1.1探索勾股定理同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 八年级上册数学《1.1探索勾股定理》同步练习（北师大版），通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到实际应用再到定理验证的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理直接应用（如斜边计算、面积关系）|选择1-8题、填空9-13题，聚焦概念辨析与简单运算，培养运算能力与符号意识| |综合应用|多情境问题解决（如梯子、无人机、云梯滑动）|解答14-16题，结合生活场景构建直角三角形模型，发展几何直观与应用意识| |拓展探究|定理验证与延伸（面积法、赵爽弦图、连续构造）|解答17题及附加18-20题，通过数学文化与探究活动，提升推理能力与创新意识|

八年级上册数学 1.1探索勾股定理 同步练习 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 北师大版 · 满分 100 分 · 建议用时 45 分钟 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1．在一个直角三角形中，两条直角边长分别为 1 和 2，则斜边长的平方为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．以直角三角形的三边为边分别向外作正方形。若两个较小正方形的面积分别为 25 和 9，则最大正方形的面积为（　　） A．16 B．34 C．64 D．625 3．一个直角三角形的两条直角边之比为 3∶4，周长为 36，则它的斜边长为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 4．如图，梯子 AC 斜靠在竖直墙面 AB 上，AB⊥BC。已知 AC=13 m，BC=5 m，则梯子顶端 A 离地面的高度 AB 为（　　） A．8 m B．10 m C．12 m D．18 m 5．如图，两棵树的树根分别为 B、D，树梢分别为 A、C，地面 BD 水平，且 AB⊥BD，CD⊥BD。已知 BD=8 m，AB=10 m，CD=4 m。一只鸟从 A 点直线飞到 C 点，至少飞行（　　） A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m 6．一段楼梯的竖直高度为 3 m，斜坡长为 5 m。若在台阶表面铺地毯，且地毯恰好覆盖所有水平面和竖直面，则至少需要地毯（　　） A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m 7．一块长 20 cm、宽 15 cm 的长方形纸片，沿对角线剪开，所得直角三角形的斜边长为（　　） A．20 cm B．25 cm C．30 cm D．35 cm 8．下列说法中，正确的是（　　） A．任意三角形都满足“两边平方和等于第三边平方” B．直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 C．直角三角形中，两直角边的和等于斜边 D．只有边长为 3、4、5 的直角三角形满足勾股定理 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 9．做一个长 28 cm、宽 21 cm 的长方形木框，在一组相对顶点之间钉一根木条加固，这根木条最短为________cm。 10．如图，一棵树在 A 处折断，树根为 B，树顶落在地面 C 处，且 AB⊥BC。已知 AB=5 m，BC=12 m，则折断部分 AC=________m，树原来的高度为________m。 11．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=16，AB=20，则 BC=________。 12．以一个直角三角形的三边为边分别作正方形，斜边上正方形面积为 100 cm²，一条直角边上正方形面积为 36 cm²，则另一条直角边上正方形面积为________cm²。 13．如图，A 为岸上固定点，B 为其在水面上的垂足，B、D、C 在同一直线上且D在B、C之间，AB⊥BC。已知 AB=8 m，船开始位于 C 点，绳长 AC=17 m；后来船到达 D 点，绳长 AD=10 m，则船向岸边移动的距离 CD=________m。 三、解答题（共 56 分） 14．（10分）在△ABC中，点D在线段AB上，CD⊥AB，BC=20，AC=15，BD=16。求AB的长。 15．（14分）如图，AB 表示竖直大楼，BD 表示水平地面，AB⊥BD。D 为小明站立的位置，无人机从离地 1.6 m 的点 C 起飞并沿直线飞到楼顶 A。点 E 在 AB 上，且 CE∥BD，CD⊥BD。已知 CD=BE=1.6 m，BD=5 m，AC=13 m。 （1）求大楼的高度； （2）若无人机仍从离地 1.6 m 处出发，水平距离改为 12 m，飞行路程仍为 13 m，求它最终到达位置的离地高度。 16．（14分）如图，墙面 AB⊥地面 BE。云梯 AC 长 25 m，开始时梯脚在 C 点，BC=7 m；后来梯顶由 A 点沿墙下滑到 D 点，AD=4 m，梯脚相应移动到 E 点，云梯长度保持不变。 （1）求梯子最初顶端离地面的高度； （2）求顶端下滑后梯脚在水平方向移动了多少米，并判断它是否也移动了 4 m。 17．（18分）【压轴探究·面积法验证勾股定理】如图，用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形。每个直角三角形的两条直角边分别为 a、b（a>b>0），斜边为 c，中间留下一个小正方形。 （1）观察图形，写出大正方形的边长和中间小正方形的边长； （2）从“大正方形面积”出发，用两种不同的方法表示它的面积； （3）比较（2）中的两个面积式，推导出勾股定理； （4）若 a=12，b=5，求 c；并说明以三边为边长所作三个正方形的面积满足怎样的关系。 四、附加拓展题（选做，不计入总分） 18．【数学文化】在“赵爽弦图”中，四个全等直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形。每个直角三角形的两直角边为 a、b（a>b），斜边为 c；大正方形以 c 为边，中间小正方形的边长为 a−b。若大正方形面积为 25，中间小正方形面积为 1，求 a²+b²、a+b、ab 和 a−b。 19．【连续构造】先作直角三角形 OAB，使 OA=2，AB=1，OA⊥AB；再在点B处作 BC=1 且 OB⊥BC；再在点C处作 CD=1 且 OC⊥CD。 （1）依次求 OB²、OC²、OD²； （2）若继续按同样方式，每次增加一条长为 1 且与上一条斜边垂直的线段，猜想第 n 次添加后所得斜边平方的规律。 20．【真实情境】如图，AB 为竖直旗杆，A 为旗杆顶端，B 为旗杆底部，地面 BC 水平，AB⊥BC。旗杆上的绳子自然下垂到地面后还多 2 m；将绳子下端拉到地面 C 点时，BC=8 m，且绳子恰好拉直。求旗杆 AB 的高度和绳子的长度。 参考答案与详细解答 一、选择题 1．答案：D 这是直角三角形，斜边为直角所对的边。由勾股定理，斜边长的平方=1²+2²=5，因此选D。注意题目问的是“斜边长的平方”，不需要再开平方。 2．答案：B 以直角三角形三边为边作正方形时，两个直角边上正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积。因此最大正方形面积=25+9=34，选B。 3．答案：C 设两条直角边分别为3k、4k。由勾股定理，斜边=√[(3k)²+(4k)²]=5k。周长为3k+4k+5k=12k=36，所以k=3，斜边=15，选C。 4．答案：C 在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13 m为斜边，BC=5 m。由AB²+BC²=AC²，得AB²=13²−5²=169−25=144，所以AB=12 m，选C。 5．答案：B 两棵树均竖直，故树梢A、C的水平距离等于BD=8 m，高度差为AB−CD=10−4=6 m。以水平距离8 m和高度差6 m为两直角边，AC=√(8²+6²)=√100=10 m，选B。 6．答案：C 把楼梯的各段水平面长度平移相接，其总长度等于楼梯的水平投影。设水平投影为x m，则x²+3²=5²，得x=4。地毯总长=全部水平长度+全部竖直长度=4+3=7 m，选C。 7．答案：B 长方形的长20 cm、宽15 cm互相垂直，对角线是相应直角三角形的斜边。由勾股定理，对角线=√(20²+15²)=√625=25 cm，选B。 8．答案：B 勾股定理的适用前提是直角三角形，结论是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以B正确。A缺少“直角三角形”条件；C把平方关系错误地写成边长直接相加；D错误，勾股定理适用于所有直角三角形，不只3、4、5这一组。 二、填空题 9．答案：35 长方形木框的长和宽互相垂直，连接一组相对顶点的木条就是长方形的对角线。设木条长为d cm，则d²=28²+21²=784+441=1225，所以d=35 cm。 10．答案：13，18 在Rt△ABC中，AB=5 m，BC=12 m，AC为斜边，所以AC=√(5²+12²)=13 m。折断前树的总高度=未折断部分AB+折断部分AC=5+13=18 m。 11．答案：12 ∠C=90°，因此AB=20为斜边。由AC²+BC²=AB²，得BC²=20²−16²=400−256=144，所以BC=12。 12．答案：64 斜边上正方形面积等于两条直角边上正方形面积之和。