代入，得， 因此唯一解，此时，点P到直线距离为.故C选项正确. 对D选项，设过点的切线切点为，切线斜率为，切线方程为， 将点代入切线方程，整理得，令， 若过点至少可以作曲线的两条切线，则函数和函数至少有两个交点. 对求导得，令得或，当时，，单调递减； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此，在处取得极小值，在处取得极大值， 所以的大致图象如图所示： 由图象可知，当时，函数和函数至少有两个交点， 此时过点至少可以作曲线的两条切线.故D选项正确. 12．15 【详解】由题意得在中， 令，得，令，得， 故. 13． 【详解】因为，由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递增，则，可得，所以实数的取值范围是. 14． 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： ,又因为时为减函数，所以 则，所以的取值范围是. 15．【详解】【详解】（1） ， 因为样本中心点在回归直线上，所以 ， 所以关于的线性回归方程为 ． （2）当时，的估计值 ． （3）. 16．【详解】（1）由题意得，，解得 所以展开式中第四项二项式系数为 （2）展开式的通项公式为 令，解得所以常数项为 （3） 所以的系数由两部分组成 第一部分是中，与展开式中的的乘积的系数 此时第二部分是，展开式中的的系数 ，此时所以的系数为 17．【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数，所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增，所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以．解得，即实数的取值范围是． 18．【详解】（1）当时，，的定义域为， ，令，得.当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以在处取极小值为，无极大值. （2），设切点为，切线的斜率为1， 所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①②得，，设，， 由，当时，，单调递增， 时，，单调递减， 又，所以是的唯一零点， 所以，代入①得，切点坐标为. （3）法1：令，，令，得， 令，得，所以t在单调递减，在单调递增 因为时，所以 ①时，有解，，； ②时，，舍去； ③时，有解，，. 综上：. 法2：因为有解，所以有解.记， ①时，恒成立，所以在单调递增， 当，，所以恒有解，所以； ②时，，无解，舍去； ③时， x + 0 - 极大值 所以，，， 所以.综上：. 19．【详解】（1）记事件“甲盒中红球个数不变”， 其情况有：甲盒中取出个红球，乙盒中取出个红球或者甲盒中取出红黑，乙盒中取出红黑或者红白，则. （2）记事件“甲盒中红球个数不少于乙盒中红球个数”，记事件“黑球仍在甲盒中”，则， 事件情况有：甲盒中取出个红球，乙盒中取出个红球或者甲盒中取出红黑，乙盒中至少取出一个红球； 事件情况有：甲盒中取出个红球，乙盒中取出个红球或者甲盒中取出红黑，乙盒中取出红黑． 因此， ，故. （3）由题意可知可取， 当时，其事件情况有：甲盒中取出个红球，乙盒中取出的个都不是红球，故； 当时，其事件情况有：甲盒中取出个红球，乙盒中取出红白或者甲盒中取出红黑，乙盒中取出的两个都不是红球， 故； 当时，即为第（1）问，故； 当时，其事件情况有：甲盒中取出红黑，乙盒中取出个红球，故； 因此的分布列为 数学期望. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $