5.4二次函数与一元二次方程（课时2）（教学课件）2026-2027学年数学北师大版（2024）九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，核心内容为用二次函数图象求一元二次方程近似解。课堂导入通过表格回顾二次函数图象与x轴交点个数、方程根的情况及判别式的关系，搭建新旧知识支架，衔接上节课内容，引出新知探究。 其亮点在于以具体方程（如\(x^2 + 2x - 10 = 0\)）为例，通过作图定位根的区间、列表计算函数值、比较确定近似根的探究过程，渗透数形结合思想，体现数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理意识。练习设计涵盖表格分析、利用对称轴求根等多样形式，小结提炼“作图、定位、列表、比较”四步法，帮助学生形成结构化解决问题的能力，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

5.4二次函数与一元二次方程 （课时2） 第五章 二次函数 北师大版(2024) 1 素养目标 2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用. 1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； 2 复习导入 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 Δ=b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 Δ=b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ=b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 Δ=b2-4ac < 0 回顾二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系. 3 探究新知 上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象求一元二次方程的近似解呢？ 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？ 【分析】一元二次方程 x2+2x-10=0的根就是抛物线 y=x2+2x-10与x轴的交点的横坐标， 因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标. 4 探究新知 如图是二次函数y=x2+2x-10的图象. 由图象可知方程x2+2x-10=0有两个根， 一个在-5和-4之间， 另一个在2和3之间． 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？ 如何确定它们的十分位？ 5 探究新知 (1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索： 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？ x y -4.1 -1.39 -4.2 -0.76 -4.3 -0.11 -4.4 0.56 y值更接近0 y 对应的值由负变为正 因此，x = -4.3 是方程的一个近似根. 6 探究新知 (2)再求2和3之间的根.利用计算器进行探索： x y 2.1 2.2 2.3 2.4 -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=2.3是方程的另一个近似根. y值更接近0 y 对应的值由负变为正 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？ 7 探究新知 x = 2.3是一元二次方程 x2+2x-10=0 的另一个近似根. x = -4.3是一元二次方程 x2+2x-10=0 的一个近似根. 利用一元二次方程的求根公式验证. . ∴x1 =x2 = . x2+2x-10=0 8 归纳总结 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根： (1)作图：作出二次函数y=ax2+bx+c的图象； (2)定位：确定二次函数的图象与x轴交点的个数，看交点在哪两个整数之间； (3)列表：在两个整数之间取值，借助计算器用表格的形式求出相应的y值，当x由x₁取到x₂时，对应的y值出现y₁和y₂异号且|y₁|≠|y₂|时，x₁，x₂中必有一个是方程的近似根； (4)比较：比较|y₁|和|y₂|，若|y₁|<|y₂|，则x₁是方程的近似根；若|y₁|>|y₂|，则x₂是方程的近似根. 9 探究新知 利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 +2x-10=3 的近似根. x2+2x-13=0 由图象可知一元二次方程有两个根， 一个根在-5和-4之间， 另一个根在2和3之间． y=x2+2x-13 10 探究新知 首先求出-5和-4之间的根，利用计算器进行探索： x … -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 … x2+2x-13 … 1.21 0.44 -0.31 -1.04 … 因此，x=-4.7是方程的一个近似根． 然后求2和3之间的根，利用计算器进行探索： x … 2.5 2.6 2.7 2.8 … x2+2x-13 … -1.75 -1.04 -0.31 0.44 … 因此，x=2.7是方程的另一个近似根． 11 探究新知 你能利用二次函数 y = x2 + 2x -10 的图象求一元二次方程 x2 + 2x -10 = 3 的近似根吗？ y = 3 y = x2 + 2x -10 y = x2 + 2x -10 和直线 y = 3 交点的横坐标就是方程 x2 + 2x -10 = 3 的根 12 归纳总结 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法： 方法一：直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象；图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 方法二：先将一元二次方程变形为 ax2+bx=-c，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c；两图象的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0 的根. 13 B 14 B 15 C 16 A 17 C 18 19 20 小结 用图象法求一元二次方程的近似根 （作图；定位；列表；比较） 二次函数与一元二次方程 21 谢谢同学们的聆听 22 练习1 下表给出了二次函数 中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程 的一个近似解 的范围为( ) x … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … y … -0.44 -0.11 0.24 0.61 1 … A. B. C. D. 解析：由表格知，当 时， ； 当 时， ； ∴一元二次方程的一个近似解的范围为 .故选：B. 练习2已知抛物线 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ... ... y ... ... 则根据以上信息可判断,关于x的一元二次方程 的一个根 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：∵ 时, , 时, , ∴关于x的一元二次方程 的一个根 的取值范围是 . 练习3 根据表中二次函数 的自变量x与函数值y的对应值，判断一元二次方程 的一个根x的取值范围是( ) x 6.17 6.18 6.19 6.20 y -0.03 -0.01 0.02 0.04 A. B. C. D. 解析： 当 时， ，当 时， ， 一元二次方程 的一个根x的取值范围是 ，故选：C. 练习4 如表中列出了二次函数的一些对应值,则一元二次方程的一个近似解x的范围是( ) x … -3 -2 -1 0 1 … y … -11 -5 -1 1 1 … A. B. C. D. 解析：当 时, ；当 时, , ∴方程的一个近似根x的范围是 ,故选：A. 练习5 二次函数 的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程 的较大的根的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：∵二次函数为 ，∴对称轴为 ， 设方程 的两根为 ， （ ）， ∵对称轴为 ，∴ ，∴ ，∴ ， 由局部图知 ，∴ ， 即 ，故选：C. 练习6 小亮利用函数图象求方程 的实数根时，先画出函数 的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程 的实数根为 （结果保留小数点后一位）. 解析： 函数图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，且对称轴为 ， 函数图象与x轴的另一个公共点的横坐标大约是-2.7， 由此可以估计方程 的实数根为 ， . 故答案为： ， . $