设另一条直角边上正方形面积为S，则36+S=100，所以S=64 cm²。 13．答案：9 开始时，在Rt△ABC中，BC=√(AC²−AB²)=√(17²−8²)=√225=15 m。后来在Rt△ABD中，BD=√(AD²−AB²)=√(10²−8²)=√36=6 m。因为B、D、C在同一直线上且D在B、C之间，所以CD=BC−BD=15−6=9 m。 三、解答题 14．解： 因为点D在线段AB上，且CD⊥AB，所以△BCD和△ACD都是直角三角形。 在Rt△BCD中，BC=20，BD=16。由勾股定理：CD²=BC²−BD²=20²−16²=400−256=144，所以CD=12。 在Rt△ACD中，AC=15，CD=12。由勾股定理：AD²=AC²−CD²=15²−12²=225−144=81，所以AD=9。 由于D在线段AB上，AB=AD+DB=9+16=25。答：AB的长为25。 15．解： （1）因为AB⊥BD，CE∥BD，所以AE⊥CE，△ACE为直角三角形。又因为CD=BE=1.6 m，且C、D在同一竖直线上、E在AB上，故CE=BD=5 m。 在Rt△ACE中，AC=13 m，CE=5 m，所以AE=√(13²−5²)=√144=12 m。于是AB=AE+EB=12+1.6=13.6 m。答：大楼高13.6 m。 （2）当水平距离改为12 m、飞行路程仍为13 m时，设无人机相对起飞点的竖直上升高度为h m，则h²+12²=13²，所以h=5。起飞点离地1.6 m，因此最终位置离地5+1.6=6.6 m。 16．解： （1）初始时△ABC为直角三角形，AC=25 m，BC=7 m。由勾股定理，AB=√(25²−7²)=√576=24 m。 （2）梯顶由A下滑到D，AD=4 m，所以DB=AB−AD=24−4=20 m。云梯长度不变，故DE=25 m。 在Rt△DBE中，BE=√(DE²−DB²)=√(25²−20²)=√225=15 m。原来梯脚距墙BC=7 m，因此梯脚水平移动CE=BE−BC=15−7=8 m。 所以梯顶下滑4 m时，梯脚并不是水平移动4 m，而是移动8 m。 17．解： （1）从图中看，大正方形的一条边由长度a和b的两段组成，所以大正方形边长为a+b；中间小正方形的每条边都是原直角三角形的斜边，所以其边长为c。 （2）方法一：直接用边长求大正方形面积，S大=(a+b)²。 方法二：大正方形由4个全等直角三角形和中间小正方形组成。每个直角三角形面积为ab/2，因此S大=4×ab/2+c²=2ab+c²。 （3）同一个大正方形的面积相等，所以(a+b)²=2ab+c²。展开左边得a²+2ab+b²=2ab+c²，两边同时减去2ab，得到a²+b²=c²。这正是勾股定理。 （4）当a=12，b=5时，c²=12²+5²=144+25=169，所以c=13。以三边为边长作正方形，其面积分别为144、25、169，且144+25=169，即两个直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形面积。 四、附加拓展题 18．解： 在赵爽弦图中，大正方形以直角三角形的斜边c为边，因此c²=25。由勾股定理可得a²+b²=c²=25。 中间小正方形边长为a−b，且其面积为1，所以(a−b)²=1。因为a>b>0，所以a−b=1。 四个全等直角三角形的总面积=大正方形面积−小正方形面积=25−1=24。每个直角三角形面积为ab/2，因此4×ab/2=24，即2ab=24，所以ab=12。 又(a+b)²=a²+2ab+b²=(a²+b²)+2ab=25+24=49。因为a+b>0，所以a+b=7。 答：a²+b²=25，a+b=7，ab=12，a−b=1。 19．解： （1）在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，所以OB²=OA²+AB²=4+1=5。 又OB⊥BC且BC=1，所以在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=5+1=6。 同理，OC⊥CD且CD=1，所以OD²=OC²+CD²=6+1=7。故OB²=5，OC²=6，OD²=7。 （2）可以看出，每增加一条长度为1、且与上一条斜边垂直的线段，新斜边的平方就在原来的基础上增加1。初始OA²=4，因此第1次添加后为4+1，第2次为4+2，……，第n次添加后所得斜边平方为4+n。 20．解： 设旗杆AB高为x m。绳子自然下垂到地面后还多2 m，所以绳长为(x+2) m。 将绳子下端拉到C点后，△ABC为直角三角形，AB=x m，BC=8 m，AC=x+2 m。由勾股定理：x²+8²=(x+2)²。 展开得x²+64=x²+4x+4，所以4x=60，x=15。绳长=x+2=17 m。 答：旗杆高15 m，绳子长17 m。 汪老师编写 · 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $