四川省成都市树德中学2026-2027学年高三上学期零诊模拟数学试题（二）

**基本信息** 以北京冬奥会志愿者分配、青少年拔尖创新人才培养等现实情境为载体，融合杨辉三角文化传承素材，通过基础题（如等差等比数列）、能力题（如导数不等式恒成立）、创新题（如双曲线上对称点外接圆问题）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等差等比数列、函数导数、概率|第4题结合函数极值点考查等比数列性质，体现数学思维的逻辑性| |填空题|3题15分|二项式定理、双曲线、杨辉三角|第14题新三角数阵设计，渗透数学文化与创新意识| |解答题|5题77分|立体几何、数列、概率统计、解析几何、导数|第17题以科研夏令营为背景考查概率分布与期望，第19题导数综合题论证根的大小关系，强化数学建模与逻辑推理|

高中2024级零诊模拟数学试卷2 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 在等差数列中， ， ，则公差为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（ ） A. -1013 B. 1014 C. -1014 D. 1013 5.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 6. 已知抛物线，过C的焦点的直线交C于A，B两点，交圆于M，N两点，其中A，M位于第一象限，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是两个事件，且 ， ，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，， ，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 10. 对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列是无界的.记数列的前n项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 11. 已知甲口袋中装有个红球， 个白球， 个黑球，乙口袋中装有 个红球， 个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上） 12. 的展开式中的常数项是______. 13. 若，是双曲线：两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则______． 14. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第 行的 个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第 行的一个数为 ，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第 个数为________；第行的所有数的和为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，四棱锥 的底面是矩形，平面，点 是棱上的动点，点 是棱 中点， ，，． （1）求证： ； （2）若中点为 ，求直线 与平面所成角的正弦值． 16. 已知数列满足，． （1）求证：数列是等比数列； （2）若，为数列的前n项和，求． 17. 为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． （1）若数学组的 名学员中恰有 人来自同一中学，从这 名学员中选取 人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答 题，答对不少于 题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 18. 已知椭圆 ：（）的离心率为，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形周长为． （1）求椭圆 的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ， ①当，求直线的斜率； ②过点 和（）的直线与椭圆 的另一个交点为 ，与分别表示与的面积．若，求 的值． 19. 设函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求 的取值范围； （3）已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论． 零诊模拟2参考答案 一、单项选择题： 1、C 2、A 3、D 4、B 5、C 6、A 7、C 8、A 二、多项选择题： 9、AC 10、BC 11、ACD 三、填空题 12、15 13、 14、 ①. ②. 四、解答题 15、【答案】（1）因为平面 ，所以，，在矩形 中：，则、 、 两两互相垂直，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：、、，设，故，，，所以，即. （2）因为、、、、，故，，， 设平面的一个法向量为，则，即，化简得，令，得，所以，，，， ，设直线 与平面所成角为，则，所以直线 与平面所成角的正弦值为. 16、（1）因为，所以，又， 所以是以为首项，以3为公比的等比数列； （2）由（1）知，故，所以， 故，则，两式相减得 ，所以. 17、（1）由题意可知的可能取值有， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. （2）甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量 Y ， 由题意可知，每人答 2 题，两人共答 4 题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立， 因此 Y 服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为： 设他们小组在 轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即，解得， 而，则，所以理论上至少要进行 轮答题． 18、（1）由离心率可得，即,椭圆 的四个顶点为顶点的四边形周长为，可得，联立解得，所以椭圆方程为； （2）①过点且斜率存在的直线方程设为，代入可得，，解得，设，则（*），， 又，所以，整理得，解得或(舍去)又，则得，即直线的斜率为； ②由得，则，由点 在线段 上，得均是锐角，则，点关于 轴对称，于是点，则，由三点共线，得， 即，整理得， 将（*）代入，得，解得 ，满足.故的值为1. 19、（1）因为的定义域为 ，，令得， ；令得， ；令得，，所以， 在 上单调递减，在上单调递增. （2）由，得，即，令，，则恒成立，即，，令得，；令得，；令得，，所以，在上单调递减，在上单调递增， ， 则,得，解得 ，故 的取值范围为 . （3）.证明如下：因为方程有两个不等实根，，不妨设, 所以，，化简得，即， 令，其中，则，所以，解得，则解得； 因为方程有两个不等实根，，不妨设,所以，，化简得，即，令，其中，则，所以，解得，解得；设，其中 ，令，，则，， ， ，因为，所以，，，，令，其中，则， ，当 时，，所以在 上单调递减，，所以在 上单调递增，当时，，，所以，则， 所以 在 上单调递减，因为，所以，所以， 则，所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $